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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一课时三角函数的诱导公式 (一) 提出问题 问题1：锐角的终边与角的终边位置关系如何？它们与单位圆的交点的位置关系如 何？任意角与呢？ 提示： 无论是锐角还是任意角，与的终边互为反向延长线，它们与单位圆的交点关 于原点对称 问题2：任意角与的终边有怎样的位置关系？它们与单位圆的交点有怎样的位置关 系？试用三角函数的定义验证与的三角函数值的关系 提示：与的终边关于x轴对称，它们与单位圆的交点P1与P2关于x轴对称，设P1的 坐标为 (x，y)，则P2的坐标为 (x，y)sin()y sin ，cos()xcos ，tan() y x tan . 问题
2、3：任意角与的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试 用三角函数定义验证与的各三角函数值的关系 提示： 与的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是的终边与单位圆的交点，则 与单位圆的交点为P(x，y)，P1，P关于y轴对称，由三角函数定义知，sin()ysin ，cos()x cos ，tan() y x tan . 导入新知 1诱导公式二 (1)角与角的终边关于原点对称 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如图所示 (2)公式： sin() sin_. cos() cos_. tan() tan_. 2诱导公式三 (1)角与角的终边关于x轴对称 如图所示 (2)
3、公式： sin() sin_. cos()cos_. tan() tan_. 3诱导公式四 (1)角与角的终边关于y轴对称 如图所示 (2)公式： sin()sin_. cos() cos_. tan() tan_. 化解疑难 对诱导公式一四的理解 (1)公式两边的三角函数名称应一致 (2)符号由将看成锐角时所在象限的三角函数值的符号决定但应注意，将看成锐角只 是为了公式记忆的方便，事实上可以是任意角. 给角求值问题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 例 1 求下列三角函数值： (1)sin(1 200 )；(2)tan 945； (3)cos 119 6 . 解 (1)sin(1 2
4、00 ) sin 1 200 sin(3360 120 ) sin 120 sin(180 60) sin 60 3 2 ； (2)tan 945 tan(2360 225)tan 225 tan(180 45)tan 45 1； (3)cos 119 6 cos 20 6 cos 6 cos 6 3 2 . 类题通法 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 活学活用 求 sin 585cos 1 290 cos(30)sin 210 tan 135的值 答案： tan 化简求值问题 例 2 化简： (1) costan7 sin _； (2) sin1 440 cos1 080 cos180si
5、n180 _. 答案 (1)1 (2)1 类题通法 利用诱导公式一四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切 (正切 )与弦 (正弦、余弦 )的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切 活学活用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 化简： tan2sin2cos6 cos sin5 . 答案： tan 给值 (或式 )求值问题 例 3 (1)已知 sin 1 3，cos( ) 1，则 sin(2)的值为 ( ) A1 B 1 C. 1 3 D 1 3 (2)已知 cos(
6、55 ) 1 3，且 为第四象限角，求sin(125)的值 解 (1)D (2)cos(55) 1 3 0， 则f 11 6 f 11 6 的值为 _ 答案： 2 三、解答题 9化简： 12sin 280 cos 440 sin 260 cos 800 . 解：原式 1 2sin360 80cos360 80 sin180 80cos720 80 12sin 80 cos 80 sin 80 cos 80 sin 280 cos280 2sin 80 cos 80 sin 80 cos 80 sin 80 cos 80 2 sin 80 cos 80 |cos 80 sin 80| cos 8
7、0 sin 80 sin 80 cos 80 cos 80 sin 80 1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 10已知 cos(75 ) 1 3，且 为第四象限角，求sin(105)的值 解： cos(75) 1 30，且 为第四象限角， 75是第三象限角 sin( 75)1cos 2 75 1 1 3 2 22 3 . sin(105)sin180 (75) sin(75) 22 3 . 11已知 1tan720 1tan360 322， 求cos2()sin()cos()2sin2( ) 1 cos 2 2 的值 解：由 1tan720 1tan360 322， 得(422)tan 222， 所以 tan 222 422 2 2 ， 故cos2()sin()cos()2sin2( ) 1 cos 2 2 (cos2sin cos 2sin2) 1 cos 2 1tan 2tan2 1 2 2 2 2 2 22 2 2 .