《高中数学第一章1.3全称量词与存在量词教学案北师大版选修2270.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章1.3全称量词与存在量词教学案北师大版选修2270.pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 全称量词与存在量词 对应学生用书 P8 全称量词与全称命题 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉 满全城 我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸我对各位表示热诚 欢迎！ ”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人可是，有一天，这位 理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸 呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他 给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸 这就是著名的“罗素理发师悖
2、论”问题 问题 1：文中理发师说： “我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”对“所有的”这一词 语，你还能用其他词语代替吗？ 提示：任意一个，全部，每个 问题 2：上述词语都有什么含义？ 提示：表示某个范围内的整体或全部 全称量词与全称命题 (1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条” “一切”都是在指定范围内，表示整体或全 部的含义，这样的词叫作全称量词 (2)含有全称量词的命题，叫作全称命题. 存在量词与特称命题 观察语句： 存在一个xR，使 3x1 5； 至少有一个xZ，x能被 2 和 3 整除 问题 1：是命题吗？若是命题，判断其真假 提示：是，都为真命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风
3、萧萧整理 问题 2：中的“存在一个”、 “至少有一个”有什么含义？ 提示：表示总体中“个别”或“一部分” 问题 3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？ 提示：某些，有的，有些 存在量词与特称命题 (1)“有些”“至少有一个” “有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词 叫作存在量词 (2)含有存在量词的命题，叫作特称命题. 全称命题与特称命题的否定 观察下列命题： 被 7 整除的整数是奇数； 有的函数是偶函数； 至少有一个三角形没有外接圆 问题 1：命题的否定： “被 7 整除的整数不是奇数”对吗？ 提示：不对，命题是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7 整
4、除的 整数不都是奇数” 问题 2：命题的否定： “有的函数不是偶函数”对吗？ 提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数 问题 3：判断命题的否定的真假 提示：命题的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题 全称命题与特称命题的否定 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题 1判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全 称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称 命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性
5、 质，即说明这个特称命题的否定是正确的 对应学生用书 P9 全称命题与特称命题的判断 例 1 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题 (1)对任意xR，x20； (2)有些无理数的平方也是无理数； (3)正四面体的各面都是正三角形； (4)存在x1，使方程x2x20； (5)对任意xx|x1,3x40 成立； (6)存在a1 且b2，使ab3 成立 思路点拨 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别不含量词 的命题要注意结合命题的语境进行分析 精解详析 (1)(5)含全称量词“任意” ，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的 各面都是正三角形故(1)(3)(5)为全称命
6、题； (2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、 “存在”、 “存在” 一点通 判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点： (1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词； (2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断 1下列命题为特称命题的是( ) A奇函数的图像关于原点对称 B正四棱柱都是平行六面体 C棱锥仅有一个底面 D存在大于等于3 的实数x，使x22x30 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： A、B、C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A、B、C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以 D 是特称命
7、题，故选D. 答案： D 2下列命题中，全称命题的个数是( ) 任意一个自然数都是正整数； 所有的素数都是奇数； 有的等差数列也是等比数列； 三角形的内角和是180. A 0个B1 个 C2 个D3 个 解析：命题含有全称量词，而命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是 180” ，故有三个全称命题 答案： D 全称命题与特称命题的真假判断 例 2 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x1，x2，若x10.故 B 为假命题 答案： B 4判断下列命
8、题的真假，并说明理由： (1)对任意xR，都有x2x1 1 2成立； (2)存在实数，使 cos()cos cos 成立； (3)对任意x，yN，都有 (xy)N； (4)存在x，yZ，使2xy 3 成立 解： (1)法一：当x R 时，x2x 1x 1 2 23 4 3 4 1 2，所以该命题是真命题 法二：x2x 1 1 2 ?x2x 1 20，由于 14 1 2 1 0，所以不等式 x2x1 1 2的解集是 R，所以该命题是真命题 (2)当 4 ， 2时， cos( ) cos( 4 2)cos( 4)cos 4 2 2 ，cos cos cos 4 cos 2 2 2 0 2 2 ，此
9、时 cos()cos cos ，所以该命题是真命题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)当x2，y4 时，xy 2/ N，所以该命题是假命题 (4)当x0，y3 时，2xy3，即存在x，yZ，使2xy3，所以该命题是真命 题. 全称命题、特称命题的否定 例 3 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定 (1)三角形的内角和为180； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形 思路点拨 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定 精解详析 (1)是全称命题且为真命题 命题的否定：三角形的内角和不全为180，即存在一个三角形的内角
10、和不等于180. (2)是全称命题且为假命题 命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下 (3)是特称命题且为真命题 命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数 (4)是特称命题，且为真命题 命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形 一点通 1全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题 2写全称 (特称 )命题的否定时，先把全称(存在 )量词改为存在(全称 )量词，然后再否定 结论 5命题“存在实数x，使x1”的否定是 ( ) A对任意实数x，都有x1 B不存在实数x，使x 1 C对任意实数x，都有x1 D存在实数x，使x 1 解析：利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任
11、意的实数x，都 有x1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： C 6若“对任意xR，ax 22ax 10”为真命题，则实数a的取值范围是 _ 解析：依题意，问题等价于对任意xR，ax 22ax 1 0 恒成立当a0 时，不等式 显然成立；当a0 时，有 a0， 4a24a0， 解得 1a0，故实数a的取值范围是(1,0 答案： ( 1,0 7判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式 (1)对数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数能被2 整除且能被5 整除； (3)存在xR，使 log2x0 成立； (4)对任意m Z，都有m230 成立 解析： (1)命题省略了全
12、称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不 是单调函数 (2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2 整除或 不能被 5 整除 (3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意xR，都有 log2x0. (4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在mZ，使m23 0 成立 1判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词有些命题没有明显 的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断 2对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题； (2)改变量词； (3)否定结论
13、； (4)无量词的全称命题要先补上量词再否定 对应课时跟踪训练三 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1将命题“x2y 22xy”改写成全称命题为 ( ) A对任意x，y R，都有x2y 22xy 成立 B存在x，yR，使x2y2 2xy成立 C对任意x0，y0，都有x2y22xy成立 D存在x0，y0，使x2y22xy成立 解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y” ，改成全称命题为： 对任意实数x，y，都有x2y22xy成立 答案： A 2 “关于x的不等式f(x)0 有解”等价于( ) A存在xR，使得f(x)0 成立 B存在xR，使得f(x)0 成立 C对任意x
14、R，使得f(x)0 成立 D对任意xR，f(x) 0成立 解析： “关于x的不等式f(x)0 有解”等价于“存在实数x，使得f(x)0 成立” ，故选 A. 答案： A 3下列命题为真命题的是( ) A对任意xR，都有 cos x2 成立 B存在xZ，使 log2(3x1)0 成立 C对任意x0，都有 3x3 成立 D存在xQ，使方程2x 20 有解 解析： A 中，由于函数y cos x的最大值是1，又 12，所以 A 是真命题； B 中，log2(3x 1)0? 03x11? 1 3 x 2 3，所以 B 是假命题； C 中，当 x1 时， 313，所以 C 是假 命题； D 中，2x20
15、?x2/ Q，所以 D 是假命题，故选A. 答案： A 4给出四个命题：末位数字是偶数的整数能被2 整除；有的菱形是正方形；存 在实数x，使x0；对于任意实数x,2x1 都是奇数下列说法正确的是( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A四个命题都是真命题 B是全称命题 C是特称命题 D四个命题中有两个假命题 解析：为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题 答案： C 5下列命题中全称命题是_；特称命题是 _ 正方形的四条边相等； 有两个角是45的三角形是等腰直角三角形； 正数的平方根不等于0； 至少有一个正整数是偶数 解析：是全称命题，是特称命题 答案： 6命题“偶函数的图像关于y
16、轴对称”的否定是_ 解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词， 加上全称量词后该命题可以叙述为： 所有偶函数的图像关于y轴对称将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结 论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关 于y轴不对称” 答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称 7写出下列命题的否定并判断其真假 (1)有的四边形没有外接圆； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被 8 整除的数能被4 整除 解： (1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题 (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题 (3)命题的否定：存在一个数能被
17、8 整除，但不能被4 整除，是假命题 8(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin xcos xm恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)若命题“存在实数x，使不等式sin xcos xm有解”是真命题，求实数m的取值范 围 解： (1)令ysin xcos x，x R， ysin xcos x2sinx 4 2， 又任意xR，sin xcos xm恒成立， 只要mm有解， 只要m0； (2)有些无理数的平方也是无理数； (3)正四面体的各面都是正三角形； (4)存在x1，使方程x2x20； (5)对任意xx|x1,3x40 成立； (6)存在
18、a1 且b2，使ab3 成立 思路点拨 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别不含量词 的命题要注意结合命题的语境进行分析 精解详析 (1)(5)含全称量词“任意” ，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 各面都是正三角形故(1)(3)(5)为全称命题； (2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”、 “存在”、 “存在” 一点通 判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点： (1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词； (2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断 1下列命
19、题为特称命题的是( ) A奇函数的图像关于原点对称 B正四棱柱都是平行六面体 C棱锥仅有一个底面 D存在大于等于3 的实数x，使x22x30 解析： A、B、C 中命题都省略了全称量词“所有”，所以A、B、C 都是全称命题；D 中命题含有存在量词“存在”，所以 D 是特称命题，故选D. 答案： D 2下列命题中，全称命题的个数是( ) 任意一个自然数都是正整数； 所有的素数都是奇数； 有的等差数列也是等比数列； 三角形的内角和是180. A 0个B1 个 C2 个D3 个 解析：命题含有全称量词，而命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是 180” ，故有三个全称命题 答案： D 全称命题与特
20、称命题的真假判断 例 2 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数x1，x2，若x10.故 B 为假命题 答案： B 4判断下列命题的真假，并说明理由： (1)对任意xR，都有x2x1 1 2成立； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)存在实数，使 cos()cos cos 成立； (3)对任意x，yN，都有 (xy)N； (4)存在x，yZ，使2xy 3 成立 解： (1)法一：当x R 时，x2
21、x 1x 1 2 23 4 3 4 1 2，所以该命题是真命题 法二：x2x 1 1 2 ?x2x 1 20，由于 14 1 2 1 0，所以不等式 x2x1 1 2的解集是 R，所以该命题是真命题 (2)当 4 ， 2时， cos( ) cos( 4 2)cos( 4)cos 4 2 2 ，cos cos cos 4 cos 2 2 2 0 2 2 ，此时 cos()cos cos ，所以该命题是真命题 (3)当x2，y4 时，xy 2/ N，所以该命题是假命题 (4)当x0，y3 时，2xy3，即存在x，yZ，使2xy3，所以该命题是真命 题. 全称命题、特称命题的否定 例 3 判断下列命
22、题的真假，并写出这些命题的否定 (1)三角形的内角和为180； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形 思路点拨 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定 精解详析 (1)是全称命题且为真命题 命题的否定：三角形的内角和不全为180，即存在一个三角形的内角和不等于180. (2)是全称命题且为假命题 命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下 (3)是特称命题且为真命题 命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (4)是特称命题，且为真命题 命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形 一点通 1全
23、称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题 2写全称 (特称 )命题的否定时，先把全称(存在 )量词改为存在(全称 )量词，然后再否定 结论 5命题“存在实数x，使x1”的否定是 ( ) A对任意实数x，都有x1 B不存在实数x，使x 1 C对任意实数x，都有x1 D存在实数x，使x 1 解析：利用特称命题的否定为全称命题可知，原命题的否定为：对于任意的实数x，都 有x1. 答案： C 6若“对任意xR，ax 22ax 10”为真命题，则实数a的取值范围是 _ 解析：依题意，问题等价于对任意xR，ax 22ax 1 0 恒成立当a0 时，不等式 显然成立；当a0 时，有 a0， 4a24
24、a0， 解得 1a0，故实数a的取值范围是(1,0 答案： ( 1,0 7判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式 (1)对数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数能被2 整除且能被5 整除； (3)存在xR，使 log2x0 成立； (4)对任意m Z，都有m230 成立 解析： (1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不 是单调函数 (2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被2 整除或 不能被 5 整除 (3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意xR，都有 log2x0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马
25、鸣风萧萧整理 (4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在mZ，使m23 0 成立 1判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词有些命题没有明显 的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断 2对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题； (2)改变量词； (3)否定结论； (4)无量词的全称命题要先补上量词再否定 对应课时跟踪训练三 1将命题“x2y 22xy”改写成全称命题为 ( ) A对任意x，y R，都有x2y 22xy 成立 B存在x，yR，使x2y2 2xy成立 C对任意x0，y0，都有x2y22
26、xy成立 D存在x0，y0，使x2y22xy成立 解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x，y” ，改成全称命题为： 对任意实数x，y，都有x2y22xy成立 答案： A 2 “关于x的不等式f(x)0 有解”等价于( ) A存在xR，使得f(x)0 成立 B存在xR，使得f(x)0 成立 C对任意xR，使得f(x)0 成立 D对任意xR，f(x) 0成立 解析： “关于x的不等式f(x)0 有解”等价于“存在实数x，使得f(x)0 成立” ，故选 A. 答案： A 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3下列命题为真命题的是( ) A对任意xR，都有 cos x2 成立 B
27、存在xZ，使 log2(3x1)0 成立 C对任意x0，都有 3x3 成立 D存在xQ，使方程2x 20 有解 解析： A 中，由于函数y cos x的最大值是1，又 12，所以 A 是真命题； B 中，log2(3x 1)0? 03x11? 1 3 x 2 3，所以 B 是假命题； C 中，当 x1 时， 313，所以 C 是假 命题； D 中，2x20?x2/ Q，所以 D 是假命题，故选A. 答案： A 4给出四个命题：末位数字是偶数的整数能被2 整除；有的菱形是正方形；存 在实数x，使x0；对于任意实数x,2x1 都是奇数下列说法正确的是( ) A四个命题都是真命题 B是全称命题 C是
28、特称命题 D四个命题中有两个假命题 解析：为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题 答案： C 5下列命题中全称命题是_；特称命题是 _ 正方形的四条边相等； 有两个角是45的三角形是等腰直角三角形； 正数的平方根不等于0； 至少有一个正整数是偶数 解析：是全称命题，是特称命题 答案： 6命题“偶函数的图像关于y轴对称”的否定是_ 解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词， 加上全称量词后该命题可以叙述为： 所有偶函数的图像关于y轴对称将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是
29、“有些偶函数的图像关 于y轴不对称” 答案：有些偶函数的图像关于y轴不对称 7写出下列命题的否定并判断其真假 (1)有的四边形没有外接圆； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被 8 整除的数能被4 整除 解： (1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题 (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题 (3)命题的否定：存在一个数能被8 整除，但不能被4 整除，是假命题 8(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin xcos xm恒成立”是真命题，求实数m 的取值范围； (2)若命题“存在实数x，使不等式sin xcos xm有解”是真命题，求实数m的取值范 围 解： (1)令ysin xcos x，x R， ysin xcos x2sinx 4 2， 又任意xR，sin xcos xm恒成立， 只要mm有解， 只要m2即可，所求m的取值范围是 (，2).