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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2.1 常见函数的导数 几个常见函数的导数 已知函数 (1)f(x)c，(2)f(x)x，(3)f(x)x2， (4)f(x) 1 x，(5)f (x)x. 问题 1：函数f(x)x的导数是什么？ 提示： y x fxxfx x xxx x 1， 当x0 时， y x1，即 x 1. 问题 2：函数f(x) 1 x的导数是什么？ 提示： y x fxxfx x 1 xx 1 x x xxx xxxx 1 x2xx， 当x0 时， y x 1 x2，即 1 x 1 x2. 1(kxb)k(k，b为常数 )； 2C 0(C为常数 )； 3(x) 1；
2、 4(x2) 2x； 5(x3) 3x2； 6. 1 x 1 x2； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7(x) 1 2x . 基本初等函数的导数公式 1(x) x 1( 为常数 )； 2(a x) a xln_a(a0，且 a1)； 3(logax) 1 xlog ae 1 x ln a (a0，且a 1)； 4(e x) ex； 5(ln x) 1 x； 6(sin x) cos_x； 7(cos x) sin_x. 函数f(x)logax的导数公式为f(x) (logax) 1 x ln a ，当ae 时，上述公式就变形为 (ln x) 1 x，即 f(x)ln x是函数f(x)
3、logax当ae 时的特殊情况类似地，还有f(x)a x 与 f(x)e x. 对应学生用书 P7 求函数的导数 例 1 求下列函数的导数 (1)yx8； (2)y 1 x3； (3)yxx； (4)ylog2x. 思路点拨 解答本题可先将解析式化为基本初等函数，再利用公式求导 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 精解详析 (1)y (x8) 8x7； (2)y 1 x3 (x3) 3x4 3 x4； (3)y (xx) (x 3 2) 3 2 x 1 2 3x 2 ； (4)y (log2x) 1 xln 2. 一点通 用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时应根据所给函
4、数的特征， 恰当地选择求导公式，有时需将题中函数的结构进行调整，如根式、分式转化为 指数式，利用幂函数的求导公式求导 1函数ysin 2 x的导数是 _ 解析：ysin 2 xcos x，所以y sin x. 答案： sin x 2下列结论中不正确的是_ 若y3，则y 0； sin 3 cos 3； 1 x 1 2xx ； 若yx，则y 1. 解析：正确；sin 3 3 2 ，而 ( 3 2 ) 0，不正确；对于， 1 x (x 1 2) 1 2x 3 2 1 2xx ，正确；正确 答案： 3求下列函数的导函数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)y10x；(2)ylog 1 2x
5、； (3)y 4 x3； (4)y sin x 2cos x 2 21. 解： (1)y (10x) 10xln 10； (2)y (log 1 2x) 1 xln 1 2 1 xln 2； (3)y 4 x3x 3 4， y (x 3 4) 3 4 x 1 4 3 44x ； (4)y (sin x 2cos x 2) 21 sin 2x 22sin x 2cos x 2 cos 2x 21sin x， y (sin x) cos x. 求函数在某一点处的导数 例 2 求函数f(x) 1 6 x5 在x1 处的导数 思路点拨 先求导函数，再求导数值 精解详析 f(x) 1 6 x5 x 5
6、6， f(x)x 5 6 5 6 x 11 6 ， f(1) 5 6. 一点通 求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简，然后求导，最后将变量的 值代入导函数便可求解 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4若函数f(x) 3 x，则f(1)_. 解析：f(x)(3x) (x 1 3) 1 3x 2 3， f(1) 1 3 . 答案： 1 3 5若函数f(x)sin x，则f(6 )_. 解析：f(x)(sin x) cos x. f(6 )cos 6 1. 答案： 1 6已知f(x) 1 n x 且f(1) 1 2，求 n. 解：f(x) 1 n x (x 1 n) 1 nx 1 n1
7、 1 nx n1 n ， f(1) 1 n， 由f (1) 1 2得 1 n 1 2 ，得n 2. 求切线方程 例 3 已知曲线方程yx2，求： (1)曲线在点A(1,1)处的切线方程； (2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程 思路点拨 (1)点A在曲线上，故直接求导数，再求直线方程；(2)B点不在曲线上，故 解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切 线的方程 精解详析 (1)y 2x，当x1 时，y 2，故过点A(1,1)的切线方程为y12(x 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1)，即 2xy 10. (2)B(3,5)不在曲线yx2上
8、， 可设过B(3,5)与曲线yx2相切的直线与曲线的切点为(x0，y0) y 2x， 当xx0时，y 2x0. 故切线方程为yx202x0(xx0) 又直线过B(3,5)点， 5x202x0(3x0) 即x2 06x0 50. 解得x01 或x05. 故切线方程为2xy10 或 10xy250. 一点通 (1)求切线方程是导数的应用之一，有两种情况： 求曲线在点P处的切线方程，P为切点，在曲线上； 求过点P与曲线相切的直线方程，P不一定为切点，不一定在曲线上 (2)求曲线上某点 (x0，y0)处的切线方程的步骤： 求出f(x0)，即切线斜率； 写出切线的点斜式方程； 化简切线方程 (3)求过点
9、P与曲线相切的直线方程的步骤： 设出切点坐标为(x0，y0)； 写出切线方程yy0f(x0)(xx0)； 代入点P的坐标，求出方程 7已知直线yxa与曲线y ln x相切，则a的值为 _ 解析：设切点为P(x0，y0)，y 1 x，由题意得 1 x01， x01，点P的坐标为 (1,0)， 把点P的坐标代入直线yxa，得a 1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 1 8求曲线y 2x21 的斜率为4 的切线的方程 解：设切点为P(x0，y0)，y 4x，由题意知，当xx0时，y 4x0 4， 所以x01. 当x01 时，y01，切点P的坐标为 (1,1) 故所求切线的方程为y1
10、4(x1)，即 4xy30. 1对公式yxn的理解： (1)yxn中，x为自变量，n为常数； (2)它的导数等于指数n与自变量的 (n1)次幂的乘积公式中nQ，对nR 也成立 2在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题： (1)对于公式 (sin x) cos x，(cos x) sin x，一要注意函数的变化，二要注意符号的 变化 (2)对于公式 (ln x) 1 x和(e x) ex 很好记，但对于公式(logax) 1 xlog ae 和(a x) a xln a 的记忆就较难，特别是两个常数logae与 ln a很容易混淆 对应课时跟踪训练(三) 一、填空题 1已知f
11、(x)x，若f (1) 4，则的值是 _ 解析：f(x)x，f (x) x 1， f(1)(1) 1 4. 4. 答案： 4 2过曲线y 1 x上一点 P的切线的斜率为4，则点P的坐标为 _ 解析：设P(x0，y0)，则f(x0) 1 x20 4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以x0 1 2，所以 P 1 2，2 或 P 1 2， 2 . 答案： 1 2，2 或 1 2， 2 3已知f(x)x2，g(x)x3，则适合方程f(x)1g(x)的x值为 _ 解析：由导数公式可知f(x)2x，g(x)3x2. 所以 2x13x2，即 3x22x10. 解之得x1 或x 1 3. 答案：
12、 1 或 1 3 4设函数f(x)logax，f (1) 1，则a_. 解析：f(x) 1 x ln a ，f(1) 1 ln a 1. ln a 1，即a 1 e. 答案： 1 e 5已知直线ykx是曲线y ln x的切线，则k的值等于 _ 解析：y (ln x) 1 x，设切点坐标为 (x0，y0)， 则切线方程为yy0 1 x0(x x0) 即y 1 x0xln x 01.由 ln x010，知x0e. k 1 e. 答案： 1 e 二、解答题 6求下列函数的导数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)ylg 2； (2)y2x； (3)y x2 x ； (4)y2cos 2x
13、 2 1. 解： (1)y (lg 2) 0； (2)y (2 x) 2xln 2； (3)y (x 3 2) 3 2 x 1 2 ； (4)y 2cos 2x 2 1cos x，y (cos x) sin x. 7已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的 切线方程 解：y (x2) 2x， 设切点为M(x0，y0)，则当xx0时，y 2x0. 又PQ的斜率为k 41 21 1， 而切线平行于PQ，k2x01， 即x0 1 2，所以切点为 M 1 2， 1 4 ， 所求的切线方程为y 1 4 x 1 2，即 4x 4y 10. 8求曲线y 1 x和 yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积 解：由 y 1 x， yx2 解得交点为 (1,1) y 1 x 1 x2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 曲线y 1 x在 (1,1)处的切线方程为 y1x1，即yx2. 又y (x2) 2x， 曲线yx2在(1,1)处的切线方程为 y12(x1)，即y2x1. yx2 与y2x1 和x轴的交点分别为(2,0)， 1 2，0 . 所求面积S 1 21 2 1 2 3 4.