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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2 分条件与必要条件 充分条件与必要条件 提出问题 在物理中，我们经常遇到这样的电路图： 问题 1：图中A开关闭合时B灯一定亮吗？ 提示：一定亮 问题 2：B灯亮时A开关一定闭合吗？ 提示：不一定，还可能是C开关闭合 导入新知 充分条件与必要条件 命题 真假 “若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题 推出 关系 p?qpq 条件 关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 化解疑难 1p是q的充分条件是指 “p成立可充分保证q成立，但是如果没有p，q也可能成立” 2q是p的必要条件是指“要使p成立必须要有
2、q成立” ，或者说“若q不成立，则p 一定不成立” ；但即使有q成立，p未必会成立 . 充要条件 提出问题 如图是一物理电路图 问题 1： 图中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合吗？ 提示：一定闭合 问题 2：开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q，你能判断p，q 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 之间的推出关系吗？ 提示：p?q. 导入新知 充要条件 如果既有p?q，又有q?p，记作p?q.则p是q的充分必要条件，简称充要条件 化解疑难 p是q的充要条件时，q也是p的充要条件，即充要条件是相互的，我们也称条件p和 条件q是等价的，如果p和q是两个命题，则
3、这两个命题是等价命题 充分条件、必要条件、充要条件的判断 例 1 判断下列各题中p是q的什么条件 (1)在ABC中，p： cos 2Acos2B，q：AB； (2)p：x1，q：x2 1； (3)p： (a2)(a3)0，q：a3； (4)p：ab，q： a b1. 解 (1)在ABC中，A(0， )，B (0， )，且ABC .若 cos 2Acos2B，则 A B；反之，若AB，则 cos 2Acos2B.因此， p是q的充要条件 (2)由x 1可以推出x21；由x21，得x 1，或x1，不一定有x1.因此，p是 q的充分不必要条件 (3)由(a2)(a3)0 可以推出a2，或a3，不一定
4、有a3；由a 3可以得出 (a2)(a 3)0.因此，p是q的必要不充分条件 (4)由于ab，当b0 时， a b1； 当b0 时， a b 1，故若 ab，不一定有 a b 1； 当a 0，b0， a b1 时，可以推出 ab； 当a 0，b0， a b1 时，可以推出 ab. 因此p是q的既不充分也不必要条件 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 类题通法 充分、必要、充要条件的判断方法 判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是 假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p 是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命
5、题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆 命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用 活学活用 指出下列各组命题中p是q的什么条件 (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形； (2)p： (x 1) 2(y2)20， q：(x 1)(y2)0. 解： (1)四边形的对角线相等四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形四边形的对角线相等， p是q的既不充分也不必要条件 (2)(x1)2(y2)2 0?x1 且y2? (x 1) (y 2) 0， 而(x1)(y2) 0(x 1) 2(y2)20， p是q的充分不必要条件. 充要条件的证明 例 2 试证：一元二次方
6、程ax 2bx c0 有一正根和一负根的充要条件是ac 0. 解 (1)必要性： 因为方程ax 2bxc0 有一正根和一负根， 所以b24ac0，x1x2 c a 0(x1，x2为方程的两根 )，所以ac 0. (2)充分性：由ac0 可推得b24ac0 及x1x2 c a 0(x1，x2为方程的两根) 所以方程ax 2 bxc0 有两个相异实根， 且两根异号， 即方程ax 2 bxc0 有一正根和一负根 综上所述，一元二次方程ax 2 bxc0 有一正根和一负根的充要条件是ac0. 类题通法 充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明在
7、积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明时， 要注意：若证明 “p的充要条件是q” ，那么“充分性” 是q?p， “必要性” 是p?q； 若证明“p是q的充要条件” ，则与之相反 (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立若不易 直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明 活学活用 已知x，y都是非零实数，且xy，求证： 1 x 1 y的充要条件是 xy0. 证明： (1)必要性：由 1 x 1 y， 得 1 x 1 y0，即 yx xy 0， 又由xy，得yx0，所以xy 0. (2)充分性：由xy0 及xy， 得 x xy y xy，即 1
8、x 1 y. 综上所述， 1 x 1 y的充要条件是 xy0. 充分、必要条件的应用 例 3 已知p： 2x10，q：1mx 1m，且p是q的充分不必要条件，求实 数m的取值范围 解 因为p是q的充分不必要条件， 所以p?q但q? / p， 即 x| 2x10 是 x|1 mx1m 的真子集， 所以 1m 2， 1m10 或 1m 2， 1m 10， 解得m9. 所以实数m的取值范围为 m|m9 . 类题通法 应用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件 和必要条件的关系， 将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解， 注意数形结合思想的应用
9、 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 已知Px|a4xa4，Qx|x24x30，若xP是xQ的必要条件，求 实数a的取值范围 解：由题意知，Qx|1 x 3，Q?P， 所以 a41， a43， 解得 1a5. 故实数a的取值范围是 1,5 1.诠释充分条件与必要条件的判断 有关充分条件与必要条件的判断是高中数学的一个重点，贯穿整个高中数学的始终，与 不等式、函数等重要知识点联系密切，下面介绍几种常用的判断充分、必要条件的方法 1定义法 定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若p，则q”与“若q，则p”的判 断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系其基本步骤是：
10、例 1 (四川高考 )设p： 实数x，y满足 (x1)2(y1)22，q： 实数x，y满足 yx 1， y1x， y1， 则p是q的( ) A必要不充分条件B充分不必要条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 p表示以点 (1,1)为圆心，2为半径的圆面 (含边界 )，如图所示q表示的平面区域为图 中阴影部分 (含边界 )由图可知，p是q的必要不充分条件故选A. 答案 A 活学活用 1 “sin 1 2”是“ cos 2 1 2”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A 由 cos 2 1 2
11、可得 sin 2 1 4，即 sin 1 2，故 sin 1 2 是 cos 2 1 2 的充分 不必要条件 2等价转化法 等价转化法就是在判断充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为 简单的两个条件之间的关系进行判断其基本步骤为： 例 2 已知x，y为两个正整数，p：x2 或y3，q：xy 5，则p是q的_ 条件 解析 綈p：x 2 且x3，綈q：xy5.可知綈p? 綈q，而綈q? / 綈p.所以綈q 是綈p的必要不充分条件，故p是q的必要不充分条件 答案 必要不充分 活学活用 2 “m3”是“ |m| 3”的 _条件 答案：必要不充分 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整
12、理 3集合法 集合法就是利用满足两个条件的参数的取值集合之间的关系来判断充要关系的方法主 要解决两个相似的条件难以进行区分或判断的问题其解决的一般步骤是： 例 3 指出下列命题中p是q的什么条件 (1)p： (x 1)(x2)0，q：x 2； (2)p：x2 2x80，q：x 2或x 4. 解 (1)令Ax|(x1)(x2)0 x| 2x1，集合Bx|x2 显然，AB， 所以p?q，但qp， 即p是q的充分不必要条件 (2)令Ax|x22x80 x|x 2 或x42,4， Bx|x 2 或x42,4 AB，p?q， 即p是q的充要条件 活学活用 3一元二次方程ax 2 2x1 0(a 0)有一
13、个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) Aa0 Ba0 Ca 1 Da 1 解析：选 C 一元二次方程ax 22x10(a 0)有一正根和一负根 0， x1x20， 即 44a0， 1 a0， 解得a0. 由于 a|a 1a|a0，故选 C. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 随堂即时演练 1给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线 l与平面垂直”的 ( ) A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 解析：选 B 直线l与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l，因为有可能是直线 l在平面内与一组平行直线垂直若l，则直线l垂直于内
14、的所有直线 2已知非零向量a，b，c，则“abac”是“bc”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 B ab，ac时，abac，但b与c不一定相等， abac? / bc； 反之，bc?abac. 3.已知Mx|0 x3，Nx|0 x2，那么“aM”是“aN”的_条件 解析：由aM? / aN，但aN?aM， “aM”是“aN”的必要不充分条件 答案：必要不充分 4在平面直角坐标系xOy中，直线x(m1)y2m与直线mx2y 8 互相垂直 的充要条件是m _. 解析：x(m1)y 2m与mx2y 8 互相垂直 ? 1m(m1)20?m 2
15、 3 . 答案： 2 3 5若p：x2x60 是q：ax10 的必要不充分条件，求实数a的值 解：p：x2x60， 即x2 或x 3. q：ax10，当a0 时，方程无解； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当a 0时，x 1 a . 由题意知p? / q，q?p， 故a 0舍去； 当a 0时，应有 1 a 2 或 1 a 3， 解得a 1 2或 a 1 3 . 课时达标检测 一、选择题 1 “tan 1”是“ 4”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选B 若 tan 1，则k 4(kZ)， 不一定等于 4；而若 4，则 tan 1
16、. tan 1 是 4的必要不充分条件 2设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的 必要条件，那么( ) A丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 B丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 C丙是甲的充要条件 D丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 解析：选 A 因为甲是乙的必要条件，所以乙? 甲 又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙? 乙，但乙 ? / 丙，如图 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 综上，有丙 ? 甲，但甲 ? / 丙， 即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 3(陕西高考 )“sin cos ”是“ cos 20”的 (
17、) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A cos 20 等价于 cos 2 sin 2 0，即 cos sin .由 cos sin 可得 到 cos 20，反之不成立，故选A. 4(天津高考 )设x R，则“ |x2|0”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选A |x2|0?x1 或x1 或x0”的充分而不必要条件 5使 |x| x成立的一个必要不充分条件是( ) Ax0 Bx2x Clog2(x1)0 D2 x1 解析：选 B |x| x?x 0， 选项 A 是充要条件，选项C，D
18、 均不符合题意 对于选项 B，由x2x，得x(x 1) 0. x0 或x 1. 故选项 B 是使 |x| x成立的必要不充分条件 二、填空题 6如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B 的_(填“充分不必要” “必要不充分” “既不充分也不必要”或“充要”)条件 解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A? / B. 又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A， 所以A是B的必要不充分条件 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案：必要不充分 7条件p：1x0，条件q：xa，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是 _ 解析：p：x1，若p是q的充分不必
19、要条件，则p?q，但q? / p，也就是说，p对应 集合是q对应集合的真子集，所以a1. 答案： (， 1) 8下列命题： “x 2且y3”是“xy5”的充要条件； b24ac0 是一元二次不等式ax 2 bxc0 解集为 R 的充要条件； “a 2”是“直线ax2y0 平行于直线xy1”的充分不必要条件； “xy1”是“ lg xlg y0”的必要而不充分条件 其中真命题的序号为_ 解析：x2 且y3 时，xy5 成立，反之不一定，如x0，y6.所以“x2 且y 3”是“xy5”的充分不必要条件 不等式解集为R 的充要条件是a0 且b24ac0，故为假命题 当a2 时，两直线平行， 反之，
20、若两直线平行， 则 a 1 2 1，a2.因此， “ a2”是“两 直线平行”的充要条件 lg xlg ylg(xy)0， xy1 且x0，y0. 所以“ lg xlg y0”成立，xy1 必成立，反之不然 因此“xy1”是“ lg xlg y 0”的必要不充分条件 综上可知，真命题是. 答案： 三、解答题 9下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件 (1)p： |x| |y| ，q：xy； (2)p：ABC是直角三角形，q：ABC是等腰三角形； (3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形； (4)p：圆x2y 2 r2与直线axbyc0 相切，q：c2(a 2b2)r2. 积一时之跬
21、步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解： (1)|x| |y| ? / xy，但xy? |x| |y| ， p是q的必要条件，但不是充分条件 (2)ABC是直角三角形 ? / ABC是等腰三角形， ABC是等腰三角形? / ABC是直角三角形， p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 (3)四边形的对角线互相平分? / 四边形是矩形， 四边形是矩形? 四边形的对角线互相平分， p是q的必要条件，但不是充分条件 (4)若圆x2y2r2与直线axbyc0 相切，则圆心到直线axbyc0 的距离等于r， 即r |c| a 2 b 2， 所以c2(a 2 b2)r2. 反过来，若c 2 (a2 b2)r
22、 2，则 |c| a 2 b2 r成立， 说明x2y2r2的圆心 (0,0)到直线axbyc0 的距离等于r， 即圆x2y2r2与直线axbyc0 相切， 故p是q的充要条件 10已知数列 an的前n项和Snpnq(p0 且p1)，求证：数列 an为等比数列的充 要条件为q 1. 证明：充分性：当q 1 时，a1p1. 当n2 时，anSnSn1pn1(p1) 当n1 时，上式也成立 于是 an1 an pnp1 pn 1p1 p，即数列 an为等比数列 必要性：当n1 时，a1S1pq. 当n2 时，anSnSn1pn1(p1) p0 且p 1， an1 an pnp1 pn1p 1 p. 因为 an为等比数列， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 a2 a1 an1 an p pp1 pq ， q 1， 即数列 an 为等比数列的充要条件为q 1.