《高中数学第一章1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学案含解析新人教A版选修20.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学案含解析新人教A版选修20.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 15.11.5.2 曲边梯形的面积汽车行驶的路程 曲边梯形的面积 如下图，阴影部分是由直线x1，x 2，y0 和函数f(x)x2所围成的曲边梯形 问题 1：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是什么？ 提示：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段 问题 2：能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？ 提示：不能 问题 3：当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的面积近似代替曲边梯形的面 积？ 提示：可以 1连续函数 如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数 2曲边梯形的面积 (1)
2、曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0 和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形 (如图甲 ) (2)求曲边梯形面积的方法与步骤： 分割：把区间分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图乙 )； 近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的 面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值； 求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； 取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值， 即为曲边梯形的面积 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 “以直代曲”的思想 曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，把曲边梯形分
3、割成一系列的小曲边梯 形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值， 这种极限的思想是学习定积分的一种很重要的思想 汽车行驶的路程 问题：利用“以直代曲”的思想可以求物体做变速直线运动的路程吗？ 提示：可以 求变速直线运动的路程 如果物体做变速直线运动，速度函数为vv(t)， 那么它在时间t所在的区间内的路程(或 位移 )也可以运用分割；近似代替；求和；取极限的方法求得 变速直线运动的路程与曲边梯形的面积间的关系 与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问 题化归为求匀速直线运动的路程问题 求曲边梯形的面积 求由直线x1，x2
4、，y0 及曲线yx3所围成的图形的面积 提示： 1 3 23 n3 1 2n n1 2 (1)分割如右图所示，用分点 n1 n ， n2 n ， nn1 n ，把区间 等分成n个小区间1， n1 n ， n1 n ， n2 n ， ni1 n ， ni n ， nn1 n ， 2 ，每个小区间的长度为x ni n ni1 n 1 n (i 1,2,3，n)过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形ABCD分割成n个小曲边梯形，它们的 面积分别记作S1，S2，Sn. (2)近似代替 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 各小区间的左端点为i，取以点i的纵坐标 3 i为一边，以小区间长x 1 n为其邻边
5、的小矩 形面积，近似代替小曲边梯形面积第i个小曲边梯形面积，可以近似地表示为Si 3 ix ni1 n 3 1 n(i1,2,3， n) (3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n个小矩形 面积的和就是曲边梯形ABCD面积S的近似值， 即S i 1 n Si i1 n ni1 n 3 1 n. (4)取极限 当分点数目越多，即x越小时，和式的值就越接近曲边梯形ABCD的面积S.因此n ，即x0 时，和式的极限就是所求的曲边梯形ABCD的面积 因为 i 1 n ni1 n 3 1 n 1 n4 i 1 n (ni 1)3 1 n4 i 1 n (n1)3 3
6、(n1)2i3(n1)i2i3 1 n4， 所以Sli m n i1 n ni1 n 3 1 n 1 3 21 1 4 15 4 . 求曲边梯形的面积应关注两点 (1)根据步骤“分割、近似代替、求和、取极限”求曲边梯形的面积S，实质是用n个小 矩形面积的和Sn来逼近，Sn的极限即为所求曲边梯形的面积S.求小矩形面积时，一般选取 函数在相应小区间的左端点值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)分割实现了把求不规则的图形的面积化归为计算矩形面积，但这是近似值，为逼近 精确值，分割得越细，近似程度就会越好，无限细分就无限逼近精确值 求由直线x1，x2，y0 与曲线y2x2所围成的曲边梯形
7、的面积 解： (1)分割 在区间上等间隔地插入n1 个分点，把区间等分成n个小区间 ni1 n ， ni n (i 1,2，n)，每个小区间的长度为x 1 n，每个小区间内曲边梯形的面积记为 Si(i1,2， n)，显然S i 1 n Si. (2)近似代替 记f(x)2x2，取i ni1 n (i1,2，n)， 于是SiSif ni1 n x2 ni 1 n 2 1 n(i1,2， n) (3)求和 Sn i1 n Si i1 n 2 ni1 n 2 1 n 2 n1 1 1 n 2 1 2 n 2 1n1 n 2 2 nn 2 n 1 n2 2 n n 2 n nn1 2 1 n2 n 1
8、n2n1 6 22 1 1 n 1 3 1 1 n 2 1 n . 从而得到S的近似值SSn. (4)取极限 Sli m n Snli m n 22 1 1 n 1 3 1 1 n 2 1 n 14 3 . 求变速运动的路程 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t2 2(单位： km/h) ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 那么该汽车在0t2(单位： h)这段时间内行驶的路程s(单位： km)是多少？ (1)分割 在时间区间上等间隔地插入n1 个分点，将它等分成n个小区间记第i个小区间为 2i1 n ， 2i n (i1,2，n)，其长度为t 2i n 2i
9、1 n 2 n.每个时间段上行驶的路程记 为si(i1,2，n)，则显然有s i1 n si. (2)近似代替 取i 2i n(i1,2， n)于是sisiv 2i n t 3 2i n 2 2 2 n 24i2 n3 4 n(i 1,2， n) (3)求和 sn i1 n si i1 n 24i2 n3 4 n 24 n3(1 222 n2) 4 24 n3 nn12n 1 6 48 1 1 n 1 1 2n4. 从而得到s的近似值sn8 1 1 n 1 1 2n4. (4)取极限 sli m n snli m n 8 1 1 n 1 1 2n 4 8412， 所以这段时间内行驶的路程为12
10、 km. 变速运动的路程的求法 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼 近”的思想求解求解过程为分割、近似代替、求和、取极限应特别注意变速直线运动的 时间区间 已知自由落体的运动速度vgt，求在时间区间内物体下落的距离 解： (1)分割 将时间区间分成n等份 把时间分成n个小区间 i1 n t， it n (i1,2， ，n)， 每个小区间所表示的时间段t it n i1 n 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 t t n，在各小区间物体下落的距离记作 si(i 1,2，n) (2)近似代替 在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程 在
11、 i 1 n t， it n 上任取一时刻i(i1,2，n)，可取i使v(i)g i1 n t近似代替第i 个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体t t n内所经过的距离可近似表示为 si g i1 n t t n(i 1,2，n) (3)求和 sn i1 n si i1 n g i1 n t t n gt2 n2 1 2 gt21 1 n . (4)取极限 s lim n 1 2 gt21 1 n 1 2gt 2. 4.搞错区间端点致误 求由抛物线y2x2与直线x0，xt(t0)，y 0 所围成的曲边梯形的面积时，将区 间等分成n个小区间，则第i1 个区间为 ( ) A. i 1 n
12、， i n B. i n， i1 n C. ti1 n ，ti n D. ti 2 n ，t i1 n 每个小区间长度为 t n，故第 i1 个区间的左端点为0(i2) t n ti2 n ，右端点 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 为 ti2 n t n ti1 n . D 1解决本题易错误地认为区间左端为 ti1 n ，从而误选C. 2在将区间等分成n个小区间时，其第1 个小区间的左端点为0，第 2 个小区间的左 端点为 1 n，依次类推，第 i个小区间的左端点为 i1 n . 在求直线x0，x2，y 0与曲线yx2所围成的曲边三角形的面积时，把区间等分成 n个小区间，则第i个小区
13、间是 ( ) A. i 1 n ， i n B. i n， i1 n C. 2i1 n ， 2i n D. 2i n， 2i 1 n 解析：选C 将区间等分为n个小区间后，每个小区间的长度为 2 n，第 i个小区间为 2i1 n ， 2i n . 1在“近似代替”中，函数f(x)在区间上的近似值( ) A只能是左端点的函数值f(xi) B只能是右端点的函数值f(xi1) C可以是该区间内任一点的函数值f( i)(i) D以上答案均正确 解析：选 C 作近似计算时，xxi 1xi很小，误差可忽略，所以f(x)可以是上任一值 f(i) 2已知汽车在时间内以速度vv(t)做直线运动，则下列说法不正确
14、的是( ) A当va(常数 )时，汽车做匀速直线运动，这时路程svt1 B当vatb(a，b为常数 )时，汽车做匀速直线运动，这时路程sbt1 1 2at 2 1 C当vatb(a0，a，b为常数 )时，汽车做匀变速直线运动，这时路程sbt1 1 2at 2 1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 D当vat 2 btc(a0，a，b，c为常数 )时，汽车做变速直线运动，这时路程sli m n snli m n i1 n v( i)t 解析： 选 B 对于vatb，当a0 时为匀速直线运动，当a0 时为匀变速直线运动， 其中a0 时为匀加速直线运动，a0 时为匀减速直线运动对于vat 2
15、 btc(a0)及v v(t)是t的三次、四次函数时，汽车做的都是变速(即变加速或变减速)直线运动，故B 是错误 的 3在计算由曲线yx2以及直线x 1，x 1，y0 所围成的图形面积时，若将区 间n等分，则每个小区间的长度为_ 解析：每个小区间长度为 11 n 2 n. 答案： 2 n 4.求由抛物线f(x)x2，直线x 1 以及x轴所围成的平面图形的 面积时，若将区间等分成5 个区间，如右图所示，以小区间中点的纵 坐标为高，所有小矩形的面积之和为_ 解析：由题意得S (0.1 20.32 0.520.720.92)0.20.33. 答案： 0.33 5利用分割、近似代替、求和、取极限的办法
16、求函数y1x，x1，x2 的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证 解：f(x) 1x在区间上连续，将区间分成n等份，则每个区间的长度为xi 1 n，在 1 i1 n ， 1 i n 上取ixi 11i 1 n (i 1,2,3，n)，于是f( i)f(xi 1) 11 i1 n 2 i1 n ， 从而Sn i1 n f(i)xi i1 n 2 i1 n 1 n i 1 n 2 n i1 n2 2 n n 1 n22 1 n2 nn1 2 2 n1 2n 5 2 1 2n. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则Sli m n Sn li m n 5 2 1 2n 5 2
17、. 如下进行验证： 如右图所示，由梯形的面积公式得S 1 2 (2 3)1 5 2. 一、选择题 1下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) Ayx2By|x| CyxD y 1 x 解析：选D 由于函数y 1 x的定义域为 (， 0)(0， )，故其图象不是连续不断 的曲线 2在求由xa，xb(ab)，yf(x)(f(x)0)及y0 围成的曲边梯形的面积S时，在区 间上等间隔地插入n 1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲 边梯形，下列说法中正确的是( ) An个小曲边梯形的面积和等于S Bn个小曲边梯形的面积和小于S Cn个小曲边梯形的面积和大于S Dn个小曲边梯形
18、的面积和与S之间的大小关系无法确定 解析：选 A n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S. 3和式 i1 5 (yi1)可表示为 ( ) A(y11)(y51) By1y2y3y4y51 Cy1y2y3y4y55 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 D (y11)(y21)(y51) 解析：选C i 1 5 (yi1)(y11) (y21)(y31)(y4 1) (y51)y1y2y3y4y5 5. 4对于由直线x1，y0 和曲线yx3所围成的曲边三角形，把区间3 等分，则曲边 三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A. 1 9 B. 1 25 C.
19、1 27 D. 1 30 解析：选 A 将区间三等分为0， 1 3 ， 1 3 ， 2 3 ， 2 3，1 ，各小矩形的面积和为 s103 1 3 1 3 3 1 3 2 3 3 1 3 1 9 . 5若做变速直线运动的物体v(t)t2在 0ta内经过的路程为9，则a的值为 ( ) A 1 B2 C3 D4 解析：选 C 将区间n等分，记第i个区间为 ai1 n ， ai n (i 1,2，n)，此区间长 为 a n，用小矩形面积 ai n 2a n近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 Sn i1 n ai n 2 a n a 3 n3(1 2 22n2) a 3 3 1 1 n 1 1 2n
20、，依题意得lim n a3 3 1 1 n 1 1 2n 9， a 3 3 9，解得a3. 二、填空题 6已知某物体运动的速度为vt，t，若把区间10 等分，取每个小区间右端点处的 函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_ 解析：把区间10 等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2， 10)，每个 小区间的长度为1， 物体运动的路程近似值s1(12 10)55. 答案： 55 7物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)2t(t的单位： h；v的单位： km/h) ，近 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 似计算在区间内物体运动的路程时，把区间 6 等分，则过剩近似值(
21、每个 i均取值为小区间的 右端点 )为_km. 解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s(23 242 526 272 8)166 (km) 答案： 66 8直线x0，x2，y0 与曲线yx21 围成的曲边梯形，将区间5 等分，按照区间 左端点和右端点估计梯形面积分别为_、_. 解析：将区间5 等分为0， 2 5 ， 2 5， 4 5 ， 4 5， 6 5 ， 6 5， 8 5 ， 8 5 ，2 ，以小区间左端点对应 的函数值为高，得S11 2 5 21 4 5 21 6 5 21 8 5 2 12 53.92， 同理S2 2 5 21 4 5 21 6 5 21
22、8 5 21221 2 55.52. 答案： 3.92 5.52 三、解答题 9汽车行驶的速度为vt 2，求汽车在 0t1 这段时间内行驶的路程s. 解： (1)分割 将区间等分为n个小区间 0， 1 n ， 1 n， 2 n ， i1 n ， i n ， n1 n ，1 ， 每个小区间的长度为t i n i1 n 1 n. (2)近似代替 在区间 i1 n ， i n (i1,2，n)上，汽车近似地看作以时刻 i 1 n 处的速度v i 1 n i 1 n 2 做匀速行驶，则在此区间上汽车行驶的路程为 i 1 n 2 1 n. (3)求和 在所有小区间上，汽车行驶的路程和为 sn 0 2 1
23、 n 1 n 21 n 2 n 21 n n1 n 21 n 1 n3 1 n3 n1n2n1 6 1 3 1 1 n 1 1 2n . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (4)取极限 汽车行驶的路程 sli m n snli m n 1 3 1 1 n 1 1 2n 1 3. 10求由直线x0，x1，y0 和曲线yx(x1)围成的图形的面积 解： (1)分割 将曲边梯形分割成n个小曲边梯形，在区间上等间隔地插入n1 个点，将区间等分成 n个小区间： 0， 1 n ， 1 n， 2 n ， n1 n ，1 ， 记第i个区间为 i1 n ， i n (i1,2，n)，其长度为 x i n
24、 i1 n 1 n. 把每个小曲边梯形的面积记为 S1，S2，Sn. (2)近似代替 把每个小曲边梯形近似地看作矩形，可得第i个小曲边梯形的面积的近似值 Sif i1 n x i1 n i1 n 1 1 n i1 n2 1 i1 n (i1,2，n) (3)求和 求出这n个小矩形的面积的和 Sn i1 n f i1 n x i 1 n i 1 n2 1 i1 n 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 6 1 1 n2 ， 从而得到所求图形面积的近似值S 1 6 1 1 n2 . (4)取极限 S lim n 1 6 1 1 n2 1 6. 所以由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形的面积为 1 6.