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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3全称量词与存在量词 13.1 量词 全称量词与全称命题 观察下列命题： (1)对任意实数x，都有x5. (2)对任意一个x(xZ)，3x1 是整数 问题：上述两个命题各表示什么意思？ 提示： (1)表示对每一个实数x，必定有x5； (2)对所有的整数x,3x1 必定是整数 全称量词和全称命题 全称量词所有、任意、每一个、任给 符号表示?x表示“对任意x” 全称命题含有全称量词的命题 一般形式?xM，p(x) 存在量词和存在性命题 观察下列语句： (1)存在一个实数x，使 3x17. (2)至少有一个xZ，使x能被 3 和 4 整除 问题：上述两
2、个命题各表述什么意思？ 提示： (1)表示有一个实数x，满足 3x 17； (2)存在一个整数Z，满足能被3 和 4 整除 存在量词和存在性命题 存在量词有一个、有些、存在一个 符号表示“?x”表示“存在x” 存在性命题含有存在量词的命题 一般形式?xM，p(x) 1 判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词， 有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断 2要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反 例说明命题不成立，则该全称命题是假命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3要确定一个存在性命题是真命题
3、，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推 理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题 对应学生用书 P12 全称命题、存在性命题的判断 例 1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题 (1)若a0 且a1，则对任意x，ax0； (2)对任意实数x1，x2，若x1sin x； ?xR,3x0； ?xR，sin xcos x2； ?xR，lg x0. 其中为真命题的是_(填入所有真命题的序号) 解析：中，由于x 0， 2 ，所以 sin x0,00，所以是真命题；中，函数y 3 x， xR 的值域是 (0， )，所以 是真命题；中，函数ysin xcos x2 sinx 4 ，xR
4、 的值域是 2，2，又 2? 2，2 ，所以是假命题；中，由于lg 10，所以是真命题 答案： 5判断下列全称命题的真假 (1)所有的素数是奇数； (2)?xR，x211； (3)对每一个无理数x，x2也是无理数 解： (1)2 是素数，但不是奇数所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题 (2)?xR?x20?x2 11.所以，全称命题“?xR，x211”是真命题 (3)2是无理数，但(2)22 是有理数所以， “对每一个无理数x，x2也是无理数”是假 命题 6分别判断下列存在性命题的真假： (1)有些向量的坐标等于其起点的坐标； (2)存在x R，使 sin xcos x 2. 解： (1
5、)真命题设A(x1，y1)，B(x2，y2)， AB uuu r (x2x1，y2y1)，由 x2x1x1， y2y1y1， 得 x2 2x1， y2 2y1. 如A(1,3)，B(2,6)，AB uuu r (x2x1，y2y1)(1,3)，满足题意 (2)假命题由于sin xcos x2 2 2 sin x 2 2 cos x2sin x 4 的最大值为2，所以 不存在实数x，使 sin xcos x 2. 1判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在 量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断 2要判定全称命题“?xM，
6、p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x) 成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题 3要判定存在性命题“?xM，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使 p(x0)成立即可； 如果在集合M中， 使p(x)成立的元素x不存在， 那么这个存在性命题是假命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应课时跟踪训练(五 ) 1下列命题： 有的质数是偶数； 与同一平面所成的角相等的两条直线平行； 有的三角形的三个内角成等差数列； 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线， 其中是全称命题的是_，是存在性命题的是_(只填序号 )
7、解析：根据所含量词可知是全称命题，是存在性命题 答案： 2下列命题中的假命题是_ ?xR,2x 10； ?xN *，(x1)20； ?xR，lg x0”为真命题，则实数a的取值范围是 _ 解析：当a 0时，不等式为10， 对?xR,10 成立 当a0 时，若 ?xR，ax 22ax 10， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则 a0， 4a 24a 0)； (2)对任意非零实数x1，x2，若x1x2，则 1 x1 1 x2； (3)?R，使得 sin( 3 )sin ； (4)?xR，使得x2 10. 解： (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题 (1)zx0(z0)恒成立，
8、 命题 (1)是真命题 (2)存在x1 1，x21，x1x2，但 1 x1 1 2； (2)?，使 cos()cos cos ； (3)?x，yN，都有 (xy)N； (4)?x，yZ，使2xy 3. 解： (1)法一：当xR 时，x2x1x 1 2 2 3 4 3 4 1 2，所以该命题是真命题 法二：x2x1 1 2? x 2 x 1 20，由于 14 1 2 1 1 2的解 集是 R，所以该命题是真命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)当 4， 2时，cos( ) cos 4 2 cos 4 cos 4 2 2 ，cos cos cos 4 cos 2 2 2 0 2 2
9、 ，此时 cos ()cos cos ，所以该命题是真命题 (3)当x2，y4 时，xy 2? N，所以该命题是假命题 (4)当x0，y3 时，2xy 3，即 ?x，yZ，使2xy3，所以该命题是真命题 8(1)对于任意实数x，不等式sin xcos xm恒成立，求实数m的取值范围； (2)存在实数x，不等式sin xcos xm有解，求实数m的取值范围 解： (1)令y sin xcos x，xR. ysin xcos x2sin(x 4) 2. 又 ?xR，sin xcos xm恒成立 只要mm有解 只要m0，故 (1)是假命题 命题的否定：存在xR，x3x210. (2)10能被 5 整
10、除， 10 是偶数，故 (2)是假命题 命题的否定：存在一个能被5 整除的整数不是奇数 (3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题 命题的否定：存在xQ， 1 3x 2 1 2 x1 不是有理数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 一点通 (1)全称命题的否定： 全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否 定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是解题的关键 (2)常见词语的否定： 原词否定词原词否定词原词否定词 等于不等于是不是至少一个一个也没有 大于不大于都是不都是任意某个 小于不小于至多一个至少两个所有的某些 1指出下列命题
11、的形式，写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)?xR，x22x10. 解： (1)?xM，p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形，?xM，綈p(x) (2)?xM，p(x)，否定：存在一个素数不是奇数， ?xM，綈p(x) (3)?xM，p(x)，否定： ?xR，x22x10， ?xM，綈p(x) 2判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定： (1)三角形的内角和为180； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)任何一个平行四边形的对边都平行； (4)负数的平方是正数 解： (1)是全称命题且为真命题 命题的否定：三角形的内角和不全
12、为180， 即存在一个三角形且它的内角和不等于180. (2)是全称命题且为假命题 命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下 (3)是全称命题且为真命题 命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行 (4)是全称命题且为真命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 命题的否定：某个负数的平方不是正数. 存在性命题的否定 例 2 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)?x0，y0Z，使得2x0y03. 思路点拨 它们的否定是全称命题，解题时既要改变量词，也要否定结论，最后判断其 真假 精解详析 (1)命题的否定
13、是： “所有实数的绝对值都不是正数” 由于 | 2| 2，因此命题的否定为假命题 (2)命题的否定是： “每一个平行四边形都不是菱形”由于菱形是平行四边形，因此命题 的否定是假命题 (3)命题的否定是： “?x，yZ，2xy3” 因为当x0，y3 时，2xy3，因此命题的否定是假命题 一点通 (1)存在性命题的否定是全称命题，要否定存在性命题“?xM，p(x)成立” ，需要验证对 M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“?xM，綈p(x)成立” (2)要证明存在性命题是真命题，只需要找到使p(x)成立的条件即可 (3)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词
14、时，它 的否定是“不存在” 例如：三角形存在外接圆这个命题是全称命题，量词“所有的”被省 略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆 3写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：?x0R，x2 010， a0 满足条件 当a0 时，若方程ax 22x 10 至少有一个正实数根 则44a0，则a 1. 又因x0 时，ax 22x1 10”的否定是 _ 解析：全称命题的否定是存在性命题 答案： ?xR，x2x3 0 4命题“所有能被2 整除的整数都是偶数”的否定是_ 解析：此命题是一个全称命题，全称命题的否定是存在性命题故该命题的否定是：“存 在能被 2 整除的整数不是偶数” 答案：
15、存在能被2 整除的整数不是偶数 5 若命题“?xR，使得x2(a1)x10”为假命题， 则实数a的取值范围是 _ 解析：该命题p的否定是綈p： “?xR，x2(a1)x10” ，即关于x的一元二次不等 式x2(a1)x10 的解集为R，由于命题p是假命题，所以綈p是真命题，所以(a1)2 40.利用配方法可以验证綈q 是一个真命题 (3)这一命题的否定形式是綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何 知识知綈r是一个假命题 8?x 1,2，使 4x2x 12at 22t2， 原命题等价于： ?t 1 2，4 ， at22t2 恒成立，令yt 22t2(t 1)21， 当 t 1
16、2，4 时，ymax10. 所以只须a10 即可即所求实数a的取值范围是 (10， ) 对应学生用书P17 一、命题及其关系 1命题 能判断真假的陈述句叫命题，感叹句、疑问句、祈使句、含有未知数的不等式、方程等 语句都不是命题 2四种命题 原命题与它的逆命题、否命题之间的真假是不确定的，而原命题与它的逆否命题(或它的 逆命题与它的否命题)之间在真假上是始终保持一致的，即同真同假 正是因为原命题与逆否命题的真假一致，所以对某些命题的证明可转化为证明其逆否命 题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 二、充分条件、必要条件与充要条件 关于充分条件、必要条件与充要条件的判定，实际上是对命题真假的
17、判定： 若“p?q” ，且“p? / q” ，则p是q的“充分不必要条件” ，同时q是p的“必要不充分 条件”； 若“p?q” ，则p是q的“充要条件” ，同时q是p的“充要条件” ； 若“p? / q” ，则p是q的“既不充分也不必要条件”，同时q是p的“既不充分也不必要 条件” 三、逻辑联结词 1 “且” “或” “非”这些词叫逻辑联结词，不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命 题与逻辑联结词构成的命题有“pq” “pq” “綈p”三种形式 2含逻辑联结词的命题的真假判断：“pq”中有真为真， “pq”有假为假，綈p与p 真假相反 3注意命题的否定与否命题的区别否命题既否定条件又否定结论
18、；而命题的否定只否 定结论 四、全称命题和存在性命题 1全称命题“?xM，p(x)”强调命题的一般性，因此， (1)要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立； (2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x，使p(x)不成立即可 2存在性命题“?xM，p(x)”强调结论的存在性，因此， (1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可 (2)要判断它是假命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)不成立 五、含有一个量词的命题的否定 1全称命题的否定一定是存在性命题 p：?xM，p(x)成立； 綈p：?xM，綈p(x)成立 2存在性命题的否定一
19、定是全称命题 p：?xM，p(x)成立； 綈p：?xM，綈p(x)成立 3含有一个量词的命题的否定首先要改变量词，把全称量词改为存在量词；把存在量词 改为全称量词，然后再把判断词加以否定 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应阶段质量检测一 见8开试卷 (时间 120分钟，满分160分) 一、填空题 (本大题共14 小题，每小题5 分，共 70分将答案填在题中的横线上) 1命题：“若ab0，则a0 或b0”的逆否命题是_ 答案：若a 0且b 0，则ab0 2命题“ ?xR，x22x10”的否定是 _ 解析：原命题是全称命题，其否定是存在性命题 答案： ?xR，x22x10，故为真 答案
20、： 2 6(上海高考改编)钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是： “不便宜”是“好货” 的_条件 解析：便宜 ? 没好货，等价于其逆否命题，好货? 不便宜，“不便宜”是“好货”的 必要不充分条件 答案：必要不充分 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7(湖南高考改编 )“10 的等差数列 an的四个命题： p1：数列 an是递增数列； p2：数列 nan是递增数列； p3：数列 an n 是递增数列； p4：数列 an3nd是递增数列 其中的真命题为_ 解析：设ana1(n1)ddna1d，它是递增数列，所以p1为真命题；若an3n 12， 则满足已知，但nan3n212n并非递增
21、数列，所以p2为假命题；若ann1，则满足已知， 但 an n1 1 n是递减数列，所以 p3为假命题；由于an 3nd4dna1d，它是递增数列，所以 p4为真命题 答案：p1，p4 10命题p：任意两个等边三角形都是相似的 它的否定是 _ ； 否命题是 _ 答案：存在两个等边三角形不相似 如果两个三角形不都是等边三角形，那么它们不相似 11已知命题p：不等式 |x 1|m的解集是 R，命题q：f(x) 2m x 在区间 (0， )上是 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 减函数，若命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则实数m的取值范围是 _ 解析：命题p：mN”是“ ( 2 3)
22、 M( 2 3) N ”的充分不必要条件 解析：对于，易知是正确的；对于，由綈p是q的必要条件知：q? 綈p则p? 綈q， 即p是綈q的充分条件，正确；对于，由MN不能得知 ( 2 3) M( 2 3) N，因此是错误的综上 所述，其中正确的命题个数是2. 答案： 2 13从“充分不必要条件” “必要不充分条件” “充要条件”“既不充分也不必要条件”中， 选出适当的一种填空： (1)记集合A 1，p,2，B2,3 ，则“p3”是“ABB”的 _； (2)“a1”是“函数f(x)|2xa| 在区间 1 2， 上为增函数”的_ 解析： (1)当p3 时，A1,2,3，此时ABB；若ABB，则必有p
23、3.因此“p 3”是“ABB”的充要条件 (2)当a1 时，f(x)|2xa| |2x1| 在 1 2， 上是增函数； 但由f(x)|2xa| 在区间 1 2， 上是增函数不能得到a1， 如当a 0时，函数f(x) |2xa| |2x| 在区间 1 2， 上是增函数因此“a1”是“函数f(x)|2xa| 在区间 1 2， 上为增函数”的充分不必 要条件 答案： (1)充要条件(2)充分不必要条件 14已知命题p： “ ?x0,1，ae x” ，命题 q： “ ?xR，x24xa0” ，若上述两个命 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 题都是真命题，则实数a的取值范围为_ 解析：由 ?x
24、0,1，aex，得ae；由 ?xR，x24xa0，得424a0，解得a 4，从而a的取值范围为 e,4 答案： e,4 二、解答题 (本大题共6 小题，共 90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 15(本小题满分14分)写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：末位数字为9 的整数能被3 整除； (2)p：有的素数是偶数； (3)p：至少有一个实数x，使x210； (4)p：?x，yR，x2y22x 4y50. 解： (1)綈p：存在一个末位数字为9 的整数不能被3 整除綈p为真命题 (2)綈p：所有的素数都不是偶数因为2是素数也是偶数，故綈p为假命题 (3)綈p：对任意的
25、实数x，都有x210.綈p为真命题 (4)綈p：?x0，y0 R，x20y202x04y050. 綈p为真命题 16(本小题满分14 分)把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否 命题 (1)若，则 sin sin ； (2)若对角线相等，则梯形为等腰梯形； (3)已知a，b，c，d都是实数，若ab，cd，则acbd. 解： (1)逆命题：若sin sin ，则； 否命题：若，则 sin sin ； 逆否命题：若sin sin ，则. (2)逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；否命题：若梯形的对角线不相等， 则梯形不是等腰梯形； 逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则它的对
26、角线不相等 (3)逆命题：已知a，b，c，d都是实数，若acbd，则ab，cd； 否定题：已知a，b，c，d都是实数，若ab或cd，则acbd； 逆否命题：已知a，b，c，d都是实数，若acbd，则ab或cd. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 17(本小题满分14 分)已知p：2x29xa0，q： x24x30， x26x80， 且綈p是綈q的充 分条件，求实数a的取值范围 解：由 x24x30， x26x80， 得 1x3， 2x4. 即 2x3. q：2x3. 设Ax|2x2 9xa0 ，B x|2 x 3， 綈p? 綈q，q?p.B?A. 即 2x3 满足 2x29xa 0.
27、设f(x)2x29xa， 要使 2x3 满足不等式2x29xa0， 需有 f20， f30， 即 818a0， 1827a0. a9. 实数a的取值范围是 a|a 9 18(本小题满分16 分)设有两个命题：p：关于x的不等式x22x4a0 对一切xR 恒成立；q：已知a0，a 1，函数y |a| x 在 R 上是减函数，若pq为假命题，pq 为真命题，求实数a的取值范围 解：不等式x22x4a0 对xR 恒成立， x22x4a对xR 恒成立， 令yx22x4， ymin 5，a 5， 命题p即为p：a 5， 函数y |a| x(a 0，a 1)在 R 上是减函数， |a|1 ，a1 或a 5
28、， a1或a1. 即实数的取值范围是(5， 1)(1， ) 19(本小题满分16 分)已知p：1 x1 3 2；q：x22x1m2(m0)若綈p是綈q 的必要不充分条件，求实数m的取值范围 解：法一：由x22x1m2(m0)， 得 1mx1m. 綈q：Ax|x1m，m0 由 1 x1 3 2，得 2x10. 綈p：Bx|x10 綈p是綈q的必要不充分条件，且m0， AB. m0， 1m 2， 1m10. 解得m 9. 注意到当m9 时，中等号成立， 而中等号不成立 实数m的取值范围是) 9， . 法二：綈p是綈q的必要不充分条件 q是p的必要不充分条件 p是q的充分不必要条件 CD， 又p：Cx| 2x10 ， q：Dx|1 mx1m，m0 ， m0， 1m 2， 1m10. 解得m9. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 故实数m的取值范围是) 9， . 20(本小题满分16 分)已知命题p：不等式 (m1)x2(m1)x20 的解集是R，命题q： sin xcos xm.如果对于任意的xR，命题p是真命题且命题q为假命题，求m的范围 解：对于命题p： (1)当m10 时，原不等式化为20 恒成立，满足题意 (2)当m10 时，只需 m10， m 1 28 m1m是假命 题，则m2.综上，m的取值范围是 2，9)