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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 自我小测 一、选择题 1(1x)(1x)2 (1x)n的展开式的各项系数和是( ) A 2 n 1 B2n11 C2n 1 1 D2n 12 2在 3 1 2 n x x 的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ( ) A 7 B7 C 28 D28 3(2x)8展开式中不含x4项的系数的和为( ) A 1 B0 C1 D2 4已知 3 1 n x x 展开式中的第10 项是常数，则展开式中系数最大的项是( ) A第 19 项B第 17 项 C第 17项或第 19项D第 18 项或第
2、 19项 5(2012 云南昆明一中月考，理6)已知 (12x)6a0a1xa2x2a6x6，则 |a0| |a1| |a2| |a6| ( ) A 1 B 1 C36D26 二、填空题 6(x21)(x 2) 9 a0a1(x1)a2(x1)2a3(x 1) 3 a11(x1)11，则a1a2a3 a11的值为 _ 7(2012 安徽安庆模拟，理14)设( 3 2 x1)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系 数之和为 N ，若 M,8， N 三数成等比数列，则展开式中第四项为_ 8如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第 15 个数的比为23. 积一时之跬步臻千里
3、之遥程 马鸣风萧萧整理 三、解答题 9已知 (a 21)n 展开式中的各项系数之和等于 5 2161 5 x x 的展开式的常数项，而(a 2 1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值 10设 m，nN，f(x)(12x)m(1x)n. (1)当mn2 013时，f(x)a0a1xa2x2a2 013x2 013，求a0a1a2a3a2 013 的值 (2)若f(x)展开式中x的系数为20，当m，n变化时，试求x2系数的最小值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 参考答案 1.答案： D 解析： 令x1，可知其各项系数和为222 2n2 n12. 2.答案： B 解析： 由已知n为
4、偶数，则 2 n 1 5， n8. 8 33 11 22 n xx xx 的展开式通项公式为Tr 1 8 8 3 1 C 2 rr r x x ( 1)r 8 4 8 3 8 1 C 2 r r r x ，令 8 4 3 r 0，得r 6，常数项为T7(1)6 2 6 8 11 C 24 28 7. 3.答案： B 解析： 令x1，得展开式中各项系数之和为(21)81， 由Tr 1 8 8 C2() rrr x，令r 8，得T9 8 8 C2 0x4 x4，其系数为1， 展开式中不含x4的项的系数和为11 0. 4.答案： A 解析：T10 9 Cn( 3 x)n 9 9 9 9 3 9 1
5、C n nx x ，由T10为常数，得 9 3 n 9 0， 所以n 36，故第 19 项系数最大 5.答案： C 解析： 由已知展开式中a0，a2，a4，a6大于零，a1，a3，a5小于零 令x1，得a0a1a2a61， 令x 1，得a0a1a2a3a4a5a6 3 6. 得a0a2a4a6 6 31 2 ， 得a1a3a5 6 13 2 . |a0| |a1| |a2| |a6| 66 3131 22 3 6. 6.答案： 2 解析： 令x1，得a0 2. 令x2，得a0a1a2a110. a1a2a3a112. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7.答案： 160x解析： 当x1
6、 时，可得M 1，二项式系数之和N2 n， 由已知MN64， 2 n64， n6. 第四项T4 3 6 C( 3 2x) 3(1)3 160x. 8.答案： 34 解析： 由题可设第n行的第 14 个与第 15 个数的比为23， 故二项展开式的第14 项和第 15 项的系数比为23，即 1314 C: C nn 2 3， 所以 ! : (13)! 13! (14)! 14! nn nn 2 3， 142 133n .n 34. 9.解： 由 5 2 161 5 x x ，得Tr 1 55 20 5 2 2 55 16116 CC 55 rrr r rr xx x ，令Tr 1为常数项，则 20
7、5r0， 所以r4，常数项T5 4 5 16 C 5 16. 又(a 21)n 展开式中的各项系数之和等于2n，由此得到2 n 16， n 4. 所以 (a21)4展开式中系数最大项是中间项T3 2 4 Ca 454. 所以a3. 10.解： (1)当mn 2 013时，f(x)(12x)2 013(1x)2 013， x 1，得f(1)(1)2 013 1，即a0a1a2a3a2 013 1. (2)由已知 11 2CC mn2mn20， n202m. x2的系数为 222(1)(1) 2 CC4 22 mn m mn n 2m 22m 1 2 (202m)(192m) 4m241m190. 当m5，n 10时，f(x)展开式中x2的系数最小，最小值85.