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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3.1 正弦函数的图象与性质 预习导航 课程目标学习脉络 1 能正确使用“五点法” “图象变换法” 作出 yAsin( x )的图象，并熟悉其变换过程 2会求函数yA sin( x )的周期，频率与振幅 3结合具体实例，了解yAsin( x )的实际意义， 并且了解yAsin( x )中的参数A，对函 数图象变化的影响以及它们的物理意义 1正弦型函数的概念 形如yAsin( x)(其中A，都是常数 )的函数，通常叫做正弦型函数当函数y Asin( x)(A0，0，x(0， )表示一个振动量时，则A称为振幅；T 2 称为 这个振动的周期；单位时间内
2、往复振动的次数f 1 T 称为频率； x称为相位；x 0时， 相位称为初相 一般地，函数yAsin( x)(其中A，为常数，且A0， 0)的周期T 2 2正弦型函数的图象变换 (1)相位变换 ysin x的图象uuuuuuuuuu u r 向左（0）或向右（0） 平移个单位长度 ysin(x)的图象 推广到一般有：将函数yf(x)的图象沿x轴方向平移 |a| 个单位长度后得到函数yf(x a)(a0)的图象当a0 时向左平移；当a0，1)的图象， 可以看做是把函数yf(x)的图象上所有的点的横坐标 缩短 (当1)或伸长 (当 00，且A1)的图象，可以看做是把函数yf(x)图象上的点的纵坐标伸
3、 长(当A1)或缩短 (当 00)或向下 (k0） 向下（ k0，0)的图象？ 提示： 用五点作图法作函数yAsin( x)的图象步骤如下： 第一步：列表，即令 x分别为 0， 2 ，3 2 ，2，再分别求出相应x，y的值； x 2 3 2 2 x0 2 3 2 2 y 0A 0A 0 第二步：描点，在同一平面直角坐标系中描出这五个点； 第三步：连线，用光滑曲线连接这些点得到一个周期内的图象； 第四步：利用函数周期性，通过左右平移得到整个图象 3正弦型函数的性质 根据函数yAsin( x)(A0，0)的图象，我们可以得到函数yAsin( x)(A0，0) 的性质： (1)定义域： R (2)值
4、域： A，A 当 x2k 2 (kZ)，即x 2 2k (kZ)时，y取得最大值A； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当 x2k3 2 (kZ)，即x 3 2 2k (kZ)时，y取得最小值A (3)单调性： 当 2 2k x 2 2k (kZ)， 即x 22 , 22 kk (k Z)时，函数yAsin( x)(A0，0)为增函数； 当 2 2k x 3 2 2k (kZ)，即x 232 , 22 kk (k Z)时，函数yAsin( x)(A0，0)为减函数 (4)奇偶性：当0 时，为奇函数；当0 时，为非奇非偶函数 (5)周期性：T 2 (6)对称性：直线x 2 k (kZ)都
5、是其对称轴；点,0 k (k Z) 为其对称中心 特别提醒(1)值域为 |A| ，|A| 的前提是xR，x的范围发生变化时，值域可能发生 变化 (2)研究yAsin( x)的性质， 通常利用代换u x，把 x看成一个整体去处理 4函数yAsin( x)k的解析式的确定 已知函数yAsin( x)k，能准确地研究其图象与性质，反过来， 若已知它的图象或 部分图象，怎样确定其解析式呢？解决此类问题关键在于确定参数A，k，其基本方 法是在观察图象的基础上，利用待定系数法求解 若设所求解析式为yAsin( x)k(A0， 0)，则在观察图象的基础上，可按以下规律来确定A，k (1)A：一般可由图象的最
6、高点和最低点的纵坐标来确定A，A max( )min( ) 2 fxfx (2)：因为T 2 ，所以往往通过求周期T来确定，可通过已知曲线与x轴的交点来 确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为 2 T ，相邻的两个最高点(最低点 )之间的 水平距离为T (3)：从寻找“五点作图法”中的最高点作为突破口，即当 x 2 2k时，y有最 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 大值或者由“五点作图法”中的第一个点,0作为突破口，从图象的升降情况找准 第一点的位置 (4)k：可由图象的最高点和最低点的纵坐标来确定k，k max( )min() 2 fxfx 在求参数过程中，求初相应先求，然后根据取最大值时相应x值代入方程求解 特别提醒依据“五点作图法”的原理，点的序号与式子关系如下： “第一点” (即图象第一次上升时与x轴的交点 )横坐标满足 x0； “第二点” (即图 象曲线的“峰点”)横坐标满足 x 2 ； “第三点” (即图象下降时与x轴的交点 )横坐标 满足 x；“第四点” (即图象曲线的“谷点”)横坐标满足 x 3 2 ； “第五点” (即 图象第二次上升时与x轴的交点 )横坐标满足 x2在用以上方法确定的取值时，还 要注意题目中给出的的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内