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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2 任意角的三角函数 知识梳理 一、任意角的三角函数 1.定义：设是一个任意角，的终边上任意一点P 的坐标是(x,y)，它与原点的距离是 r(r= 22 yx0)，那么 sin = r y ,cos = r x ,tan = x y . 2.在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.单位圆上点的坐标 定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数. 如图 1-2-1，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么 图 1-2-1 （1）y 叫做的正弦，记作sin，即sin =y; （2）x 叫做的余弦，记作cos，即co
2、s=x； （3） x y 叫做的正切，记做tan，即tan = x y (x 0). 3.三角函数的定义：正弦、余弦、正切等以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值 为函数值的函数，统称三角函数. 二、三角函数的定义域、值域 函数定义域值域 y=sinR-1,1 y=cosR-1,1 y=tan | 2 +k ,k Z R 三、三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知： （1）正弦值 r y 对于第一、二象限为正（y0,r 0） ，对于第三、四象限为负（y0,r0） ； （2）余弦值 r x 对于第一、四象限为正（x0,r0） ，对于第二、三象限为负（x0,r
3、0） ； （3）正切值 x y 对于第一、三象限为正（x,y同号） ，对于第二、四象限为负（x,y异号） . 四、诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同. 即有 sin( +2k )=sin， cos( +2k )=cos， tan( +2k )=tan，其中 kZ. 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题. 五、正弦线、余弦线、正切线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定：与坐标 轴轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负. 2.三角函数线的定义： 在
4、单位圆中，设任意角的顶点在原点O，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于 点 P（ x,y）,过点 P作 x 轴的垂线，垂足为M；过点 A（1，0）作单位圆的切线，它与角的 终边或其反向延长线交于点T. 图 1-2-2 由图 1-2-2看出： 当角的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y, 于是有sin =MP, cos =OM,tan =AT. 我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线. 六、同角的三角函数的基本关系 1.平方关系： sin2 +cos 2 =1. 2.商数关系： cos sin =tan . 知识导学 要学好本节内容，可从复习初中学过:锐角
5、三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数 值的函数入手.把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值 的求法 ,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的 定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数. 由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知 一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利 用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.总结方法 ,通过做练习 ,巩固所学知识. 疑难突破 1.求任意角的三角函数值时应注意的几点. 剖析：
6、 (1)以后在平面直角坐标系内研究角的问题的，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负 半轴重合 . (2)是任意角，射线 OP 是角的终边，的各三角函数值与绕 x 轴转了几圈，按什么方向旋 转到 OP 的位置无关 . (3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积，其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础建立于相似（直角）三角形的性质， “r”同为正值 .所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐 标与距离、坐标与坐标、距离
7、与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上， 由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程. (5)为了便于记忆，可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标 系的第一象限， 使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉 的锐角三角函数类比记忆. 2.三角函数线的几点说明. 剖析： （1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余 弦线在 x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单 位圆内，一条在单位圆外. （2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向 垂足；正切线由切点指向与的终边的交点. （3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或 y 轴同向的为正值，与x 轴或 y 轴反 向的为负值 . （4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面.