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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 四 渐开线与摆线 一、基础达标 1.已知圆的渐开线的参数方程是 xcos sin ， ysin cos (为参数 )，则此渐开线对应的基圆的周 长是 ( ) A.B.2 C.3D.4 解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所 以基圆的周长为2，故选 B. 答案B 2.已知一个圆的参数方程为 x3cos ， y3sin (为参数 )， 那么圆的摆线方程中与参数 2对应的 点A与点B 3 2 ， 2 之间的距离为 ( ) A. 21 B.2 C.10 D. 3 2 1 解 析根 据 圆 的 参 数 方 程 可 知 ，
2、圆 的 半 径 为3， 那 么 它 的 摆 线 的 参 数 方 程 为 x3（sin ）， y3（1cos ） (为参数 )，把 2代入参数方程中可得 x3 2 1 ， y3， 即A 3 2 3，3 ， |AB| 3 2 3 3 2 2 （ 32） 2 10. 答案C 3.摆线 x2（tsin t）， y 2（1cos t） (t为参数， 0t2 )与直线y 2的交点的直角坐标是( ) A.( 2，2)，(3 2，2) B.( 3，2)，(3 3，2) C.(， 2)，(， 2) D.(2 2，2)， (2 2，2) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析由 22(1 cos t)得
3、cos t0.t0，2 )，t1 2，t 2 3 2 .代入参数方程得到对应的 交点的坐标为( 2，2)，(3 2，2). 答案A 4.已知圆的渐开线的参数方程是 xcos sin ， ysin cos (为参数 )，则此渐开线对应的基圆的直 径是 _，当参数 4时对应的曲线上的点的坐标为 _. 解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故 直径为2.把 4代入曲线的参数方程，得 x 2 2 2 8 ，y 2 2 2 8 ，由此可得对应的 坐标为 2 2 2 8 ， 2 2 2 8 . 答案2 2 2 2 8 ， 2 2 2 8 5.已知圆的方程为x2y24，点
4、P为其渐开线上一点，对应的参数 2，则点 P的坐标为 _. 解析由题意，圆的半径r2，其渐开线的参数方程为 x2（cos sin ） y2（sin cos ） (为参数 ). 当 2时， x，y2，故点P的坐标为P(， 2). 答案(， 2) 6.给出直径为6 的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程. 解以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6， 所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是 x3cos 3sin ， y3sin 3cos (为参数 ). 以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为 积一时之跬步臻千
5、里之遥程 马鸣风萧萧整理 x 33sin ， y 33cos (为参数 ). 7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是 3和 2 ，求A、B两点的距离 . 解根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是 xcos sin ， ysin cos (为参 数)， 分别把 3和 2代入，可得 A、B两点的坐标分别为 A 33 6 ， 33 6 ，B 2，1 . 那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为 |AB| 33 6 2 2 33 6 1 2 1 6 （1363） 26 36 372. 即A、B两点之间的距离为 1 6 （1363） 2
6、 6 36 3 72. 二、能力提升 8.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做 “正方形的渐 开线” ，其中AE 、EF 、FG 、GH 的圆心依次按B、C、D、A循环， 它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是 ( ) A.3B.4 C.5D.6 解析根据渐开线的定义可知，AE 是半径为1 的 1 4圆周长，长度为 2，继续旋转可得 EF 是 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 半径为 2 的 1 4圆周长，长度为； FG 是半径为3 的 1 4圆周长，长度为 3 2 ；GH 是半径为4 的 1 4 圆周长，长度为2 .所以曲线AEFGH的长是 5 . 答案C 9.已知一
7、个圆的平摆线方程是 x22sin ， y22cos (为参数 )，求该圆的周长，并写出平摆线上 最高点的坐标 . 解由平摆线方程知，圆的半径为2， 则圆的周长为4 .当时，y有最大值4， 平摆线具有周期性，周期为2 . 平摆线上最高点的坐标为( 2k， 4)(kZ). 10.渐开线方程为 x6（cos sin ）， y6（sin cos ） (为参数 )的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标 伸长为原来的2 倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标. 解由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x2y236. 把横坐标伸长到原来的2 倍， 得到椭圆方程 x2 4 y236，即 x2 114 y2
8、 361， 对应的焦点坐标为(63，0)和( 63，0). 11.如图，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上 )，当车轮滚 动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ| r 2或| AQ| 3r 2 ，请 推出Q的轨迹的参数方程. 解设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(r，r)， 则 x0r（sin ）， y0r（ 1cos ） . 当|AQ| r 2 时， 有 x02xr， y02yr， 代入 x0r（sin ）， y0r（1cos ）. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点Q的轨迹的参数方程为 x r 1 2sin ， yr1 1 2cos (为参数 ). 当AQ3r 2
9、时，有 x0 r2x 3 ， y0 r2y 3 ， 代入 x0r（sin ）， y0r（1cos ） . 点Q的轨迹方程为 x r 3 2sin ， yr1 3 2cos (为参数 ). 三、探究与创新 12.已知一个参数方程是 x2tcos ， y2tsin ， 如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率 存在 )，如果把当成参数 (t0)，它表示半径为t的圆 . (1)请写出直线和圆的普通方程； (2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程. 解(1)如果把t看成参数， 可得直线的普通方程为：y 2tan (x2)， 即yxtan 2tan 2，如果把看成参数且t0 时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x2)2(y2)2 t2. (2)由于圆的圆心在(0，t)， 圆的半径为t， 所以对应的摆线的参数方程为 xt（sin ）， yt（1cos ） (为参数 ).