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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 23.2 方差与标准差 1什么叫一组数据的极差、方差、标准差？ 2一组数据的方差和标准差具有什么作用？ 新知初探 1极差、方差、标准差 (1)极差：一组数据的最大值与最小值的差 (2)方差与标准差： 设一组样本数据x1，x2，xn，其平均数为x，则称s 2 1 n i 1 n (xix)2为这个样本的 方差，其算术平方根s 1 n i1 n xix 2为样本的标准差 2方差与标准差的作用 标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、 方差越大， 数据的离散程 度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小方差、标准差刻画了一组数据的稳定程 度
2、 小试身手 1数据 0,1,3,4,7的极差为 _，方差为 _ 答案： 7 6 2一组数据1,2,3,4，a的平均数是3，则数据的方差为_，标准差为 _ 答案： 2 2 3 若 1,2,3，x的平均数是5， 而 1,3,3，x，y的平均数是6， 则 1,2,3，x，y的方差是 _ 解析：由 5 12 3x 4 得x14. 同理y9. 由s 2 1 5 (122 23214292)5.82 24.56. 答案： 24.56 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 典例 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6 件 测量，数据 (单位： cm)为： 甲： 99 1
3、00 98 100 100 103； 乙： 99 100 102 99 100 100. (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定 解 (1)x甲 1 6(9910098100100103)100， x乙 1 6 (9910010299100100)100. s 2 甲 1 6(99100) 2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2 7 3. s 2 乙 1 6(99100) 2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21. (2)两台机床所加工零件
4、的直径的平均数相同， 又s 2 甲s 2 乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定 (1)方差常用计算公式有两个 基本公式s2 1 n(x 1x) 2 (x 2x) 2 (x n x)2 简单计算公式：s2 1 n(x 2 1x 2 2x 2 n)n x 2或写成 s 2 1 n(x 2 1x 2 2x 2 n) x 2，即方差等于原数据平方和的平均数减去平均数的平方 (2)在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，因此还要研究样本数据偏离平均数 的离散程度 (即方差或标准差)，标准差大说明样本数据分散性大，标准差小说明样本数据分 散性小或者样本数据集中稳定 活学活用 某工厂甲、乙两个车间包装同一
5、种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品， 称其重量 (单位： g)是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图如下图： 方差、标准差的计算及应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 根据样本数据， 计算甲、 乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的 重量相对稳定 解：设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为x甲、x乙，方差分别为s 2 甲、s 2 乙， 则x甲 122114 113111111107 6 113， x乙 124 110112115108109 6 113， s 2 甲 1 6(122113) 2(114113)2(113113)2(111113)2(1
6、11113)2(107113)2 21， s 2 乙 1 6(124113) 2(110113)2(112113)2(115113)2(108113)2(109113)2 29 1 3 ， 由于s 2 甲s 2 乙，所以甲车间的产品的重量相对稳定. 典例 设数据x1，x2，xn的方差为s2，求下列各组数据的方差 (1) x1b，x2b，xnb； (2)ax1, ax2，axn； (3)ax1b, ax2b，axnb. 解 设数据x1，x2，xn的平均数为x， 则数据x1b，x2b，xnb的平均数为xb， 数据ax1，ax2，axn的平均数为a x， 数据ax1b，ax2b，axnb的平均数为a
7、 xb， 设数据x1b，x2b，xnb的方差为s21， 数据ax1，ax2，axn的方差为s 2 2， 数据ax1b，ax2b，axnb的方差为s 2 3， (1) s 2 1 1 n(x 1bxb) 2(x 2bxb) 2 (x nb xb)2 方差的性质 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 n(x 1x) 2(x 2x) 2 (x nx) 2s2， (2)s 2 2 1 n(ax 1a x) 2 (ax 2a x) 2 (ax na x) 2 a 2 1 n(x 1x)2(x2x)2 (xnx)2a 2s2， (3)s 2 3 1 n(ax 1ba xb) 2 (ax 2ba x
8、 b)2 (axnba xb)2 1 n(ax 1a x) 2(ax 2a x) 2 (ax na x) 2 a 21 n(x 1x) 2(x 2x) 2 (x nx) 2 a 2s2. (1)数据x1，x2，xn与数据x1b，x2b，xnb的方差相等； (2)若x1，x2，xn的方差为s 2，则 ax1，ax2，axn的方差为a 2s2； (3)若x1，x2，xn的方差为s 2，则 ax1b，ax2b，axnb的方差为 a 2s2.反映了方差的性质，利用这些性质可比较方便地求一些数据的方差 活学活用 1已知一组数据x1，x2，x8的平均数是2，方差为6，则数据x11，x21， x81 的平均
9、数是 _，方差是 _ 答案： 1 6 2已知一组数据x1，x2，xn的平均数是2，方差是4，则数据 2x13,2x23， 2xn3 的平均数是 _，方差是 _ 答案： 1 16 典例 (广东高考 )某工厂 36 名工人的年龄数据如下表. 工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄工人编号年龄 140103619272834 统计图表中的方差问题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 244113120432939 340123821413043 441133922373138 533144323343242 640154524423353 745163925373437 842173826443
10、549 943183627423639 (1)用系统抽样法从36 名工人中抽取容量为9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽 到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据 (2)计算 (1)中样本的均值x和方差s2. (3)36 名工人中年龄在xs与xs之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到 0.01%)? 解 (1)36人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号 为 2， 所以所有样本数据的编号为4n2(n 1,2， 9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37. (2)由均值公式知：x 4440 37 9 40， 由方差公式知：s
11、 21 9(4440) 2(4040)2 (3740)2100 9 . (3)因为s2 100 9 ，s 10 3 ， 所以 36 名工人中年龄在xs和xs之间的人数等于年龄在区间37,43上的人数， 即 40,40,41 ， 39，共 23人 所以 36 名工人中年龄在xs和xs之间的人数所占的百分比为 23 36100%63.89%. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)解决统计图表中的方差问题的基本方法是从图表中读取数据后，再利用方差含义求出 方差 (2)利用组中值求出的方差为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它能粗略估计方 差 活学活用 从某企业生产的某种产品中抽取10
12、0件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果 得如下频数分布表： 质量 指标值 分组 75,85)85,95)95,105)105,115)115,125 频数62638228 (1)在下表中作出这些数据的频率分布直方图： (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表)； (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 解： (1)如图所示： (2)质量指标值的样本平均数为 x800.0690 0.26 1000.381100.221200.08100. 积一时之跬步臻千里
13、之遥程 马鸣风萧萧整理 质量指标值的样本方差为 s 2(20)20.06(10)20.2600.38102 0.22 2020.08104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 038 0.22 0.08 0.68. 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品的80%”的规定 层级一学业水平达标 1给出下列说法：一组数据不可能有两个众数；一组数据中的方差必须是正数； 将一组数据中的每一个数据加上或减去同一常数后，方差恒不变； 在频率分布直方图中
14、， 每个小长方形的面积等于相应小组的频率，其中错误的个数有_个 答案： 2 2某老师从星期一到星期五收到电子邮件数分别是10,6,8,5,6 ，则该组数据的方差s 2 _. 解析： 5 个数据的平均数x 10 685 6 5 7，所以s2 1 5(107) 2(67)2 (8 7)2 (57)2(67)23.2. 答案： 3.2 3抽样统计甲、乙两位射击运动员的5 次训练成绩 (单位：环 )，结果如下： 运动员第 1 次第 2 次第 3次第 4 次第 5 次 甲8791908993 乙8990918892 则成绩较为稳定(方差较小 )的那位运动员成绩的方差为_ 解析：易知均值都是90， 甲的方
15、差为s 2 甲 1 5(8790) 2(9190)2(9090)2(8990)2 (9390) 24. 乙的方差为s2乙 1 5(8990) 2(9090)2(9190)2(8890)2 (9290)22. s2甲s 2 乙 答案： 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图， 若去掉一个最高分和一个最低分，则剩余分数的方差为_ 解析：去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为84,84,84,86,87 ， 其均值为85，方差为s2 1 5(8485) 23(86 85)2(8785)2 8 5. 答案： 8 5 5从甲、乙两种玉米苗
16、中各抽10 株，分别测得它们的株高如下(单位： cm)： 甲： 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙： 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问： (1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？ 解： (1)x 甲 1 10 (254140 37221419392142) 1 1030030(cm)， x 乙 1 10(27 164427441640401640) 1 1031031(cm) x甲x乙，即乙种玉米苗长得高 (2)s 2 甲 1 10(2530) 2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930
17、)2 (3930) 2(2130)2(4230)2 1 10(2512110049642561218181144) 1 10 1 042104.2， s 2 乙 1 10(227 2 316234022442)312 128.8， s 2 甲s 2 乙，即甲种玉米苗长得齐 层级二应试能力达标 1甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表： 甲乙丙丁 平均数x8.58.88.88 方差s 2 3.53.52.18.7 则参加奥运会的最佳人选应为_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定 答案：丙 2某班级有50
18、名学生，其中有30名男生和20 名女生，随机询问了该班五名男生和五 名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90 ，五名女生的成绩分 别为 88,93,93,88,93. 下列说法一定正确的是_ 这种抽样方法是一种分层抽样； 这种抽样方法是一种系统抽样； 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差； 该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 解析： 对，分层抽样要求男女生总人数之比等于男女生抽样人数之比，所以错对 ，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以错对，男生方差为8，女生方差为 6，所以正确对，抽取的样本平均成绩不能代表总体平均成绩所以错 答案
19、： 3某人5 次上班途中所花的时间(单位：分钟 )分别为x，y,10,11,9. 已知这组数据的平均 数为 10，方差为2，则x2y2的值为 _ 解析：由 1 5(x y10 119)10， 1 5(x10) 2(y10)2 0112，联立解得 x2y2 208. 答案： 208 4若 10 个正数的平方和是370，方差是33，则平均数为_ 解析：由s2 1 10(x 2 1x 2 2x 2 10)x 2，得 33 1 10 370x 2，解得 x2. 答案： 2 5样本容量为10 的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其标准差等于 _ 解析：由条形图知2 与 8 的个数相等，且多于
20、5 的个数，于是这10 个数分别为 2,2,2,2,5,5,8,8,8,8. x5，s 2 1 10(25) 2 (2 5)2(25)2(2 5)2(55)2(55)2(8 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5)2(85)2(85) 2 (8 5)2 1 1089 36 5 .s 65 5 . 答案： 65 5 6甲、乙两名同学在五次考试中的数学成绩统计用茎叶图表示如图所示，则成绩的方 差较小的为 _. 解析：x甲 1 5(98 99 105115118)107， x乙 1 5(95 106 108 112114)107. s2甲 1 5(98 107) 2(99 107) 2 (10
21、5 107) 2 (115 107) 2(118107)2 66.8. s 2 乙 1 5(95107) 2(106107)2(108107)2(112107)2(114107)244. 成绩的方差较小的为乙 答案：乙 7 一组数据的每一个数据都减去80， 得到一组新数据， 若求得的新数据的平均数是1.2， 方差是 4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是_ 解析：由平均数与方差的性质知原来数据的平均数1.2 8081.2.方差不变 答案： 81.2,4.4 8为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了 “家庭每月日常消费额”的调查他们将调查所得的数据分别绘制成频
22、率分布直方图(如图 所示 )，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它们的大小关系为_ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：由直方图容易求得甲、乙、丙三个社区“家庭每月日常消费额”的平均值分别为 2 200 元、 2 250 元、 2 150 元，又由直方图可知甲的数据偏离平均值最大，故标准差最大， 乙的数据偏离平均值最小，故标准差最小，即标准差的大小关系是s1s3s2.故填s1s3s2. 答案：s1s3s2 9对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6 次测试，测得他们的最大速度(m/s) 的数据如下表： 甲273830373531 乙332938342836
23、(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？ (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、中位数、标准差，并 判断选谁参加比赛更合适 解： (1)画茎叶图如图所示，中间数为数据的十位数. 从这个茎叶图中可以看出，甲、乙的得分情况都 是分布均匀的，只是乙更好一些；乙的中位数是33.5， 甲的中位数是33.因此，乙发挥比较稳定， 总体得分情 况比甲好 (2)可求x 甲33， x 乙33，s甲 3.96，s乙3.56， 甲的中位数是33，乙的中位数是33.5，综合比较，乙参加比赛较合适 10总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,20 ，且总体的中位数 为 10.5，求使该总体的方差最小时a，b的取值 解：数据共有10 个，且总体的中位数为10.5，ab21，经计算，此时样本数据 的平均数是10，使该总体的方差最小，则只要(a10)2(b10)2最小即可， 而(a10)2(b 10)2(a10)2(a11)22a 242a 221，由二次函数的图象可知当a10.5 时，该总体的 方差最小，此时b10.5.