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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.1.1 任意角 疱工巧解牛 知识 ?巧学 一、正角、负角、零角 1.一条射线的端点是O，它从初始位置OA 旋转到终止位置OB，形成一个角，点O 是角 的顶点，射线OA、 OB 分别是角的始边、终边.我们规定，按逆时针方向旋转形成的角叫 正角； 按顺时针旋转形成的角叫负角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，这样就把 角的概念推广到了任意角.旋转一周角的大小记为360，如图 1-1-1. 图 1-1-1 2.由于图 1-1-1(1)中的、分别是按逆时针、顺时针方向旋转的，所以=45， =-315；图 1-1-1(2)中的=30， =390， =-
2、60.显然角的大小与旋转的周数有关，角的正负与旋转 的方向有关 . 图 1-1-2 如图 1-1-2， 射线 OA 绕端点 O 旋转 90到射线OB 的位置，接着再旋转 -30到 OC 的位置， 则 AOC= AOB+ BOC=90 +(-30)=60 . 学法一得引入正角、 负角的概念后， 角的减法运算可以转化为角的加法运算，即可以转化 -为+(- )，也就是说各角和的旋转量等于各角旋转量的和. 3.在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向，旋转的周数及角的绝对值的大小， 旋转生成的角，又常称为转角.显然，如果以第一个角的终边为始边作第二个角，以第二个 角的终边为始边作第三个角，这样一
3、直作下去， 那么所有这些角的和等于以第一个角的始边 为始边，以最后一个角的终边为终边的角的大小. 二、象限角 1.若把角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除顶点外 ) 在第几象限，我们说这个角是第几象限角. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 1-1-3 例如：由于图1-1-3 甲中的角45、405、-315都是始边与x 轴的非负半轴重合，终边落 在第一象限的角，所以它们都是第一象限角；同理图1-1-3乙中的角480是第二象限的角， -70、 290都是第四象限的角. 2.表示各个象限角时，可以先在0 360范围内确定角的界限，然后再加上360的整数
4、倍，如第一象限角，在0 360范围内，第一象限角表示为090，然后在两端 加上 k360,kZ，即可得到第一象限角的集合： |k 360+90k360+90,k Z，其他各象限角同理可得. 3.特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.例如 0、 90、 -180、 630等，这些角都不属于任何一个象限，我们称之为非象限角，也叫象限界角.与 象限角的确定方法相同,终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为 | =k360,kZ.同理 可得其他非象限角的集合. 深化升华角以终边的位置为分类标准，被分为象限角与非象限角，象限角及非象限角都是 相对于坐标系而言的.只有在角的顶点与原
5、点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合这一前 提下，才能讨论象限角与非象限角.在直角坐标系内讨论角，可以使角的讨论得到简化，还 能有效地表示出角的终边位置“周而复始”的现象. 三、与角终边相同的角 1.设 S= | =45+k360,kZ ，显然，所有与45角终边相同的角都是集合S的元素； 反过来， 集合 S中的任何一个元素也都与45角的终边相同.把角推广到一般形式有： 所有 与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S= | = +k360,kZ，即任一与 角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角和的形式. 辨析比较对于这个概念的理解要把握以下三点：kZ；是任意角；终边相同的角 不一定相
6、等，终边相同的角有无数个，它们相差360的整数倍 . 2.终边相同的角的用途：利用与角终边相同的角的集合，可把任一角转化成 = +k 360,k Z, 0,360)的形式；也可利用与角终边相同的角化简终边落在过原点的某一条直 线上的角的集合；或利用与角终边相同的角写出各象限角的集合. 典题 ?热题 知识点一各角和的旋转量等于各角旋转量的和 例 1 射线 OA 绕端点 O 逆时针方向旋转150到 OB 位置，接着再按顺时针方向旋转60 到 OC 位置，然后再逆时针方向旋转90到 OD 位置，求 AOD 的大小 . 思路分析： 我们规定， 按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫
7、负 角；若射线没有作任何旋转，形成的角叫零角，逆时针方向旋转150即 +150，顺时针方 向旋转 60即 -60，再逆时针方向旋转90即再 +90，由此可得结论. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 图 1-1-4 解： 如图 1-1-4，由题意知 AOB=150 ,BOC=-60 ,COD=90 , 所以 AOD= AOB+ BOC+ COD=150 -60+90=180. 方法归纳在画图表示角时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向.显然，如果以第一个角的 终边为始边作第二个角，以第二个角的终边为始边作第三个角，这样一直作下去，那么所有 这些角的和等于以第一个角的始边为始边，以最后一个角的
8、终边为终边的角的大小. 知识点二终边相同的角 例 2 如图 1-1-5，写出终边落在直线y=x3上的角的集合 .(用 0到 360的角表示 ) 图 1-1-5 思路分析：先在0到360之间找到两个角，使得其终边分别与射线y=x3(x 0)、 y=x3(x0)重合，再写出与其终边相同的角的集合，最后求并集. 解： 终边落在 y=x3(x0)上的角的集合是S1= | =60+k 360 ,kZ； 终边落在 y=x3(x0)上的角的集合是S2= | =240 +k360,kZ. 于是，终边落在y=x3上的角的集合是S=S1S2= | =60+k 360,kZ | =240+k360,kZ = | =
9、60+2k180,kZ | =60 +(2k+1) 180,kZ = | =60+180的偶数倍 | =60+180的奇数倍 = | =60+180的整数倍 = | =60+n180,nZ. 图 1-1-6 巧妙变式： 如图 1-1-6，若角的终边落在y=x 3 3 (x0)与 y=x 3 3 (x0)所夹的小区域 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 内，求角的集合 . 思路点拨： 应先写出终边落在y=x 3 3 (x 0)与 y=x 3 3 (x0)上的角的集合， 再运用不等 式写出所在小区域内的角的集合.所夹的小区域内角的集合是 |30 +k360150 +k 360, kZ. 方法
10、归纳若过原点的直线l 的倾斜角为，则终边落在直线l 上的角的集合是 | = +k 180,kZ.当 k 取偶数时，表示终边落在直线l 所在的上半平面部分；当k 取奇数时， 表示终边落在直线l 所在的下半平面部分.求两条射线所夹区间角的集合的关键是找出与区 间的两条边界终边相同的角的集合. 知识点三象限角的集合 例 3 试写出第二象限角的集合. 思路分析： 表示各个象限角时， 可以先在0 360范围内确定角的界限，然后再加上360 的整数倍 . 解： 由于第二象限角位于y 轴的非负半轴、x 轴的非正半轴之间，而终边落在y 轴的非负半 轴、x 轴的非正半轴上的角分别是 | =90+k 360,kZ
11、与 | =k 360+180,kZ， 所以第二象限角的集合为 |k 360+90k 360+180,kZ. 学法一得象限角的表示形式并不唯一，还可以有其他的表示形式，如本题的第二象限角的 集合，也可以表达为 |k 360-180k360-270,kZ. 知识点四各种角的关系 例 4 判断下列命题是否正确，并说明理由. 小于 90的角是锐角；第一象限的角小于第二象限的角； 终边相同的角一定相等；相等的角终边一定相同； 若90,180 ，则是第二象限角 . 思路分析： 利用各种角的定义进行判断. 解： 锐角集合是 |0 90，即 (0,90)，它是小于90的正角，而小于90 的角还可以是负角和零角
12、，显然是错误的； 由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0 360间的 (0 ,90 )与 (90,180)，像 390是第一象限角，120是第二象限角，显然390 120，所以也 是错误的； 终边相同的角可能彼此相差360的整数倍，显然是错误的； 由于角的顶点是原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，显然 是正确的； 由于 90、 180都不是象限角，显然是错误的. 辨析比较第一象限角、小于90的角、 0 90的角、锐角这四种角的范围有差别.锐角 一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90的角应当包括锐角、零角及负角， 在下一节学习了弧度制后，角变为实数
13、，其大小关系更加明显. 知识点五已知角终边所在的象限，求 n (nN,n1)所在的象限 例 5 是第一象限的角， 2 是第几象限角？ 解： 是第一象限角，则可以表示为k360k360+90,kZ，于是可得 2 的范 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 围是 k 180 2 k180 +45 ,kZ. 当 k 为偶数时， 2 是第一象限角，当k 为奇数时， 2 是第三象限角 . 当是第一象限角时， 2 位于第一或第三象限. 知识点六终边不相同的角和区间角 例 6 在角的集合 | =k90+45,kZ 中, (1)有几种终边不相同的角？ (2)有几个属于区间(-360， 360)内的角？ 思
14、路分析： 本题主要考查对 =k90 +45(kZ)所表示的角的认识，从代数角度看，取 k= ， -2，-1，0，1，2，可以得为， -135， -45， 45， 135， 225，从图 形角度看=k 90+45(kZ)，即以角45为基础，依次加上90的整数倍，即依次按 顺时针方向或逆时针方向旋转90，所得各角如图1-1-7 所示 . 图 1-1-7 解： (1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种. (2)由 -360 k 90+45 360得 2 9 k 2 7 ， 又 kZ，故 k=-4 ，-3，-2，-1，0，1， 2，3. 所以在给定的角的集合中属于区间(-360， 360)的角共
15、有8 个. 方法归纳把代数计算与对图形的认识结合起来，会使这类问题处理起来更容易些.在数学 学习中， 数形结合的方法始终是解决问题的最重要的方法之一，做题时要注意这种思想的应 用. 问题 ?探究 误区陷阱探究 问题“第一象限角和小于90的角都是锐角.”这句话是否正确？ 探究过程： 角的概念推广以后，小于90的角由锐角、零角和负角组成，而第一象限的角 包含了锐角和其他终边在第一象限的角.之所以出现这样的错误，是对任意角的概念理解不 够透彻，认为角的范围是0 360. 探究结论： 这句话不正确 .由于第一象限的角包含了大于90和小于0的角，而小于90 的角可能是锐角、零角或负角，故它们不一定是锐角
16、. 思想方法探究 问题已知角的终边位置，如何判断 3 的终边位置？例如，为第一象限角，探求 3 所在 的象限 . 探究过程： 因为为第一象限角，即2k 2k + 2 ,k Z，则 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 2k 3 3 2k + 6 ,kZ.当 k=3n(n Z)， 3 为第一象限角； 当 k=3n+1(n Z)， 3 为第二象限角； 当 k=3n+2(n Z)， 3 为第三象限角. 所以 3 为第一、第二、第三象限角. 此外，对于确定 3 的终边位置，还有一种方法八卦图法. 图 1-1-8 第一步：画出直角坐标系.如图 1-1-8，将每一象限三等分. 第二步：标号 .从
17、x 轴非负半轴开始，按逆时针方向，在图中依次标上1、2、3、4；1、2、3、 4；1、2、3、4. 第三步：选号 .因为为第一象限角，在图中将数字1 的范围画出，可用阴影表示. 第四步：定象限.阴影部分在哪一象限， 3 的终边就落在哪一象限. 由以上步骤可知，若为第一象限角，则 3 为第一、二、三象限角. 探究结论： 已知角的终边位置，判断 3 的终边位置常用的方法有两种：一是先将已知角用 不等式表示出来，再求 3 的取值范围，然后分三类讨论，来确定 3 的终边位置；二是利用 八卦图法，将每个象限平均分成三份，并从x 轴非负半轴区域开始，按逆时针方向，在图中 依次标上1、2、3、4；1、2、3、4；1、2、3、4，已知角是第几象限角，就找标号几，此标 号所在象限即为 3 所在象限 .