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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2 任意角的三角函数 疱工巧解牛 知识 ?巧学 一、任意角的三角函数 1.如图 1-2-2，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么 y 叫做的正弦，记 作 sin，即sin =y；x 叫做的余弦，记作cos，即cos =x； x y 叫做的正切，记作tan = x y (x0).像这种以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将 它们统称为三角函数.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，所以三角函数可 以看成是自变量为实数的函数. 图 1-2-2 2.利用角的终边上任意一点P的坐标来定义三角函数.
2、 设是一个任意角，的终边上一点P(除端点外 )的坐标是 (x，y)，它与原点的距离是 r(0| 2222 yxyxr)，如图 1-2-3 所示 . 图 1-2-3 那么，比值 r y 叫做的正弦，记作sin，即sin = r y ； 比值 r x 叫做的余弦，记作cos，即cos = r x ； 比值 x y 叫做的正切，记作tan，即tan = x y ； 比值 y x 叫做角的余切，记作cot = y x ； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 比值 x r 叫做角的正割，记作sec = x r ； 比值 y r 叫做角的余割，记作csc = y r . 这些函数都是以角为自变量，以
3、比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数. 3.明确各个三角函数的记法的意义 sin、 cos、 tan等都表示一个整体，离开自变量的sin、cos、tan 等都是没有意义的.sin 并不表示“ sin”与“”的乘积，就像函数“f(x)”不表示“ f”与“ x”的乘积一样，sin 是一个比值，例如sin 6 ，它表示 6 的正弦值，即 2 1 6 sin.同理， cos、 tan的意义也是 一样的 . 二、三角函数的定义域 由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数是以角为自变量，以比值 为函数值的函数， 它的定义域的每一个值应使相应的比值有意义，即使比值的分母不等于零. 设点
4、 P(x,y)，当 x=0 时，角的终边落在 y 轴上，终边落在y 轴上的角的集合是 | = 2 +k ,k Z；当 y=0 时，角的终边落在x 轴上，终边落在x 轴上的角的集合是 | =k ,kZ.由 三个三角函数的定义可知它们的定义域是: 三角函数定义域 sinR cosR Tan | 2 +k ,kZ 同理，角的余切、角的正割、角的余割的定义域分别是: 三角函数定义域 cot | k ,kZ sec | 2 +k ,kZ csc | k ,kZ 学法一得函数是由定义域及定义域到值域上的对应关系构成的，它的定义域是使函数有意 义的自变量x 的集合 .三角函数的自变量的取值应使比值有意义，可
5、以此来确定它的定义域. 三、任意角的三角函数值与角终边上点P 的位置无关 如 图1-2-4， 在 角 的 终 边 上 再 作 一 点P (x ,y ) ， 它 与 原 点 的 距 离 为 0)()( 22 yxr，分别过点P、P作 PAx 轴于点 A，PBx 轴于点 B，显然 OPA OP B，则由相似三角形的性质可得 | | | | , | , | x y x y r x r x r y r y ，无论角 的 终 边落 在哪 个 象限 ，都 有 y 与y同 号， x 与x 同号 ，所 以 以上三式 可化 为 x y x y y x r x r y r y ,，即对于确定的角， 这三个比值 (
6、如果有意义的话)都不会随点P 在 的终边上的位置的改变而改变.也就是说，三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 数. 图 1-2-4 学法一得用的终边同单位圆的交点来定义任意角的三角函数是用角终边上任一点来定 义三角函数的特例. 四、任意角的三角函数值的符号 因为 sin = r y ，由于 r 0 恒成立，当点P(x，y)位于第一、二象限时，y0;位于第三、 四象限时， y0.所以当位于第一、二象限时，sin 0;当位于第三、四象限时，sin 0； 同理 ,当位于第一、四象限时，cos 0;当位于第二、三象限时，cos 0.当位于第一、三 象限时
7、， tan 0;当位于第二、四象限时，tan 0.关于这三种三角函数值在各个象限的符 号可用图1-2-5记忆 . 图 1-2-5 记忆要诀三角函数在各象限的符号可用以下口诀记忆：“一全正，二正弦，三两切，四余 弦” .其含义是在第一象限各三角函数皆为正，在第二象限正弦为正，在第三象限正余切为 正，在第四象限余弦为正.还可简记为“全、s、t、c”四字 . 五、终边相同的角的同一三角函数值相等 把角推广到一般形式，由任意角的三角函数的定义可知 sin( +k 360)=sin cos( +k360)=cos tan( +k360)=tan , 其中 k Z (公式一 ) 这一组结论我们称之为诱导公
8、式一，其作用在于将绝对值较大的角化小. 六、三角函数线 1.由任意角的三角函数的定义可知sin = r y ，cos = r x ，tan = x y ，它们是三角函数的一种代 数形式，由于角的三角函数值与点P(x，y)的位置无关，只与角的终边位置有关，因此， 可设法使点P(x，y)满足1 22 yx，使点P 的位置位于一个特殊点，此时sin =y， cos =x，使三角函数值变得更简单. 2.如图 1-2-6，设任意角的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点 P(x，y)，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为M，过点 A(1，0)作单位圆的切线，设它与角的终 边(位于第一、四
9、象限时 )或其反向延长线(当位于第二、三象限时)相交于点T(由于过切点 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的半径垂直于圆的切线，所以AT 平行于 y 轴). 图 1-2-6 则有向线段MP、OM、AT 分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线.它们是三角函数的 一种几何表示形式，当角的终边位于四个象限内时，三条有向线段中有两条在圆内，一条 在圆外，由于它们使代数表示形式中的分母都变为了1，所以形式更加简单、形象、直观. 特别地，当角的终边落在x 轴上时，正弦线、正切线变成一个点；当角的终边落在y轴上 时，余弦线变成一个点，正切线不存在. 3.用字母表示有向线段时，总是把起点的字母写在前面，终
10、点的字母写在后面，有向线段的 长度表示大小，符号表示方向.规定余弦线以原点为起点，正弦线和正切线均以此线段与坐 标轴的公共点为起点.同坐标轴的正方向一致的有向线段为正值，反之为负值.这样，可保证 有向线段的取值同点P 坐标的一致性. 学法一得三角函数线是当点P 为终边上的特殊点时的三角函数的表示形式.三角函数线的 方向和长短直观反映了三角函数值的符号和绝对值的大小,从三角函数线的方向看出三角函 数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值.由此可知，三角函数线的形成反映了由一般到 特殊的定义应用过程.三角函数在各象限的符号也可以根据画出的三角函数线的方向记忆.三 角函数线的主要作用是解三角不等式、求
11、函数定义域及比较大小，同时它也是学习三角函数 的图象与性质的基础. 典题 ?热题 知识点一求特殊角的三角函数值 例 1 求下列各角的三个三角函数值. (1)0；(2)； (3) 2 3 ； (4) 6 5 . 思路分析： 求特殊角的三角函数值的关键是确定该角与单位圆的交点坐标. 解： (1)因为当=0 时， x=1,y=0, 所以 sin0=y=0,cos0=x=1,tan0=0 1 0 x y . (2)因为 = 时， x=-1,y=0 ，所以 sin =y=0 ，cos =x=-1 ， tan =0 1 0 x y . (3)因为 = 2 3 时， x=0,y=-1, 所以 sin 2 3
12、 =y=-1,cos 2 3 =x=0,tan 2 3 不存在 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (4)如图 1-2-7，在直角坐标系中，作AOB= 6 5 , 图 1-2-7 过点B 作BC x 轴于点C，则 BOC= 6 ,易知 AOB的终边与单位圆的交点 B( 2 3 , 2 1 ). 所以 2 1 6 5 sin, 2 3 6 5 cos, 3 3 6 5 tan. 知识点二确定角终边上一点的坐标，求的各个三角函数值 例 2 已知角的终边在直线y=-3x 上，用三角函数的定义求的三个三角函数值. 思路分析： 可先利用方程在角终边上找到任意一点的坐标，再求解. 解： 设点 P
13、(a,-3a)(a 0)是角终边上一点， 则|10)3( 22 aaar. 当 a0 时， r=a10，此时 sin 10 103 10 3 a a ，cos = 10 10 10a a ，tan =3 3 a a ； 当 a0 时， r=a10，此时 sin = 10 103 ， cos = 10 10 ，tan =-3. 方法归纳由于任意角的三角函数值仅与角的大小有关，而与角的终边上点的坐标无关, 因此，若已知角的终边上任一异于原点的点的坐标，都可直接利用定义求值. 知识点三化简或证明三角恒等式 例 3 求证 : cos sin1 sincos1 sincos1 . 思路分析： 可利用任意
14、角的三角函数的意义，将角的三角函数用x、y、r(x2+y 2=r2)表示出来， 转化为证明关于x、y 或 x、y、r 的恒等式 . 证明： 设点 P(x,y)是角终边与单位圆的交点(x2+y 2=1)，由三角函数的定义可知 sin =y， cos =x. 因为左边 -右边 = x y yx yx1 1 1 )1 ( )1)(1 ()1( yxx yxyyxx 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 )1( 1 22 yxx yxyyyxxyxx )1 ( 1 22 yxx yx =0. 所以原式成立 . 方法归纳三角恒等式的证明，若未给出特别说明，则认为是在两边都有意义的情况下进行 的.证明
15、恒等式常见的方法有：比较法；从一边开始证明它等于另一边；证明左右两 边等于同一式子；先证明某一等式成立，再证明需要的式子成立等. 知识点四任意角的三角函数值的符号 例 4 若 sin2 0，且 cos 0，试确定角所在的象限. 思路分析： 先由 sin2 0，结合任意角的三角函数的定义确定2所在的象限， 再进一步确定 所在的象限 . 解： sin2 0， 2k 2 2k + ,kZ. k k + 2 ,k Z. 角位于一、三象限 . 又 cos 0，位于二、三象限或x 轴的负半轴上 . 综上可知，角是第三象限角. 例 5 已知角的终边经过点P(-x,-6)，且 cos = 13 5 ，求 ta
16、n的值 . 思路分析： 可先由任意角的三角函数的定义确定x 的值，再由该定义确定tan的值 . 解： P(-x,-6),36)6()( 222 xxr， 由 cos = 13 5 36 2 x x ,得 x= 13 30 . 又 cos = 13 5 0，位于二、三象限 . 又 -6 0,位于第三象限 . x= 13 30 .tan = 5 13 13 30 6 . 方法归纳根据任意角的不同三角函数值在各个象限的符号不同，可用来确定角所在的象 限，解决与角所在的象限有关的三角函数的求值问题. 知识点五终边相同的角的同一三角函数值相等 例 6 求值 :(1)sin(-1 740) cos1 47
17、0+cos(-660)sin750+tan405； (2)sin2 4 17 +tan 2(- 6 11 )tan 4 9 . 思路分析： 利用诱导公式一，将任意角的三角函数值转化成0到 360或 0 到 2内的三角 函数值，再求值. 解： (1)原式 =sin(60 -5360 ) cos(30 +4360 )+cos(60 -2 360 ) sin(30+2 360)+tan(45+360 ) =sin60 cos30 +cos60 sin30 +tan45 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 2 1 2 1 2 3 2 3 =2. (2)原式 =sin 2( 4 +4 )+ta
18、n 2( 6 -2 )tan( 4 +2 ) =sin 2 4 +tan 2 6 tan 4 = 6 5 1) 3 3 () 2 2 ( 22 . 方法归纳任意角的三角函数的定义是锐角的三角函数定义的推广，它的函数值是一个与实 数相对应的比值.该实数值的大小与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关 .利用该定 义，可用来确定函数的定义域、各三角函数值在不同象限的符号、化简任意角的三角函数值 等，熟练掌握该定义是学好其他问题的关键. 知识点六三角函数线 例 7 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1) 6 ；(2) 3 2 ； (3) 6 5 ；(4) 4 9 . 思路分析： 作角的三
19、角函数线的关键是画出单位圆和角的终边. 解： 图 1-2-8 各个圆中的有向线段MP、 OM 、AT 分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线. 例 8 在单位圆中作出适合下列条件的角的终边. (1)sin = 3 1 ；(2)cos = 4 3 ；(3)tan =1. 思路分析： 由三角函数线的定义,可知对于正弦函数sin = 3 1 ，余弦函数cos = 4 3 ，只需分 别作直线y= 3 1 ，x= 4 3 ，它们与单位圆的交点同原点O 的连线即为角的终边；对于正切 函数 tan =1，只需在过点A(1，0)的圆的切线上截取AT=1 ，连结 OT 与单位圆相交于两点， 积一时之跬步臻千里之
20、遥程 马鸣风萧萧整理 该直线即为所求. 解： (1) (2) (3) 图 1-2-9 图 1-2-9中的 OP、 OQ 即为所求角的终边 . 例 9 求函数 x xx xf cos )9lg(sin )( 2 的定义域 . 思路分析： 由于题目只给出了解析式y=f(x) ，而没有指明它的定义域，所以它的定义域应是 使这个式子有意义的实数的集合.解三角不等式时，可借助于单位圆中的三角函数线求解. 解： 要使xsin有意义，必须满足sinx0；要使 lg(9-x2)有意义，必须满足9-x2 0；要使分 母xcos有意义，需满足cosx0.所以要使函数f(x)有意义，则 2 2 2 2 , 33 ,
21、22 0cos 09 0sin 2 kxk x kxk x x x (kZ) 33 , 2 22 x kxk (kZ)0 x 2 ， 即函数 f(x)的定义域是x 0， 2 . 方法归纳三角函数线是三角函数的一种几何表示形式.若已知角的大小， 则它的三角函数 的大小可用它的三角函数线表示出来；反过来，若已知角的三角函数值的大小，则可找到 角的终边.利用三角函数线可以解简单的三角不等式、求定义域、比较函数值的大小，同时 它也是学习三角函数的图象与性质的基础. 问题 ?探究 交流讨论探究 问题若角是锐角，则、sin、 tan的大小关系是怎样的？ 探究过程： 学生甲： 三角函数线是单位圆中的有向线段
22、，利用它们可以比较三角函数值的大 小，利用这种方法可以比较sin和tan的大小关系，如图 1-2-10(1)，角的正弦线 MP 和正切 线 AT 的方向均与y 轴的正向相同，则AT 的长度大于MP 的长度，则应有sin tan . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1) 学生乙：只利用三角函数线不能比较和sin的大小关系，但我可以构造一个三角形和一个 扇形，利用它们的面积来比较、sin的大小，如图 1-2-10(2)，扇形 OAP 的面积大于 OAP 的面积，且S OAP= 2 1 OA MP= 2 1 MP= 2 1 sin， S扇形 OAP= 2 1 OA = 2 1 .所以应有
23、 2 1 sin 2 1 ，即sin.再结合同学甲的结论，则应有sin tan . (2) 学生丙：受同学乙的启发，我可以比较和tan的大小，如图 1-2-10(3)，在图中，扇形OAP 的面积小于Rt OAT 的面积，且 S扇形 OAP= 2 1 OA= 2 1 ,SOAT= 2 1 OA AT= 2 1 AT= 2 1 tan ,则有 2 1 2 1 tan ,即 tan . (3)图 1-2-10 探究结论： 若角是锐角，则、sin、 tan的大小关系是 sin tan . 思想方法探究 问题 1单位圆与三角函数线是三角函数值的直观表示，它在证明三角函数问题中有什么作 用？ 探究过程：
24、利用单位圆和三角函数线可以将问题中各量用它的几何形式直观表示出来，然后 再通过图形分析即可解决问题.如三角中常见的不等式tan sin (0 2 )， 就可以利用 单位圆与三角函数线非常方便地证明. 探究结论： 利用三角函数线，数形结合，使问题得以简化.这个不等式既不是单纯的三角不 等式，又不是单纯的代数不等式，而是“混合型”的不等式，证明的方法使用了面积关系， 证题的基础是弧度制与三角函数线.由此，三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的 重要工具 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 问题 2 三角函数的化简与证明是三角部分的重要问题，那么三角函数的化简与证明有哪些 常用方法？应
25、当注意些什么问题？ 探究过程： 三角函数式的化简实际上是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基 本的数学解题原则.它不仅要求学生熟悉和灵活运用所学的三角公式，还需要熟悉和灵活运 用这些公式的等价形式.同时，这类问题还具有较强的综合性，对其他非三角知识的运用也 具有较高的要求，因此在学习时要注意进行及时的总结. 化简三角函数时， 在题设的要求下， 首先应合理利用有关公式，还要明确化简的基本要求： 尽量减少角的种数，尽量减少三角函数的种数，尽量化同角、化同名角等.其他思想还有： 异次化同次、高次化低次、化弦或化切、化和差为乘积、化乘积为和差、特殊角三角函数与 特殊值互化等 . 化简一定要尽
26、量化为最简形式.例如440sin1 2 最后被化简为cos80，如果只化到 cos440 ，则不能认为这是最后结果；另外由于80不是特殊角，一般无需求出其余弦值. 探究结论： 证明恒等式的过程就是通过转化和消去等式两边差异来促成统一的过程，证明的 方法在形式上显得较为灵活，常用的有以下几种： (1)从不等式的一边开始证得它的另一边，一般从比较复杂的一边开始化简到另一边，其依 据是相等关系的传递性； (2)综合法，由一个已知成立的等式(如公式等 )恒等变形得到所要证明的等式，其依据是等价 转化的思想，即“a=b 等价于 c=d，所以 a=b 成立的充要条件是c=d 成立” ； (3)中间法，证明
27、等式左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等， 即“ a=c,b=c，则 a=b” ，它可由关系的传递性及对称性推出； (4)分析法 例如：求证 cos sin1 sin1 cos . 证明： 要使原等式成立，只需cos cos =(1+sin )(1-sin )成立， 即 cos 2 =1-sin2，由基本公式知上式显然成立，所以原等式成立 . 以上推理过程可简写成为下列格式： 原式成立cos cos =(1+sin )(1-sin )cos 2 =1-sin2，由于上式显然成立，所以原等 式成立 . 在运用分析法时，推理过程必须写正确，如“只需”的词语或者“”的符号是不能 省略的， 如果写成下面的形式，则是错误的： cos sin1 sin1 cos ,cos cos =(1+sin )(1-sin )， cos 2 =1-sin2 ,sin2 +cos2 =1，所以成立 .