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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球 1了解圆柱、圆锥、圆台、球的概念(重点 ) 2通过与棱柱、棱锥、棱台的类比进一步认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(难 点、易混点 ) 3 了解复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们是由哪些简单几何体组合而成(难 点) 基础初探 教材整理 1 圆柱、圆锥和圆台的概念 阅读教材 P8 P9第 6 行以上部分，完成下列问题 1圆柱、圆锥和圆台的概念 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的 直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台 2与圆柱、圆锥、圆台有关的概念 绕着旋转的
2、这条直线叫做轴垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面不垂直于轴的边 旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线 1判断 (正确的打“” ，错误的打“”) (1)以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥() (2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆() (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台( ) 2如图 1118将图 (1)(2)(3)(4)所示的三角形绕直线l旋转一周， 可以得到如图(5)所示 的几何体的是哪一个图中的三角形_(填序号 ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 1118 【答案】(2) 教材整理 2 球 阅读教材 P9第 710 行的内容，完成下
3、列问题 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做 球体，如图1119所示 图 1119 下列说法中正确的是_(填序号 ) 半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球； 空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面； 球面和球是同一个概念； 经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 【解析】半圆弧以其直径为轴旋转所成的曲面叫球面，球面围成的几何体，叫球， 不正确；正确；球面和球是两个不同的概念，错误；若球面上不同的两点恰好为最大的 圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故错误 【答案】 教材整理 3 旋转体 阅读教材 P9第 11行至例 1 上面部分，完成下列问
4、题 定义图示 旋转面 一条平面曲线绕它所在平面内的一条定 直线旋转所形成的曲面叫做旋转面 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 旋转体封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体 下列各命题： 圆锥的轴截面是等腰三角形，且只有一个； 球的任意截面都是圆面； 圆台所有母线的延长线交于一点 其中正确命题的序号是_(写出所有正确命题的序号) 【解析】圆锥的轴截面是等腰三角形，但其轴截面有无数个，故错误；由球的特征 性质可知正确；由圆台的特征性质可知正确 【答案】 小组合作型 旋转体的结构特征 下列说法： 以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； 分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴
5、，将矩形旋转一周， 所得到的两个圆柱可能 是不同的圆柱； 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 其中正确说法的序号是_ 【精彩点拨】要紧扣住圆柱、圆锥、圆台的形成过程进行判断 【自主解答】错误 若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 不是圆台，是圆锥和圆台的组合体 正确 若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所 得圆柱也不同 错误当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到 【答案】 准确掌握圆柱、 圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键要 注意定义中的关键
6、字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决 再练一题 1给出以下四个命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线； 在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线； 圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 其中正确的是_. 【解析】不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行；正确，符合圆 锥母线的定义；不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点， 而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；正确，符合圆柱母线的性 质 【答案】 球与旋转体 (1)下列说法： 球面
7、上四个不同的点一定不在同一平面内； 球的半径是球面上任意一点和球心的连线段； 球面上任意三点可能在一条直线上； 用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 其中正确的序号是_ (2)已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰(如图 1120)分别以AB，BC， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？ 图 1120 【精彩点拨】(1)依据球的形成过程及相关概念判断 (2)梯形 任一边 为轴 组合体 空间 想象 结构特征 【自主解答】(1)作球的一个大圆，在大圆上任取四点，则这四点就在球面上，且共 面，故错误；根据球的半径的定义可知正确
8、；球面上任意三点一定不共线，故错误； 用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故正确 【答案】 (2)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台如图(1)所示 以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥如图(2)所示 以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小 圆锥如图 (3)所示 以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥如图(4)所示 (1) (2) (3) (4) 关于平面图形绕固定轴旋转后得到的几何体的组成问题，可采用如下方法解决： 再练一题 2如图 1121所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体，并说出这些 积一时之跬步
9、臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 几何体是由哪些旋转体组合而成的 图 1121 【解】如图所示， (a)是由圆锥、圆柱组合而成的(b)是由圆柱中间挖去一个圆锥组 合而成的 探究共研型 旋转体的相关概念和计算 探究 1 圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？圆柱、圆锥、圆台过轴 的截面 (简称轴截面 )分别是什么样的图形？ 【提示】它们平行于底面的截面都是圆面它们的轴截面分别是矩形、等腰三角形、 等腰梯形 探究 2 圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的 关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？ 【提示】它们的相同点是：它们都是由平面图形旋转得到的；不同
10、点是：圆柱和圆台 有两个底面， 圆锥只有一个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆，圆台的两个底面是半径 不等的圆；当底面发生变化时，它们能相互转化，即圆台的上底面扩大，使上下底面全等， 就是圆柱；圆台的上底面缩为一个点就是圆锥 圆台的上、下底面半径分别为6 和 12， 平行于底面的截面自上而下分母线为2 1 的两部分，求截面的面积 【精彩点拨】画出圆台，将圆台还原成圆锥，利用比例关系求截面的半径即可 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【自主解答】如图所示，将圆台还原成圆锥，其中P为圆锥顶点，CD、AB、EF分 别为圆台的上、下底面以及截面圆的半径 显然CDEFAB， 所以 PD PB C
11、D AB 6 12 1 2 ， 所以PDDB 1 2 PB. 又 DF FB2，所以 DF 2 3DB 1 3PB. 所以PFPDDF 5 6PB .所以 EF AB PF PB 5 6 ， 所以EF 5 6 AB10， 所以截面的面积为EF2 102100 . 圆柱、 圆锥、圆台问题要抓住它们的轴截面及其中线段与底面半径、高、母线之间的关 系，构造矩形、直角三角形求解 再练一题 3圆锥母线长为8，底面半径为2，A为底面圆周上一点，从A出发将绳子绕圆锥侧面 一周后，再回到A，则绳长最短为_. 【解析】如图所示，将圆锥沿过A点的母线展开，设A点展开后另一点为A点， 则绳子最短长度为线段AA的长度
12、因为底面半径为2，所以孤长2 24 .因为展 开图对应的扇形半径R8，所以圆心角 4 8 2，即 AOA为直角三角形 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以AA828282. 【答案】82 1下面几何体的截面一定是圆面的是_ 圆台；球；圆柱；棱柱 【解析】截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球 【答案】 2 如图 1122， 下列给出的图形中， 绕给出的轴旋转一周，能形成圆柱的是_， 能形成圆锥的是_ 图 1122 【解析】结合圆柱、圆锥的定义，结合选项可知，图形成圆锥，图形成球，图 形成圆柱，图形成圆台 【答案】 3一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的
13、轴截面的面积为_ 【解析】由题意可知，该圆柱的轴截面的面积为52220. 【答案】20 4以下说法： 圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1； 矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱； 直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥； 圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 其中正确的序号为_. 【解析】正确，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积； 错误，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱； 错误， 绕直角边所在直线旋转可 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 以围成圆锥， 但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体；错误， 圆台的上、 下底面一定平行 【答案】 5如图 1123 所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何 体组成的？ (1) (2) 图 1123 【解】旋转后的图形草图分别如图所示 其中图是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图是由一个圆锥O5O4、 一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去一个圆锥O2O1组成的