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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7.2 棱柱、棱锥、 棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积高效测评北师大版必修 2 一、选择题 (每小题 5 分，共 20 分) 1半径为r的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A. 5 24 r3B. 5 8 r3 C. 3 24 r3D. 3 8 r3 解析：设底面半径为r，则 2rr， r r 2.圆锥的高 hr2r 2 3 2 r. V锥 1 3 r 2 h 1 3 r2 4 3 2 r 3 24 r3. 答案：C 2在棱长为1 的正方体中，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截 去
2、8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( ) A. 2 3 B. 3 4 C. 4 5 D. 5 6 解析：V正方体 8V三棱锥18 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 5 6，故选 D. 答案：D 3一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，主视图如图所示，则该四棱锥侧面积 和体积分别是 ( ) A 45，8 B45， 8 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C4(51)， 8 3 D 8,8 解析：由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为 22125，所以S侧4 1 22 5 45，V 1 32 22 8 3. 答案：B 4如图，三棱台ABCA1B1C1
3、中，ABA1B112，则三棱锥A1ABC，BA1B1C， CA1B1C1的体积之比为 ( ) A 111 B1 12 C124 D 144 解析：设棱台的高为h，SABCS， 则SA1B1C14S. VA1ABC 1 3S ABCh 1 3Sh . VCA1B1C1 1 3S A1B1C1h 4 3Sh . 又V台 1 3h(S 4S2S) 7 3Sh ， VBA1B1CV 台VA1ABCVCA1B1C1 7 3Sh Sh 3 4Sh 3 2 3Sh .体积之比为1 24. 答案：C 二、填空题 (每小题 5 分，共 10 分) 5已知圆锥的母线长为5 cm，侧面积为15cm2，则此圆锥的体积
4、为_cm 3. 解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，则有rl15，知r3， h5 2 324. 其体积V 1 3Sh 1 3 r2h 1 3 32412 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案：12 6如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D为棱AA1的中点若截面BC1D是面积为6 的直角三角形，则此三棱柱的体积为_ 解析：设ACa，CC1b，则BD 2 DC21a 21 4b 2， a 21 4b 2 2a2b2，得b2 2a 2，又 1 2 a2 1 4b 2 6，a 28， b216，V 3 4 8483. 答案：83 三、解答题 (每小题 10 分，共 20分) 7如图，正
5、三棱锥OABC底面边长为2，高为 1，求该三棱锥的体积及表面积 解析：由已知条件可知，正三棱锥OABC的底面ABC是边长为2 的正三角形， 经计算得底面ABC的面积为3. 所以该三棱锥的体积为 1 3 31 3 3 . 设O是正三角形ABC的中心 由正三棱锥的性质可知，OO垂直于平面ABC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 延长AO交BC于D， 得AD3，OD 3 3 . 又因为OO 1，所以正三棱锥的斜高OD 23 3 . 故侧面积为 1 22 23 3 3 23. 所以该三棱锥的表面积为32333. 因此，所求三棱锥的体积为 3 3 ，表面积为33. 8如图，在三棱柱A1B1C1
6、ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点设三棱 锥FADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1ABC的体积为V2，求V1V2. 解析：通过点D，E，F为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系， 然后利用体积公式得到体积之间的比值 设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2Sh.因为D，E分别为AB， AC的中点，所以ADE的面积等于 1 4S . 又因为F为AA1的中点，所以三棱锥FADE的高等于 1 2 h，于是三棱锥FADE的体 积V1 1 3 1 4S 1 2 h 1 24Sh 1 24V 2，故V1V2124. 尖子生题库 9(10 分)如图是一个底面直径为20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 个底面直径为6 cm， 高为 20 cm 的圆锥形铅锤， 且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后， 杯里的水将下降多少？ 解析：因为圆锥形铅锤的体积为 1 3 6 2 2 2060 (cm3)， 设水面下降的高度为 x cm， 则小圆柱的体积为 20 2 2x100 x. 所以有 60 100x，解此方程得x 0.6， 故杯里的水将下降0.6 cm.