《高中数学第一章坐标系1.3曲线的极坐标方程学案新人教B版选修8.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章坐标系1.3曲线的极坐标方程学案新人教B版选修8.pdf（9页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.3 曲线的极坐标方程 对应学生用书P8 读教材填要点 1曲线的极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(，)0.如果曲线C是由极坐标 (， )满足方程的所有的点组成的，则称此二元方程F(，)0 为曲线C的极坐标方程 2直线的极坐标方程 (1)当直线l过极点，从极轴到l的角是 0，则 l的方程为 0. (2)当直线l过点M(d,0)且垂直于极轴时，l的方程为cos d. (3)当直线l过点M(d， 2)，且平行于极轴时， l的方程为sin_d. (4)极点到直线l的距离为d，极轴到过极点的直线l的垂线的角度为，此时直线l的方 程为c
2、os_()d. 小问题大思维 1在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程那么，在极坐标系中， 曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？ 提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内， 曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程例如，给定曲线，设点P的一极坐标为 4， 4 ，那么点P适合方程，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标 4， 9 4 就 不适合方程了所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，只需判断 点P的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C的方程即可 2在直线的极坐标方程中，的取值范围是什么？ 提示：的取值范围是全体实数 对应学生用书P
3、8 极坐标方程与直角坐标方程的互化 例 1 进行直角坐标方程与极坐标方程的互化： (1)y 24x；(2)y2 x22x10； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)cos 2 21； (4) 2cos 2 4；(5) 1 2cos . 思路点拨 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式 精解详析 (1)将xcos ，ysin 代入y2 4x， 得(sin )24cos . 化简，得sin 2 4cos . (2)将xcos ，ysin 代入y2x22x10， 得(sin )2(cos )22cos 10. 化简，得 22 cos 10. (3)cos2 21， 1cos 2 1， 即co
4、s 2 x2y 2 x2. 化简，得y2 4(x1) (4) 2cos 2 4， 2cos2 2sin2 4， 即x2y24. (5) 1 2cos ， 2cos 1. 2x2y2x1. 化简，得 3x24y22x10. 直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式xcos 及ysin 直接代入 并化简即可； 而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构 造形如cos ，sin ， 2 的形式，进行整体代换其中方程的两边同乘以(或同除以 )及方 程两边平方是常用的变形方法但对方程进行变形时，方程必须同解， 因此应注意对变形过 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
5、 程的检验 1求极坐标方程cos 6 1所表示的直角坐标方程 解：将cos 6 1 化为 3 2 cos 1 2 sin 1. 将cos x，sin y代入上式，得 3 2 x y 21， 即3xy 20. 求曲线的极坐标方程 例 2 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C 的极坐标方程为cos 3 1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点 (1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程 思路点拨 (1)利用两角差余弦公式展开，结合互化公式可得直角坐标方程 (2)先求出P点的直角坐标，再求出OP的极坐标方程 精解详析
6、(1)由cos 3 1 得1 2cos 3 2 sin 1. 从而C的直角坐标方程为 1 2x 3 2 y1， 即x3y2. 当0 时，2，所以M(2,0) 当 2时， 23 3 ，所以N 23 3 ， 2 . (2)M点的直角坐标为(2,0)， N点的直角坐标为0， 23 3 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以P点的直角坐标为1， 3 3 . 则P点的极坐标为 23 3 ， 6 ，所以直线OP的极坐标方程为 6( R) 2设M是定圆O内一定点，任作半径OA，连接MA，自M作MPMA交OA于P， 求P点的轨迹方程 解：以O为极点，射线OM为极轴，建立极坐标系，如图 设定圆O的半
7、径为r，OMa，P(，)是轨迹上任意一点 MPMA， |MA| 2| MP| 2| PA| 2. 由余弦定理，可知|MA| 2 a 2 r 22ar cos ， |MP| 2a2 22a cos .而|PA| r， 由此可得a 2 r22arcos a2 22a cos (r)2. 整理化简，得 aarcos acos r . 求直线的极坐标方程 例 3 求出下列直线的极坐标方程： (1)过定点M(0，0)，且与极轴成弧度的角； (2)过定点M( 0，0)，且与直线 0垂直 思路点拨 本题考查直线的极坐标方程的求法解答本题需要根据已知条件画出极坐 标系，然后借助平面几何的知识建立与间的关系 精
8、解详析 (1)设P(，)为直线上任意一点(如图 )，且记OPM 1，OMP 2， 则 1， 2 ( 0) 在OMP中应用正弦定理得 sin 2 0 sin 1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 0 sin 2 sin 1 0 sin 0 sin . 即直线方程为sin()0sin( 0) (2)设P(，)为直线上任意一点(如图所示 )，OMP为直角三角形， 显然有cos (0)0.这就是所求直线方程 求直线极坐标方程的步骤： (1)设(，)为直线上任一点的极坐标 (2)写出动点满足的几何条件 (3)把上述条件转化为，的等式 (4)化简整理 3求过A3， 3 且和极轴所成角为 3
9、4 的直线方程 解：如图所示，A 3， 3 ， 即|OA| 3，AOB 3. 设M(，)为直线上任一点， 由已知得MBx 3 4 ， OAB 3 4 3 5 12. OAM 5 12 7 12. OMAMBx 3 4 .在MOA中，根据正弦定理，得 3 sin 3 4 sin 7 12 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 sin 7 12 sin 4 3 26 4 ， 将 sin 3 4 展开，化简上面的方程， 可得(sin cos ) 33 2 3 2. 过A3， 3 且和极轴所成角为 3 4 的直线方程为 (sin cos ) 33 2 3 2. 对应学生用书P10 一、选择题
10、1极坐标方程cos 2 2 ( 0)表示的曲线是 ( ) A余弦曲线B两条相交直线 C一条射线D两条射线 解析：选 D cos 2 2 ， 42k (kZ) 又 0， cos 2 2 表示两条射线 2在极坐标系中与曲线C：4sin 相切的一条直线的方程为( ) Acos 2 Bsin 2 C4sin 3 D 4sin 3 解析：选 A 4sin 的普通方程为x2(y2)24，cos 2 的普通方程为x2，圆 x2(y2)24 与直线x2 显然相切 3直线和直线sin()1 的位置关系是( ) A垂直B平行 C相交但不垂直D重合 解析：选 B 直线化为直角坐标方程为yxtan ，sin()1 化
11、为sin cos 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 cos sin 1，即yxtan 1 cos .所以两直线平行 4过点A(5,0)和直线 4 垂直的直线的极坐标方程是( ) Asin 4 5 Bcos 4 52 2 Csin 4 52 2 Dsin 4 52 2 解析：选 C 直线 4即直线 yx，过点A(5,0)和直线 4垂直的直线方程为 yx 5，其极坐标方程为sin 4 52 2 . 二、填空题 5在极坐标系中，直线l的方程为sin 3，则点2， 6 到直线l的距离为 _ 解析：将直线l的极坐标方程sin 3 化为直角坐标方程为y3，点 2， 6 在直角坐标 系中为 (3，1
12、)，故点2， 6 到直线l的距离为 2. 答案： 2 6在极坐标系中，圆4 被直线 4分成两部分的面积之比是 _ 解析：直线 4过圆 4的圆心，直线把圆分成两部分的面积之比是11. 答案： 11 7在极坐标系(，)(02 )中，曲线2sin 与cos 1 的交点的极坐标为 _ 解析：由2sin ，得 22 sin ， 其普通方程为x2y22y. cos 1 的普通方程为x 1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 联立 x 2 y 2 2y， x 1， 解得 x 1， y1， 点(1,1)的极坐标为2， 3 4 . 答案：2， 3 4 8在极坐标系中，定点A(1， 2)，点 B在直线l：
13、cos sin 0 上运动当线段AB 最短时，点B的极坐标是 _ 解析：将cos sin 0 化为直角坐标方程为xy0， 点A1， 2 化 为直角坐标得A(0,1)如图，过A作AB直线l于B.因为AOB为等腰直 角三角形，又因为|OA| 1， 则|OB| 2 2 ， 3 4 ，故B点的极坐标是B 2 2 ， 3 4 . 答案： 2 2 ， 3 4 三、解答题 9求过 (2,3)点且斜率为2 的直线的极坐标方程 解：由题意知，直线的直角坐标方程为y32(x2)， 即 2xy7 0. 设M(，)为直线上任意一点， 将xcos ，ysin 代入直角坐标方程 2xy70，得 2cos sin 70.
14、这就是所求的极坐标方程 10在极坐标系中，曲线C：10cos 和直线l：3cos 4sin 300 相交于A， B两点，求线段|AB| 的长 解：分别将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程： 圆C：x2y210x，即 (x5)2y225，圆心C(5,0) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 直线l： 3x4y300. 因为圆心C到直线l的距离d |15 030| 5 3， 所以 |AB| 225d2 8. 11如图，点A在直线x4 上移动，OPA为等腰直角三角形， OPA的顶角为OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨 迹方程，并判断轨迹形状 解：取O为极点，x正半轴为极轴， 建立极坐标系， 则直线x4的极坐标方程为cos 4. 设A(0，0)，P(，) 点A在直线cos 4 上， 0cos 04. OPA为等腰直角三角形，且OPA 2， 而|OP| ，|OA| 0，以及POA 4， 0 2，且 0 4 . 把代入，得点P的轨迹的极坐标方程为 2cos 4 4. 由2cos 4 4 得(cos sin )4. 点P轨迹的普通方程为xy4，是过点 (4,0)且倾斜角为 3 4 的直线