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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.1.1 命题 提出问题 观察下列语句： (1)三角形的三个内角的和等于360 . (2)今年校运动会我们班还能得第一吗？ (3)这是一棵大树呀！ (4)实数的平方是正数 (5)能被 4 整除的数一定能被2 整除 问题 1：上述语句哪几个语句能判断真假？ 提示： (1)(4)(5) 问题 2：你能判断它们的真假吗？ 提示：能， (5)真， (1)(4)为假 导入新知 命题 定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句 分类： 真命题：判断为真的语句 假命题：判断为假的语句 形式：“若p，则q” .其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论 化解
2、疑难 1判断一个语句是命题的两个要素： (1)是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； (2)可以判断真假 2命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举 出一个反例即可 命题的判断 例 1 判断下列语句是不是命题，并说明理由 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1) 3是有理数； (2)3x25； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x2x70. 解 (1)“ 3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题 (2)因为无法判断“3x25”的真假，所以它不是命题 (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题 (4)因为x2x7x 1 2 2
3、 27 4 0，所以“x2x70”是真的，故是命题 类题通法 判断语句是不是命题的策略 判断一个语句是不是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“是陈述句” 和“可以判断真假”这两个条件，如果满足这两个条件，该语句就是命题，否则就不是 活学活用 判断下列语句是否为命题，并说明理由 (1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形； (2)任何集合都是它自己的子集； (3)对顶角相等吗？ (4)x3. 解： (1)是陈述句，能判断真假，是命题 (2)是陈述句，能判断真假，是命题 (3)不是陈述句，不是命题 (4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题. 判断命题的真假 例 2 判断下列命题的真假，并
4、说明理由 (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当x4 时， 2x10； (3)若x3 或x7，则 (x3)(x7) 0； (4)一个等比数列的公比大于1 时，该数列一定为递增数列 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形 (2)是假命题，x4 不满足 2x10. (3)是真命题，x3 或x7 能得到 (x3)(x7)0. (4)是假命题，因为当等比数列的首项a10，公比q1 时，该数列为递减数列 类题通法 命题真假的判定方法 (1)真命题的判定方法： 真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑 推
5、理的一个过程判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法 (2)假命题的判定方法： 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法 活学活用 下列命题中真命题有( ) mx 2 2x1 0 是一元二次方程；抛物线 yax 22x1 与 x轴至少有一个交点； 互相包含的两个集合相等；空集是任何集合的真子集 A 1个B2 个C3 个D4 个 解析：选A 中当m0 时，是一元一次方程；中当44a0 时，抛物线与x 轴无交点；是正确的；中空集不是本身的真子集 命题的结构形式 例 3 将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假 (1)6 是 12和 18
6、的公约数； (2)当a 1 时，方程ax 22x10 有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知x，y为非零自然数，当yx 2时，y4，x2. 解 (1)若一个数是6，则它是12和 18 的公约数是真命题 (2)若a 1，则方程ax 22x10 有两个不等实根是假命题 (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分是真命题 (4)已知x，y为非零自然数，若yx 2，则y4，x2.是假命题 类题通法 (1)把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，要将条件 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 写在前面，结论写在后面 (2)若条件和结论比较
7、隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论 需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一 活学活用 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假 (1)奇数不能被2 整除； (2)当(a1)2(b1)20 时，ab1； (3)两个相似三角形是全等三角形； (4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行 解： (1)若一个数是奇数，则它不能被2 整除是真命题 (2)若(a1)2(b1)20，则ab1.是真命题 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形是假命题 (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行是假命题 1.命题条件不明致误 典例
8、将命题“已知a，b为正数，当ab时，有a 2 b2”写成“若p，则q”的 形式，并指出条件和结论 解 根据题意，“若p，则q”的形式为：已知a，b为正数，若ab，则a 2 b2. 其中条件p：ab，结论q：a 2 b2. 易错防范 1易误把大前提“已知a，b为正数”当作条件，实际上若一个命题有大前提，则应把 它写在“若p，则q”之前，不能写在条件中 2任一命题都可以改写成“若p，则q”的形式，关键是分清命题的条件和结论，并且 把它们补充成语意完整的句子 成功破障 把命题“已知a，b为正数，当ab时，有 log2alog2b”写成“若p，则q”的形式 解： “若p，则q”的形式： 已知a，b为正
9、数， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 若ab，则 log2alog2b. 随堂即时演练 1下列命题中是真命题的是( ) A若ab0，则a2b20 B若ab，则acbc C若MNM，则N?M D若M?N，则MNM 解析：选D A 项中，a0，b0 时，a 2b2 0 不成立； B 项中， c0 时不成立； C 项中，MNM说明M?N.故选项 A、 B、C 皆错误 2对于向量a，b，c和实数，下列命题中，真命题是( ) A若ab0，则a0 或b0 B若 a0，则0 或a0 C若a 2b2，则 ab或ab D若abac，则bc 解析：选 B ab0，在a，b为非零向量时可得ab；a 2 b
10、2可改写为 |a| 2| b| 2，只 能得出 |a| |b| ；abac，可移项得a(bc)，不可两边同除以向量 3 命题 “函数y2x1 是增函数”的条件是 _， 结论是 _ 答案：函数为y2x1 该函数是增函数 4下列命题： 若xy1，则x，y互为倒数； 二次函数的图象与x轴有公共点； 平行四边形是梯形； 若acbc，则ab. 其中真命题是_(写出所有真命题的序号) 解析：对于，二次函数图象与x轴不一定有公共点；对于，平行四边形不是梯形 答案： 5已知命题p：x2 2x21；命题q：0x4，若命题p是真命题， 命题q是假命题， 求实数x的取值范围 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
11、 解：由x22x 21，即x22x 30， 解得x 1 或x3. 故命题p：x 1 或x3. 又命题q：0x4，且命题p为真，命题q为假， 则 x 1或x 3， x0或x4， 所以x 1 或x4. 故满足条件的实数x的取值范围为(， 14， ) 课时达标检测 一、选择题 1下列语句不是命题的有( ) 若ab，bc，则ac；x2； 34； 函数ya x(a0，且 a1)在 R 上是增函数 A 0个B1 个 C2 个D 3个 解析：选 C 是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命题 2下列命题中真命题的个数为( ) 面积相等的三角形是全等三角形； 若xy0，则 |x| |y| 0； 若
12、ab，则acbc； 矩形的对角线互相垂直 A 1 B2 C 3 D 4 解析：选 A 错；中，x3，y0，则xy 0，但 |x| |y| 0，故错；正确； 中，矩形的对角线相等，但不一定互相垂直 3命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A这个四边形的对角线互相平分 B这个四边形的对角线互相垂直 C这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D这个四边形是平行四边形 解析： 选 C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 平分，也互相垂直 ” 4已知a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，且a，b，则下
13、列命题 中，假命题是 ( ) A若ab，则 B若，则ab C若a，b相交，则，相交 D若，相交，则a，b相交 解析：选 D 由已知a，b，若，相交，则a，b有可能异面 5给出命题 “方程x2ax10 没有实数根” ，则使该命题为真命题的a的一个值可以 是( ) A 4 B2 C 0 D 3 解析：选 C 方程无实根时，应满足a 2 40.故 a0 时适合条件 二、填空题 6下列语句中是命题的有_，其中是真命题的有_(写出序号 ) 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ 一个数不是正数就是负数； 大角所对的边大于小角所对的边； ABC中，若AB，则 sin Asin B； 求证方程x2x10 无实
14、根 解析：是疑问句， 没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题； 是假命题，0既不是正数也不是负数； 是假命题，没有考虑在同一个三角形内； 是真命题； 祈使句，不是命题 答案： 7命题“若a0，则二元一次不等式xay10 表示直线xay10 的右上方区域 (包含边界 )” 的条件p： _， 结论q： _.它是 _(填 “真” 或“假” )命题 解析：a0时，设a1，把 (0,0)代入xy10 得 10 不成立，xy1 0表示 直线的右上方区域， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 命题为真命题 答案：a 0 二元一次不等式xay10 表示直线xay 10 的右上方区域(
15、包含边 界) 真 8若命题“ax 22ax 30不成立”是真命题，则实数a的取值范围是 _ 解析：ax 2 2ax 30 不成立， ax 22ax 3 0恒成立 当a 0时， 3 0恒成立； 当a 0时，则有 a0， 4a212a0， 解得 3a0.综上， 3a0. 答案： 3,0 三、解答题 9把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么 (1)乘积为 1的两个实数互为倒数； (2)奇函数的图象关于原点对称； (3)与同一直线平行的两个平面平行 解： (1)若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数它是真命题 p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数 (2)若一个
16、函数为奇函数，则它的图象关于原点对称它是真命题 p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称 (3)若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行它是假命题，这两个平面也可 能相交 p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行 10已知A：5x 1a，B：x1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构 造 的 命 题 “若p，则q”为真命题 解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x 1a 5 ，则x1” 由命题为真命题可 知 1a 5 1，解得a4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 若视B为p，则命题 “若p，则q”为“若x1，则x 1a 5 ” 由命题为真命题可知 1a 5 1，解得a4. 故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a1，则有真命题“若 x1，则x 2 5”