联考理科数学试题及答案.pdf

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1、鄂南高中华师一附中黄冈中学黄石二中 荆州中学孝感高中襄阳四中襄阳五中 2020 届高三第一次联考 数 学（理科）试题 命题学校： XXX 中学 命题人： XXX 审题人： XXX 第卷 一 . 选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 . 1. 复数 10 3 i z i (i为虚数单位 )的虚部为 A.1B. 3C. 3D. 15 4 2. 已知集合 22 | 21 ,230 x AxBx xx， 则BACR)(= A. 2,1)B. (, 2C. 2, 1)(3,)UD. (2, 1)(3,)U 3. 下列选项中，说法正确的是 A. 若

2、0ab， 则 11 22 loglogab B. 向量(1,),(,21)ambmm rr ()mR共线的充要条件是0m C. 命题“ *1 ,3(2) 2 nn nNn”的否定是“ *1 ,3(2) 2 nn nNn” D. 已知函数( )f x在区间 , a b上的图象是连续不断的，则命题 “若( )( )0f af b， 则( )f x在 区 间( , )a b内至少有一个零点”的逆命题为假命题 4. 实数 3 0.3a， 3 log 0.3b， 0.3 3c的大小关系是 A. abcB. acbC. bacD. bca 5. 函数 32 1 x y x 的图象大致是 A. B. C.

3、D. 6. 已知 3 2 0 x dx,数列 n a是各项为正数的等比数列,则 42 3 aa a 的最小值为 A. 2 3B. 2 C. 6 3D. 6 7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.34B. 42 C. 9 4 2 D. 11 4 2 8. 若实数, x y满足 3 3 26 xy xy xy ， 则 22 (1)xy的最小值为 A.2 2B.10C. 8D. 10 9. 成书于公元五世纪的张邱建算经 是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，说 明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二： 南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节

4、，一节一个圈 . 头节高五寸 ， 头圈一尺三. 逐节多三分 ， 逐圈少分三 . 一蚁往上爬， 遇圈则绕圈 . 爬到竹子顶，行程是多远？ 此民谣提出的问题的答案是 (注：五寸即0.5尺. 一尺三即1.3尺. 三分即0.03尺.分三即一分三厘，等于0.013尺.) A. 72.705尺B. 61.395尺C. 61.905尺D. 73.995尺 10. 已知直线()ykx kR与函数 2 1 3() (0) 4 ( ) 1 2 (0) 2 x x f x xx 的图象恰有三个不同的公共点，则实数 k的取值范围是 A. 3 (,) 2 B. (, 2)(2,)UC. (,2)D. (2,) 11.已

5、知1x是函数 3 ( )lnf xaxbxx(0,abR) 的一个极值点，则ln a与1b的大小关系 是 A. ln1abB. ln1abC. ln1abD. 以上都不对 12. 已知 1 ( )sincos (,) 4 f xxxxR， 若( )f x的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都 不属于区间(2,3)， 则的取值范围是 A. 3 1111 19 , 8 128 12 UB. 155 3 (, 4 128 4 UC. 377 11 , 8 128 12 UD. 1 39 17 (, 4 48 12 U 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题至第 21 题为必考题，每个试题考

6、生都必须作答. 第 22 题至第 23 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写 不清、模棱两可均不得分. 13. 已知向量a r ，b r 的夹角为 3 ， 且()1aab r rr ，|2a r ， 则|b r . 14. 已知数列 n a满足： * 1221 1,2,() nnn aaaaanN，函数 3 ( )tanf xaxbx，若 4 ()9f a， 则 12017 ()()f af a的值是. 15. 定义四个数, , ,a b c d的二阶积和式 a b adbc c d . 九个数的三阶积

7、和式可用如下方式化为二 阶积和式进行计算： 123 23 1231 23 123 aaa bb bbba cc ccc 1312 23 1312 bbbb aa cccc . 已知函数 2 9 ( ) 1 1 2 n f nnn n ( * nN) ， 则( )f n的最小值为. 16. 如图所示，五面体ABCDFE中，/ABCDEF， 四边形ABCD， ABEF，CDFE都是等腰梯形，并且平面ABCD平面ABEF， 12,3,4ABCDEF， 梯形ABCD的高为3， EF到平面ABCD 的距离为6， 则此五面体的体积为. 三. 解答题：本题共 6小题 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

8、 . 17.( 本小题满分12分) ABC中，角,A B C的对边分别为, ,a b c， 已知 3sin cos Cc Bb . （）求角B的大小； （）点D为边AB上的一点，记BDC， 若 2 ， 2,CD5AD， 8 5 5 a， 求sin与b的值 . 18.( 本小题满分12分) 已知函数( )sin() (0,0,) 2 fxAxA的部分图象如图所示. （）求( )f x的表达式； （）把函数( )yf x的图象向右平移 4 个单位后得到函数( )g x的图 象，若函数 1 ( )(2 )( ) 2 h xaxgxg x在(,)单调递增， 求实数 a 的取值范围 . 19.( 本小题

9、满分12分) 已知两数列 n a， n b满足13 n nn ba( * nN)， 11 310ba， 其中 n a是公差大于零的等 差数列，且 2 a， 7 a， 2 1b成等比数列 . （）求数列 n a的通项公式； （）求数列 n b的前n项和 n S. 20.( 本小题满分12分) 一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产 A、B两种奶制品， 如用甲类 设备加工一桶牛奶，需耗电12千瓦时，可得3千克A制品；如用乙类设备加工一桶牛奶，需耗 电8千瓦时，可得4千克B制品 . 根据市场需求，生产的 A、B两种奶制品能全部售出， 每千 克A获利a元，每千克 B获利b元. 现在加

10、工厂每天最多能得到50桶牛奶， 每天两类设备工作 耗电的总和不得超过480千瓦时，并且甲类设备每天至多能加工102千克A制品， 乙类设备的加 工能力没有限制.其生产方案是：每天用x桶牛奶生产A制品，用y桶牛奶生产B制品 ( 为了使问 题研究简化，, x y可以不为整数 ) . （）若24a，16b， 试为工厂制定一个最佳生产方案（记此最佳生产方案为 0 F）,即, x y分 别为何值时，使工厂每天的获利最大，并求出该最大值； ( ) 随着季节的变换和市场的变化，以及对原配方的改进，市场价格也发生变化，获利也随市 场波动 . 若24(14 )a， 2 16(155)b（这里01） ， 其它条件不

11、变，试求 的取值范围，使工厂当且仅当 采取（）中的生产方案0 F时当天获利才能最大. 21.( 本小题满分12分) 已知函数( )ln(2 )fxxaax, 0a. （）求( )f x的单调区间； （）记( )f x的最大值为( )M a， 若 21 0aa且 12 ()()M aM a， 求证： 12 1 4 a a; （）若2a,记集合|( )0xf x中的最小元素为 0 x,设函数( )|( ) |g xf xx， 求证： 0 x是( )g x 的极小值点 . 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分 22. ( 本小题满分10分) 选修 4-4 ：坐标系与

12、参数方程 在直角坐标标系xoy中， 已知曲线 12 1cos : 9 sin 4 x C y (为参数 ,R） ， 在以原点O为极点， x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位）， 曲线 2: sin() 4 C 2 2 ， 曲线 3: 2cosC. （）求曲线 1 C与 2 C的交点M的直角坐标； （）设,A B分别为曲线 2 C， 3 C上的动点，求AB的最小值 . 23. (本小题满分10分) 选修 4-5 ：不等式选讲 设函数( )f xxa,a R. （）当2a时，解不等式：( )625f xx； （）若关于x的不等式( )4f x的解集为 1,7，且两正数s和t满足2sta

13、，求证： 18 6 st . 2017届高三第一次联考 数学(理科) 试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C D C A D C C B D B C 13. 3 14. 18 15. 21 16. 57 17.（）由已知 3sin cos Cc Bb ， 得 3sinsin cossin CC BB ，sin0CQ， sin3 tan cos3 B B B ， 0BQ， 6 B. .4 分 （）在BCD中， sinsinsin CDBCa BBDC Q, 8 5 2 5 sin 30sin o ， 2 5 sin 5 . . .8 分 Q为钝角，

14、ADC为锐角， 25 coscos()1sin 5 ADC， 在 ADC中， 由余弦定理，得 222 2cosbADCDADCD 5 542 52 5 5， 所以5b. .12 分 18.（）由图可知，1A， 最小正周期 52 2()2 44 T，1. 又2 42 k(kZ),且| 2 ， 4 . ( )sin() 4 fxx. .5 分 （）( )()sin 4 g xf xx, .7 分 则 11 ( )(2 )( )sin 2sin 22 h xaxgxg xaxxx， 22 19 ( )cos2cos2coscos12(cos) 48 h xaxxxxaxa， Q( )h x在,单调递

15、增，( )0h x恒成立， min 9 ( )0 8 h xa， 9 8 a， 即 a 的取值范围为 9 ,) 8 . .12 分 19.（）设 n a的公差为d(0d), 11 310baQ, 11 3(1 3)10aa, 1 3a. 又 21 3aadd， 71 63(12 )aadd， 22 199(3)bad， 由 2 a， 7 a， 2 1b成等比数列，得 22 9(12 )9(3)dd，0dQ，123dd，2d， 3(1)221 n ann. .6 分 （）因为21 n an， 所以1(21)3 n n bn， 于是， 2 (13 3)(15 3 )(1(21)3 ) n n Sn

16、， 令 12 3 35 3213 n Tn则 231 33 35 3213 n Tn ，得 1231 23 32 32 323213 nn Tn 21 11 33 9221 323 1 3 n nn nn ， 1 3 n Tn， 故 11 3(13) nn n Snnn .12 分 20. 设工厂每天的获利为z元 . 由已知，得34zaxby, 且 128480 50 3102 0,0 xy xy x xy ，作出可行域如图所示（图中阴影区域）. 3 分 （）347264zaxbyxy， 当7264zxy对应的直线过 直线128480xy与50xy的交点(20,30)时，z取最大值 3360.

17、 即最佳生产方案 0 F为20,30xy， 工厂每天的最大获利为3360元. .6 分 ( ) 为使z当且仅当20,30xy时取最大值，则直线34zaxby的斜率 3 4 a b 满足 123 1 84 a b ， 8 分 所以 4 2 3 a b ， 2 8144 91553 ， 注意到 2 1550， 所以 2 2 40410 20810 ， 2 ( 4)440 10Q， 2 40410恒成立； 由 2 20810， 得 11 102 ，01Q， 1 0 2 ， 故的取值范围为 1 (0,) 2 . .12 分 21.（） 1 ()(2) 1 ( ) 22 a xa a fxa xaxa

18、， 因为2xa，0a， 由( )0fx， 得 1 22axa a ；由( )0fx， 得 1 2xa a ； 所以，( )f x的增区间为 1 ( 2 ,2 )aa a ， 减区间为 1 (2 ,)a a . .3 分 （）由（）知， 2 1 ( )(2 )21 lnM afaaa a ， .4 分 22 1122 21ln21lnaaaa， 222 2121 1 2()lnlnln a aaaa a , 22 212 12 121 2ln aaa a a a aa 212 12 121 4()2ln aaa a a aaa , 2 1 12 21 12 2ln 4 () a a a a aa

19、 aa , 设 1 ( )2lnh ttt t （1t） ， 则 2 12 ( )1h t tt 2 1 (1)0 t ， 所以，( )h t在(1,)上单调递增，( )(1)0h th， 即 1 2ln0tt t ， 因 2 1 1 a a ， 故 212 121 2ln0 aaa aaa , 2 1 21 12 2ln 1 () a a aa aa , 所以 12 1 4 a a. . 8 分 （）由 ( ) 可知，( )f x在区间 1 ( 2 ,2 )aa a 单调递增，又2xa时，( )f x. 易 知 ， 21 (2 )( )21lnfaM aaa a 在(2,)递 增 ，( )(

20、2)7ln 20M aM， 0 1 22axa a ， 且 0 2axx时，( )0f x； 0 1 2xxa a 时，( )0f x. 当2ax 1 2a a 时， 0 0 (1)ln(2 ) ( 2) ( ) 1 ln(2 ) (1) (2 ) axxaa xx g x xaaxxxa a ， 于是 0 2axx时， 0 11 ( )(1)(1) 22 g xaa xaxa ,（所以，若能证明 0 1 2 1 xa a ， 便 能证明 0 1 (1)0 2 a xa ）. 记 2 11 ( )(2 )21ln(1) 11 H afaaa aa ， 则 2 11 ( )4 (1)1 Haa

21、aa ，Q2a， 11 ( )80 93 Ha，( )H a在(2,)内单调 递增， 22 ( )(2)ln30 3 H aH， 11 22 1 aa aa Q，( )fx在 1 ( 2 ,2 ) 1 aa a （ 1 ( 2 ,2 )aa a ）内单调递增， 0 1 ( 2 ,2 ) 1 xaa a ,于是 0 2axx时， 0 111 ( )(1)(1)(1)0 1 22 22 1 g xaaa xaxa aa a , ( )g x在 0 ( 2 ,)a x递减 . 当 0 1 2xxa a 时，相应的 1 ( )(1) 2 g xa xa 1 (1) 1 (2 )2 a aa a 10，

22、 ( )g x在 0 1 (,2 )xa a 递增 . 故 0 x是( )g x的极小值点 . .12 分 23. ( )不等式即2256xx， 5 2 2256 x xx 或 5 2 2 2526 x xx 或 2 2526 x xx . 由，得 13 3 x；由，得x；由，得 1 3 x； 所以，原不等式的解集为 113 (, ,) 33 U. .5 分 ()不等式( )4f x即44xa，44axa，41a且47a， 3a. 181 18116116 ()(2)(10)(102)6 333 tsts st stststst . .10 分 说明 : 各题评分时评分标准可根据情况适当细化.

23、 22. () 由 1 2 1cos : 9 sin 4 x C y ， 得 22 95 1cos(1) 44 yx, 曲线 1 C的普通方程为 2 5 (1) 4 yx（02x）, 由 2 2 :sin() 42 C， 得曲线 2 C的直角坐标系普通方程为10xy. 由 2 5 (1) 4 10 yx xy ， 得 2 41250xx， 1 2 x( 5 2 x舍） ， 3 2 y， 所以点M的直角坐标为 13 (,) 22 . .5 分 （）由 3: 2cosC， 得 2 2cos，曲线 3 C的直角坐标系普通方程为 22 20xyx， 即 22 (1)1xy， 则曲线 3 C的圆心(1,0)到直线10xy的距离 |101| 2 2 d，Q圆 3 C的半径为1， 所以 min |21AB. .10 分