最新高中数学知识点汇总(表格格式).pdf

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1、第 1 页 共 24 页 最新高中数学知识点汇总 (表格格式 ) 高中数学知识汇总 1. 集合与常用逻辑用语 集 合 与 常 用 逻 辑 用 语 集 合 概念 一组对象的全体. ,xA xA。元素特点 ：互异性、无序性、确定性。 关系 子集xAxBAB。A； ,AB BCAC n个元素集合子集数2 n 。 真子集 00 ,xAxBxB xAAB 相等,AB BAAB 运算 交集|,xxBxBAAI且()()() UUU CABC AC BUI ()()() UUU CABC AC BIU () UU CC AA 并集|,xxBxBAAU或 补集| U x xUC AxA且 常 用 逻 辑 用

2、语 命题 概念能够判断真假的语句。 四种 命题 原命题：若p， 则q原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命 题互否；原命题与逆否命题、否命题与 逆命题互为逆否。互为逆否的命 题等价。 逆命题：若q， 则p 否命题：若p， 则q 逆否命题：若q， 则p 充要 条件 充分条件pq，p是q的充分条件若命题p对应集合A， 命题q对应集合 B， 则pq等价于AB，pq 等价于AB。 必要条件pq，q是p的必要条件 充要条件 pq，,p q互为充要条件 逻辑 连接词 或命题 pq，,p q有一为真即为真，,p q均为假时才为 假。 类比集合的并 且命题 pq，,p q均为真

3、时才为真，,p q有一为假即为 假。 类比集合的交 非命题p和p为一真一假两个互为对立的命题。类比集合的补 量词 全称量词 ， 含全称量词的命题叫全称命题，其否定为特称命题。 存在量词， 含存在量词的命题叫特称命题，其否定为全称命题。 2. 复数 复数 概念 虚数单位 规定： 2 1i；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、 乘运算律仍成立。 4414243 1,1,() kkkk iii iii kZ。 复数 形如( ,)abi a bR的数叫做复数，a叫做复数的实部，b叫做复 数的虚部。0b时叫虚数、0,0ab时叫纯虚数。 复数相等 ( , , ,),abicdi a b c da

4、c bdR 共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即zabi， 则zabi。 运算 加减法()()()()abicdiacbd i，( , , ,)a b c dR。 乘法 ()()()()abicdiacbdbcad i，( , , ,)a b c dR 除法 2222 , , ,()()(0,)a b c d acbdbcda abicdii cdi cdcd R 第 2 页 共 24 页 几何 意义 复数zabi 一一对应 复平面内的点( , )Z a b 一一对应 向量OZ uuu r 向量OZ uuu r 的模叫做复数的模， 22 zab 大多数复数问题，主要是把复数化成标准的zabi

5、的类型来处理，若是分数形式z= dic bia ， 则 首先要进行分母实数化（分母乘以自己的共轭复数）， 在进行四则运算时，可以把 i 看作成一个独 立的字母，按照实数的四则运算律直接进行运算，并随时把 i 2 换成 -1 3. 平面向量 平 面 向 量 重 要 概 念 向量既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模。 0 r 向量长度为0， 方向任意的向量。【0 r 与任一非零向量共线】 平行向量方向相同或者相反的两个非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。 向量夹角 起点放在一点的两向量所成的角，范围是0,。,a b r r 的夹角记为 ,a b r r 。 投影,a b r

6、 r ，cosb r 叫做b r 在a r 方向上的投影。【注意：投影是数量】 重 要 法 则 定 理 基本定理 12 ,e e rr 不共线， 存在唯一的实数对( ,)， 使12aee rrr 。若12 ,e e rr 为 , x y轴上的单位正交向量，( ,)就是向量a r 的坐标。 一般表示坐标表示（向量坐标上下文理解） 共线条件 ,a b r r （0b rr 共线存在唯一实数， ab rr 11221221 (,)(,)x yxyx yx y 垂直条件 0aba b rrr r g。1122 0x yx y。 各 种 运 算 加法 运算 法则 ab rr 的平行四边形法则、三角形法则

7、。 1212 (,)abxxyy rr 。 算律abba rrrr ，()()abcabc rrrrrr 与加法运算有同样的坐标表示。 减法 运算 法则 ab rr 的三角形法则。 1212 (,)abxxyy rr 分解 MNONOM u uu u ruu u ruu uu r 。(,) NMNM MNxxyy uu uu r 。 数乘 运算 概念 a r 为向量，0与a r 方向相同， 0与a r 方向相反，aa rr 。 (,)axy r 。 算律 aa)()(，aaa)(， baba)( 与数乘运算有同样的坐标表示。 数量 积运 算 概念 cos,a baba b r rrrr r g

8、 1212 a bx xy y r r g。 主要 性质 2 a aa r rr g，a bab r rrr g。 22 axy r ， 2222 12121122 x xy yxyxy 算律 a bb a r rr r gg，()ab ca cb c rrrrr r ggg， ()()()a baba b rrrrr r ggg。 与上面的数量积、数乘等具有同样 的坐标表示方法。 圆的方程圆心半径 标准方程 x 2+ y 2= r 2 （0， 0 ）r (x a ) 2 + ( y b ) 2 = r 2 （a， b ）r 第 3 页 共 24 页 4. 算法、推理与证明 算法 逻辑 结构

9、顺序结构 依次执行 程序框图，是一种用程序 框、流程线及文字说明来表 示算法的图形。 条件结构 根据条件是否成立有不同的流向 循环结构 按照一定条件反复执行某些步骤 基本 语句 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句。 推理 与 证明 推理 合情推理 归纳推理 由部分具有某种特征推断整体具有某种特征的推理。 类比推理由一类对象具有的特征推断与之相似对象的某种特征的推 理。 演绎推理 根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理 数学 证明 直接证明 综合法由已知导向结论的证明方法。 分析法由结论反推已知的证明方法。 间接证明 主要是反证法，反设结论、导出矛盾的证明方法。

10、数学 归纳 法 数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的，因此，数学归纳法的适用 范围仅限于与自然数有关的命题。分两步：首先证明当n 取第一个值n0（例 如 n0=1）时结论正确；然后假设当n=k 0(,)kNkn时结论正确，证明当n=k+1 时结论也正确 5. 不等式、线性规划 不等式的 性质 （1）abbcac，；两个实数的顺序关系： 0abab 0abab 0abab （2）00abcacbcabcacbc，；，； （3）abacbc； （4）abcdacbd，； 11 ab ab 的 充 要 条 件 是0ab。 （5）00abcdacbd，； （6） * 01 nn nn ab

11、nnababN，； 一元二次 不等式 解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根（如果有实数根）， 再结合 对应的函数的图象确定其大于零或者小于零的区间，在含有字母参数的不等式中还要根据参 数的不同取值确定方程根的大小以及函数图象的开口方向，从而确定不等式的解集 一般方程x 2 + y 2 +D x + E y + F = 0 22 E , D FED4 2 122 第 4 页 共 24 页 基本 不等式 2 ab ab （0,0ab） 2abab（,0a b） ； 2 () 2 ab ab（,a bR） ； ba ab2 ab 2 ba 2 22 ba （,0a b） ； 22

12、 2abab。 二元一次 不等式组 二元一次不等式0AxByC的解集是平面直角坐标系中表示0AxByC某一侧所 有点组成的平面区域。二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区 域的公共部分。 6. 计数原理与二项式定理 排 列 组 合 二 项 式 定 理 基本 原理 分类加法 计数原理 完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有 1 m种不同的方法，在第2类方 案中有 2 m种不同的方法，在第n类方案中有 n m种不同的方法那么完成 这件事共有 12n NmmmL种不同的方法 分步乘法 计数原理 完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 1 m种不同的方法，做第2步有 2 m种

13、不 同的 方法 做 第n步 有 n m种 不 同的 方 法 . 那么 完 成这 件事 共有 n mmmN 21 种不同的方法. 排列 定义 从n个不同元素中取出()m mn个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从 n个不同元素中取出()m mn个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做 从n个不同元素中取出()m mn个元素的排列数，用符号 m n A表示。 排列数 公式 ! (1)(2)(1)() ()! m n n An nnnmnmmn nm L， 规定0!1 组合 定义 从n个不同元素中，任意取出()m mn个元素并成一组叫做从n个不同元素中 取出()m mn个元素的组合，所有不同组合

14、的个数，叫做从n个不同元素中取 出()m mn个元素的组合数，用符号C m n 表示。 组合数 公式 (1)(1) C ! m n n nnm m L ，C m mn n m m A A 性质 mn n m n CC(nmNnm且,) ； 1 1 m n m n m n CCC(nmNnm且,) 二项 式定 理 定理 011 () nnnrn rrnn nnnn abC aC abC abC bLL（ r n C叫做二项式系数） 通项公式 1 rn rr rn TC ab（其中 0knknNN，） 系数和 公式 1 121 r n r n r r r r r r CCCCC； nn n r n

15、nnn CCCCC2 210 ； 13502411231 2;232. nnn nnnnnnnnnn CCCCCCCCCnCnLLL 7. 函数基本初等函数I 的图像与性质 基本 初等 函数 指数函数 x ya 01a (,)单调递减，0x时1y，0x时01y 函数图象过 定点(0,1) 1a (,)单调递增，0x时01y，0x时1y 第 5 页 共 24 页 对数函数 logayx 01a在(0,)单调递减，01x时0y，1x时0y 函 数 图 象 过 定点(1,0) 1a 在(0,)单调递增，01x时0y，1x时0y 幂函数 yx 0 在在(0,)单调递增，图象过坐标原点 函 数 图 象

16、过 定点(1,1) 0在在(0,)单调递减 8. 函数与方程函数模型及其应用 函数 零点 概念 方程( )0f x的实数根。方程( )0f x有实数根函数( )yf x的图象与x 轴有交点函数( )yf x有零点 存在定理 图象在 , a b上连续不断，若( )( )0f a f b， 则( )yf x在( , )a b内存在零点。 二 分 法 方法 对于在区间,a b上连续不断且0f afb的函数yfx， 通过不断把函数 fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点 近似值的方法叫做二分法 步骤 第一步确定区间, a b， 验证( )( )0f af b， 给定精

17、确度。 第二步求区间,a b的中点c； 第三步 计 算f c： （ 1） 若0fc，则c就 是 函 数 的 零 点 ； （ 2 ） 若 0fafc，则 令bc（ 此 时 零 点 0 ,xa c）；（ 3 ） 若 0f cf b， 则令ac（此时零点 0 ,xc b） （4）判断是否达到 精确度:即若 ab， 则得到零点近似值a （或 b） ；否则重复（ 2） （ 4） 函数 建模 概念把实际问表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模。 解题步骤 阅读审题分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。 数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式。 解答模型利用数学方

18、法得出函数模型的数学结果。 第 6 页 共 24 页 解释模型将数学问题的结果转译成实际问题作出答案。 9. 导数及其应用 导 数 及 其 应 用 概念 与几 何意 义 概念函数( )yf x在点 0 xx处的导数 00 0 0 ()() ()lim x f xxf x fx x 。 几何 意义 0()fx为 曲 线( )yf x在 点00(,()xf x处 的 切 线 斜 率 ，切 线 方 程 是 000 ()()()yfxfxxx。 运算 基本 公式 0C（C为常数）； 1 ()() nn xnxnN； (sin)cos(cos )sinxxxx，； ()()ln xxxx eeaaa，（

19、0a， 且1a） ； 11 (ln)(log)log aa xxe xx ，（0a，且 1a） 2 11 xx ； 1 (ln)x x 。 运算 法则 ( )( )( )( )f xg xfxg x； ( )( )( )( )( )( )f xg xfx g xf xg xggg，( )( )CfxCfx； 2 ( )( )( )( )( ) ( ( )0) ( )( ) f xfx g xgx fx g x g xgx ， 2 1( ) ( )( ) g x g xgx 复合函数求导法则( ( ) ( ( )( )yf g xfg xg x。 研究 函数 性质 单调性( )0fx 的各个区间

20、为单调递增区间；( )0fx的区间为单调递减区间。 极值 0 ()0fx且( )fx在 0 x附近左负（正）右正（负）的 0 x为极小（大）值点。 最值 ,a b上的连续函数一定存在最大值和最小值，最大值和区间端点值和区间内的极 大值中的最大者，最小值和区间端点和区间内的极小值中的最小者。 定积 分 概念 fx在区间,a b上是连续的，用分点 011iin axxxxxbLL 将 区 间,a b等 分 成n个 小 区 间 ，在 每 个 小 区 间 1,ii xx上 任 取 一 点 i （1,2,inL） ， 1 lim n b i an i ba fx dxf n 。 基本 定理 如 果fx是

21、,a b上 的 连 续 函 数 ，并 且 有Fxfx，则 b a fx dxF bF a 第 7 页 共 24 页 性质 bb aa kfx dxkfx dx（k为常数）； bbb x aaa fxg xdxfx dg x dx； bcd aac fx dxfx dxfx dx 简单 应用 区间,a b上的连续的曲线( )yf x，和直线.(),0xa xb aby所围成的曲 边梯形的面积( ) b a Sf x dx。 10. 三角函数的图像与性质 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 基 本 问 题 定义任意角的终边与单位圆交于点( , )P x y时，sin,cos,tan y yx

22、x 同角三角 函数关系 22sin sincos1,tan cos 。 诱导公式360,180，90,270，“奇变偶不变，符号看象限” 三 角 函 数 的 性 质 与 图 象 值域周期单调区间奇偶性对称中心对称轴 sinyx （xR） 1,1 2k 增2,2 22 kk 减 3 2,2 22 kk 奇函数(,0)k 2 x k cosyx （xR）1,1 2k 增2,2kk 减2,2kk 偶函数 (,0) 2 k xk tanyx ( 2 xk) Rk 增, 22 kk奇函数 ,0 2 k 无 图 象 变 换 平移变换 上下平移( )yf x图象平移k得( )yf xk图象，0k向上，0k向

23、下。 左右平移 ( )yf x图象平移得()yfx图象，0向左，0向 右。 第 8 页 共 24 页 伸缩变换 x轴方向( )yf x图象各点把横坐标变为原来倍得 1 ()yfx的图象。 y轴方向( )yf x图象各点纵坐标变为原来的A倍得( )yAfx的图象。 对称变换 中心对称( )yf x 图象关于点( , )a b对称图象的解析式是2(2)ybfax 轴对称( )yf x图象关于直线xa对称图象的解析式是(2)yfax。 11. 三角恒等变换与解三角形 变换 公式 正弦 和差角公式倍角公式 2 2 tan sin 2 1tan 2 2 1tan cos2 1tan 21cos2 sin

24、 2 21cos2 cos 2 sin() sincoscossin sin22sincos 余弦 cos() coscossinsinm 22 22 cos2cossin 2cos112sin 正切 tantan tan() 1tantanm 2 2 tan tan2 1tan 三 角 恒 等 变 换 与 解 三 角 形 正弦 定理 定理 sinsinsin abc ABC 。 射影定理： coscosabCcB coscosbaCcA coscoscaBbA 变形 2sin,2sin,2sinaRA bRB cRC（R外 接 圆 半 径） 。 类型三角形两边和一边对角、三角形两角与一边。

25、余弦 定理 定理 222222222 2cos,2cos,2cosabcbcA bacacB cababC。 变形 22222 () cos1 22 bcabca A bcbc 等。 类型两边及一角（一角为夹角时直接使用、一角为一边对角时列方程）、三边。 面积 公式 基本 公式 111111 sinsinsin 222222 abc Sa hb hc habCbcAacB。 导出 公式 4 abc S R （R外接圆半径） ； 1 () 2 Sabc r（r内切圆半径）。 实际 应用 基本思想 把要求解的量归入到可解三角形中。在实际问题中，往往涉及到多个三 角形，只要根据已知逐次把求解目标归入

26、到一个可解三角形中。 第 9 页 共 24 页 常用术语 仰 角 视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 俯 角 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角。 方 向 角 方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始 方向旋转到目标的方向线所成的角（一般是锐角，如北偏西30）。 方 位 角 某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。 12. 等差数列等比数列 数 列 、 等 差 数 列 等 比 数 列 一般 数列 n a 通项公式 数列 n a中的项用一个公式表示，( ) n af n 1 1 ,1, ,2.

27、n nn S n a SSn 前n项和 12nn SaaaL 简单 的递 推数 列解 法 累加法 1 ( ) nn aaf n型 解决递推数列问题的 基 本 思 想 是 “ 转 化”，即转化为两类 基本数列 -等差数 列、等比数列求解。 累乘法 1 ( ) nn aa f n型 转化法 11 11 (0,1,0) nnn nnnn aa apaq ppqq pp 待定 系数法 11 (0,1,0)() nnnn acad cdac a。 比较系数得出， 转化为等比数列。 等差 数列 n a 概念 满足 1nn aad（常数），0d递增、0d递减、0d常数数列。 通项 公式 1 (1)() nm

28、 aandanm d mnpq aaaamnpq。 22 mnp aaamnp。 前n项 和公式 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad232,mmmmmSSSSSL为等差数列。 等比 数列 概念 满足 1:nn aaq（0q的常数）， 单调性由1a的正负，q的范围确定。 第 10 页 共 24 页 n a 通项 公式 1 1 nnm nm aa qa q mnpq a aa amnpq， 2 2 mnp a aamnp 前n项 和公式 11 1 (1) ,1, 11 ,1. n n n aa qaq q Sqq na q 公比不等于1时， 232 , mmmmm SSSS

29、SL成等比数列。 13. 数列求和及其数列的简单应用 数 列 求 和 及 数 列 的 简 单 应 用 常 用 求 和 公 式 等差数列 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad， 特别 (1) 123 2 n n nL。 等比数列 11 1 (1) ,1, 11 ,1. n n n aa qaq q Sqq na q ， 特别 21 122221 nn L。 自然数 平方和 2222 (21)(1)(21) 123(12) 36 nn nn nnLL。 自然数 立方和 2 3332 (1) 12(1 2) 2 n n nnLL。 常 用 求 和 方 法 公式法如 22 ,3

30、n nn an a 。 常用裂项方法： 11 11 () ()n nkk nnk ； 2 1111 1211nnn ； 2 1111 4122121nnn ； 1 111 (1) 2(1)22 nnn n n nnn 。 分组法如22 n n an，( 1)2 n n an。 裂项法 如 111 (1)1 n a n nnn 。 错位 相减法 如(21) 2 n n an。 倒序 相加法 如 01kn nnnn CCkCCLL。 第 11 页 共 24 页 数 列 模 型 等差数列基本特征是均匀增加或者减少。 等比数列基本特征是指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题。 一个简单 递推数列

31、基本特征是指数增长的同时又均匀减少。如年收入增长率为20%， 每年年 底要拿出a（常数）作为下年度的开销，即数列 n a满足 1 1.2 nn aaa。 注：表中,n k均为正整数 14. 空间几何体（其中 r 为半径、 h为高、l为母线等） 表 面 积 和 体 积 表面积体积 棱柱 2SSS 侧全底 表 面 积 即 空 间 几 何 体 暴 露 在 外 的 所 有 面 的 面 积 之和。 VShg 底高 1 3 VS hg 锥 SS 1 () 3 VSS SS h 台 0S VS hg 柱 棱锥 SSS 侧全底 1 3 VShg 底高 棱台 SSSS 侧全上底下底 1 () 3 VSS SS

32、h 圆柱 2 22Srrh 全 2 Vr h 圆锥 2 Srrl 全 21 3 Vr h 圆台 22 ( )Srrr lrl 全 221 ( ) 3 Vrr rrh 球 2 4SR 球 3 4 3 VR 球 第 12 页 共 24 页 15. 空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）： 空 间 点 、 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系 基 本 公 理 公理 1 ,Al Bl ABl。 用途 判断直线在平面内。 公理 2 ,A B C 不共线,A B C 确定平面。 确定平面。 确定两平面的交线。 公理 3 ,PPlPlI 两直线平行。 公理 4 ac，

33、bcab 位 置 关 系 线线 共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线 称为异面直线。 点线面 ,Al Bl；,AB。 线面 ,.llA lPI。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共 点。 面面 ，lI。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。 平 行 关 系 判定定理性质定理 线面 ,/ababa 线线平行线面平行 a， a，bI ab 线面平行线线平行 面面 , / /,/ ababP ab I 线面平行面面平行 /,/ababII 面面平行线线平行 垂 直 关 系 线面 , , mnmnP a am an I 线线垂直线面垂直 a a b b 线线垂直

34、线线平行 面面 ,ll 线面垂直面面垂直 ,l aalaI 面面垂直线面垂直 空 间 定义特殊情况范围 线线角把两异面直线平移到相交时两相交直线两直线平行时角为 0 0, 2 第 13 页 共 24 页 角所成的角。 所成角为90时称两直 线垂直 线面角 平面的一条斜线与其在该平面内射影所 成角。 线面平行或线在平面内 时线面角为0 0, 2线 面 垂 直 时 线 面 角 为 90 二面角 在二面角的棱上一定向两个半平面内作 垂直棱的垂线，这两条射线所成角。 两 个 半 平 面 重 合 时 为 0 0, 两个半平面成为一个平 面时为180 当二面角为90时称两 个平面垂直 空 间 距 离 点面

35、距 从平面外一点作平面的垂线，该点与垂足之间的距离。线面距和面面距 转化为点面距。 线面距 直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离。 面面距 两个平面与平面平行时，一个平面内任一点到另一个平面的距 离。 16. 空间向量与立体几何 空 间 向 量 与 立 体 几 何 空 间 向 量 重要 概念 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内。 空间基底 空间任何三个不共面的向量, ,a b c r r r 都可做空间的一个基底。 基本 定理 共线定理 ,a b r r （0b rr 共线存在唯一实数，ab rr 。 共面定理 p r 与,a b r r 、 （,a b r r

36、 不共线）共面存在实数对, x y， 使pxayb r rr 基本定理 , ,a b c r r r 不 共 面 ，空 间 任 意 向 量p u r 存 在 唯 一 的( , , )x y z，使 pxaybzc rrr r 。 立 体 几 何 中 的 向 量 方 法 线面 标志 方向向量 所在直线与已知直线 l平行或者重合的非零向量 a r 叫做直线 l的方向向量。 法向量 所在直线与已知平面垂直的非零向量n r 叫做平面的法向量。 位置 关系 线线平行 方向向量共线。 线面平行 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理。 面面平行 判定定理；两个平面的法向量平行。 线线

37、垂直 两直线的方向向量垂直。 线面垂直判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行。 面面垂直 判定定理；两个平面的法向量垂直。 空间 角 线线角 两直线方向向量为 ,a b r r ，coscos,a b r r 。 第 14 页 共 24 页 线面角 直线的方向向量为a r ， 平面的法向量为n r ，sincos,a n r r 。 二面角 两平面的法向量分别为1n r 和2n r ， 则 12 coscos,n n ur u u r 。 空间 距离 点线距 直线的方向向量为a r ， 直线上任一点为N， 点M到 直线a的距离sin,dMNMN a uu uu ruu uu r r 。 两

38、平行线距离转化 为点线距。 点面距 平面的法向量为n r ，平面内任一点为N，点M 到平面的距离cos, MN n dMNMN n n u uu u r r u uu u ruuu u r r r。 线面距、面面距转化 为点面距。 17. 直线与圆的方程 直 线 与 圆 的 方 程 直 线 与 方 程 概念 倾斜角 x轴正向与直线向上的方向所成的角，直线与x轴平行或重合时倾斜角为0 斜率 倾斜角为， 斜率 21 21 tan yy k xx （ 12xx） ，1122(,),(,)x yxy在直线 上。 直线 方程 点斜式00 ()yyk xx 在y轴截距为 b时ykxb。 两点式 11 21

39、21 yyxx yyxx 1212 (,)xxyy在, x y轴截距分别为,a b时1 b y a x 。 一般式 0CByAx（0 22 BA） ，0B时斜率 A k B ， 纵截距 C B 。 位置 关系 平行 当不重合的两条直线 1 l和 2 l的斜率存在时， 2121 /kkll；如果不重合直 线 1 l和 2 l的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则 1 l/ 2 l 垂直 当两条直线 1 l和 2 l的斜率存在时， 12 ll 12 1kk；若两条直线 12 ,l l中 的一条斜率不存在，则另一条斜率为 0时， 它们垂直 交点两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的

40、点。 距离 公式 点点距111222 (,),(,)P x yPxy两点之间的距离 22 122121 ()()PPxxyy。 点线距 点),( 00 yxP到直线0:CByAxl的距离 22 00 BA CByAx d。 第 15 页 共 24 页 线线距 0: 11 CByAxl到0: 22 CByAxl距离 22 21 BA CC d 圆 与 方 程 圆 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半 径。 标准 方程 圆心坐标( , )a b， 半径r， 方程 222 ()()xaybr。 标准方程展开可得一般方程、一般方程配方 可得标准方程。一般方程中圆心坐 标

41、为) 2 , 2 ( ED ， 半径 2 4 22 FED 。 一般 方程 0 22 FEyDxyx ( 其中04 22 FED) 相交相切相离 直线 与圆 代数法方程组有两组解方程组有一组解方程组无解 几何法drdrdr 圆与 圆 代数法方程组有两解方程组有一组解方程组无解 几何法 1212 rrdrr 12 drr或 12 drr 12 drr或 12 drr 【注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】 18. 圆锥曲线的定义、方程与性质 圆 锥 曲 线 的 定 义 、 方 程 与 性 质 定义标准方程 几何性质 范围顶点焦点对称性离心率 椭 圆 平面内与两个定点 1F，

42、 2F的距离之和等于常数 2a（大于 12 2F Fc）的 点的轨迹叫做椭圆 【 222 bac，ab】 22 22 1 xy ab xa yb (,0)a (0,)b (,0)c x轴 y轴 坐标原点 椭圆中 ac 01e c e a 双曲线 中 ac 1e 22 22 1 yx ab ya xb (0,)a (,0)b (0,)c 双 曲 线 平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离之差的绝对值 等 于 常 数2a（ 小 于 12 2F Fc）的点的轨迹 叫做双曲线 【 222 bca】 22 22 1 xy ab xa yR (,0)a(,0)c 22 22 1 yx ab ya xR

43、(0,)a(0,)c 抛 物 线 平面内到一个定点F和一 条定直线l（定点F不在 2 2ypx 0x yR (0,0)(,0) 2 px轴 1 【 离 心 率 是 曲 第 16 页 共 24 页 定直线 l） 距离相等的点的 轨迹是抛物线。 【焦点到准线的距离等于 p，0p， 焦参数】 2 2ypx 0x yR (,0) 2 p 线 上 的 点 到 焦 点 的 距 离 与 到 准 线 的 距 离 之 比】 2 2xpy 0y xR (0,) 2 p y轴 2 2xpy 0y xR (0,) 2 p 注：1. 表中两种形式的双曲线方程对应的渐近线方程分别为 b yx a ， a yx b 。 2

44、.表中四种形式的抛物线方程对应的准线方程分别是, 2222 pppp xxyy。 19. 圆锥曲线的热点问题 曲 线 方 程 与 圆 锥 曲 线 热 点 问 题 曲 线 与 方 程 概念 曲线C上点的坐标都是方程( , )0f x y的解，以( , )0f x y的解为坐标的点都在曲线 C上，则称曲线C为方程( ,)0f x y的曲线、方程( , )0f x y为曲线C的方程。 求法 直接法把动点坐标直接代入已知几何条件的方法。 定义法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）。 代入法 动点,P x y随动点 00 ,Q xy运动，Q在曲线:,0Cfx y上， 以,

45、x y表 示 00 ,xy， 代入曲线C的方程得到动点轨迹方程的方法。 参数法 把动点坐标( , )x y用参数t进行表达的方法。此时( ),( )xtyt， 消掉t即得动点轨迹方程。 交规法 轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数即 得轨迹方程的方法。 热 点 问 题 定点 含义 含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点。 解法 把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲 线系恒过的定点。 定值 含义 不随其它量的变化而发生数值发生变化的量。 解法建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关。 范围 含

46、义 一个量变化时的变化范围。 解法 建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或 者解不等式。 最值含义一个量在变化时的最大值和最小值。 第 17 页 共 24 页 解法 建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值。 20. 概率 概 率 定义 如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将发生 的频率 m n 作为事件A发生的概率的近似值，即 m P A n 。 事件 关系 基本关系包含关系；相等关系；和事件；积事件. 类比集合关系。 互斥事件事件 A和事件B在任何一次实验中不会同时发生 对立事件 事件 A和事件B， 在任何一次实验中有且只有一

47、个发 生。 性质 基本性质0()1P A，()0P，()1P。 互斥事件事件,A B互斥，则()()( )P ABP AP B。 对立事件事件 A与它的对立事件A的概率满足()()1P AP A . 古典 概型 特征基本事件发生等可能性和基本事件的个数有限性 计算公式() m P A n ，n基本事件的个数、m事件A所包含的基本事件个数。 几何 概型 特征基本事件个数的无限性每个基本事件发生的等可能性。 计算公式 ( ) A P A 构成事件的测度 试验全部结果所构成的测度 21. 离散型随机变量及其分布 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 随机变 量及其 分布列 概念 随着试验结果变

48、化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫 做离散型随机变量。 分布列离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格。 性质 （1）0(12) i pinL， ， ； （2）12 1 n pppL 。 事件的 独立性 条件概率 概念：事件A发生的条件下，事件B发生的概率， () () () P AB P BA P A |。 性质 ：0()1P B A|,B C互斥，()()()P BCAP B AP CAU| 独立事件 事件 A与事件B满足 ()( )( )P ABP A P B， 事件 A与事件B相互独立。 n次独立 重复试验 每次试验中事件 A发生的概率为p， 在n次独立重复试

49、验中， 事件A恰好发 生k次的概率为()(1)(0 1 2) kkn k n P XkC ppknL， ， ，。 第 18 页 共 24 页 典型 分布 超几何 分布 ()012 knk MNM n N C C P Xkk C L， ，m ，其 中minmMn，且 nN ， 且,nN MN nM NN， 二项分布 分布列为：()(1)(01 2) kkn k n P XkC ppknL， ， ，()XB np，。 数学期望EXnp、方差(1)DXnpp【1n时为两点分布】 正态分布 2 2 () 2 1 ( ) 2 x a xe图 象 称 为 正 态 密 度 曲 线 ，随 机 变 量X满 足 ()( ) b a P aXbx dx ，则称 X的分布为正态分布 正态密度曲线的特点。 数字 特征 数学期望 1122iinn EXx px px px pLL()E aXbaEXb 方差和 标准差 方差： 2 1 () n ii i DXxEXp