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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3.2 函数的极值与导数 课时作业 A 组基础巩固 1下列函数存在极值的是( ) Af(x) 1 x Bf(x)xe x Cf(x)x3x22x3 Df(x)x3 解析： A 中f(x) 1 x2，令 f(x)0 无解，且f(x)的图象为双曲线A 中函数无极 值 B 中f(x)1e x，令 f(x)0 可得x0.当x0，当x0 时，f(x)0，故当x 1 时，f(x)取极小值 答案： C 4若x 2 与x 4是函数f(x)x3ax 2 bx的两个极值点，则有( ) Aa 2，b4 Ba 3，b 24 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 Ca
2、1，b 3 Da 2，b 4 解析：f(x)3x22axb，依题意有x 2 和x4 是方程 3x22axb0 的两个根， 所以有 2a 3 24， b 3 24，解得a 3，b 24. 答案： B 5已知函数f(x)ax 3 bx 2 c，其导函数图象如图所示，则函数f(x)的极小值是 ( ) AabcB8a4bc C 3a 2bDc 解析：由函数导函数的图象可知，函数f(x)在(， 0)上单调递减，在(0,2)上单调递增， 函数f(x)在x0 时取得极小值c. 答案： D 6已知函数f(x)x3ax在 R 上有两个极值点，则实数a的取值范围是_ 解析：f (x)3x2a， 令f(x)0，a
3、3x2， a0 时，存在两个极值点 答案：a0 7设aR，若函数yexax，xR 有大于零的极值点，则a的取值范围为_ 解析：ye xax， y e xa， 由于ye xax 有大于零的极值点，即方程exa0 有大于零的解 即a e x(x0)，当 x0 时， ex0，得x1， 令f(x)0， 即f(x)在x1 处取得极小值， 故a 1 3， b 1 2，且 f(x)x3x2x， 它的单调增区间是(， 1 3)和(1， )， 它的单调减区间是( 1 3，1) B 组能力提升 1如图所示的是函数f(x)x3bx2cxd的大致图象，则x2 1x 2 2等于 ( ) A. 2 3 B. 4 3 C.
4、 8 3 D. 16 9 解析：由图象可得： 1bcd0 d0 84b2cd0 ? b 1 c 2 d0 ， 所以f(x)3x2 2x2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由题意可得：x1，x2是函数f(x)x3bx2cxd的两个极值点，故x1，x2是方程f (x) 0 的根， 所以x1x2 2 3， x1x2 2 3，则 x 2 1x 2 2(x1x2) 22x 1x2 16 9 . 答案： D 2已知 e 为自然对数的底数，设函数f(x)(e x1)(x 1)k(k1,2)，则 ( ) A当k1时，f(x)在x1 处取到极小值 B当k 1时，f(x)在x1 处取到极大值 C当k2
5、时，f(x)在x1 处取到极小值 D当k2 时，f(x)在x1 处取到极大值 解析：当k1 时，f(x)(e x1)(x1)，此时 f(x)e x(x1)(ex1)exx1，且 f(1)e10， A，B 项均错；当k2 时，f(x)(ex1)(x1)2，此时f (x)e x(x 1)2 (2x2)(e x1)ex x22xe x2 ex(x1)(x1)2(x1)(x1)ex(x1)2， 易知 g(x) ex(x1)2 的零点介于0,1 之间，不妨设为x0，则有 x (，x0)x0(x0,1)1(1， ) f(x)00 f(x)极大值极小值 故f(x)在x1 处取得极小值 答案： C 3已知函数
6、yx3ax 2 bx27 在x 1 处有极大值，在x3 处有极小值，则a _，b_. 解析：y 3x22axb，方程y 0 有根 1 及 3， 由根与系数的关系应有 13 2a 3 3b 3 ， a 3 b 9 . 答案： 3 9 4已知函数f(x)x3bx2cxd(b，c，d为常数 )，当k (， 0)(4， )时，f(x) k0 只有一个实根；当k(0,4)时，f(x)k0 有 3 个相异实根，现给出下列四个命题： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(x) 40 和f(x)0 有一个相同的实根； f(x) 0和f(x) 0有一个相同的实根； f(x) 30 的任一实根大于f(x)
7、10 的任一实根； f(x) 50 的任一实根小于f(x)20 的任一实根 其中正确命题的序号是_ 解析：由题意yf(x)图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0，f(x)k 0 的 根的问题可转化为f(x)k，即yk和yf(x)图象交点个数问题根据图象可知答案为： . 答案： 5设f(x)2x3ax 2bx1 的导数为 f(x)，若函数yf (x)的图象关于直线x 1 2对 称，且f (1)0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值 解析： (1)因为f(x) 2x3ax 2 bx1， 故f(x)6x2 2axb. 从而f(x)6x a 6 2 b a 2 6 ，即yf
8、(x)关于直线x a 6对称，从而由题设条件知 a 6 1 2，解得 a3. 又由于f(1)0，即 62ab0，解得b 12. (2)由(1)知f(x)2x33x212x1， f(x) 6x26x12 6(x1)(x2) 令f(x)0，即 6(x1)(x2) 0， 解得x1 2，x21. 当x(， 2)时，f(x)0，故f(x)在(， 2)上为增函数； 当x(2,1)时，f(x)0，故f(x)在(1， )上为增函数 从而函数f(x)在x1 2 处取得极大值f( 2)21，在x21 处取得极小值f(1) 6. 6已知函数f(x)ln x，g(x) 1 2x 2 a(a为常数 )，直线l与函数f(
9、x)，g(x)的图象都相切， 且l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1. (1)求直线l的方程及a的值； (2)当k0 时，试讨论方程f(1x2)g(x)k的解的个数 解析： (1)由直线l与函数f(x)图象的切点的横坐标为1，得f(1)1，即直线l的斜率为 1，则切点为 (1，f(1)，即 (1,0)， 直线l的方程为yx1. g(x)x，且切线l的斜率为1， 切点为1， 1 2 a， 则直线l：y 1 2 ax1，即yx 1 2 a. 由可得 1 2 a 1，a 1 2. (2)f(1x2)g(x)k， 即 ln(1x2) 1 2x 2 1 2 k. 设y1ln(1x2) 1 2x 2 1 2， y2k， 则y1 2x 1x2 x x1xx1 1x2 . 令y1 0，得x10，x21，x3 1，当x变化时，y1，y1的变化情况，列表如下： x (， 1)1( 1,0)0(0,1)1(1， ) y1000 y1极大值 ln 2 极小值 1 2 极大值 ln 2 函数y1的大致图象如图： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 方程y1y2， 当 0ln 2 时，没有解