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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.7 定积分的简单应用 定积分在几何中的应用 如右图，由直线xa，xb，曲线yf(x)和x轴围成的曲边梯形面积 为 S1.由直线xa，xb，曲线y g(x)和x轴围成的曲边梯形的面积为S2. 问题 1：如何求S1? 提示： S1 a bf(x) dx. 问题 2：如何求S2? 提示： S2 a bg(x)dx. 问题 3：如何求阴影部分的面积S? 提示： SS1S2. 平面图形的面积 由两条曲线yf(x)，yg(x)和直线xa，xb(ba)所围图形的面积 (1)如图所示，f(x)g(x)0，所以所求面积 S a bdx. (2)如图所示，f(x)0
2、，g(x)0， 若曲线yx与直线xa，y 0 所围成封闭图形的面积为a 2， 则 a_. 解析：由已知得S 0 a xdx 2 3 x 3 2 a 0 2 3a 3 2 a 2，所以 a 1 2 2 3，所以 a 4 9. 答案： 4 9 5一物体在变力F(x) 36 x2(x 的单位： m，F的单位： N) 的作用下沿坐标平面内x轴的正 方向由x8 处运动到x18 处，求力F(x)在这一过程中所做的功 解：由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在上的定积分，从而 W 8 18F(x)dx 36x 1 18 8 (36181)( 3681) (2) 9 2 5 2(J) 从而可得力F
3、(x)在这一过程中所做的功为 5 2 J. 一、选择题 1用 S表示下图中阴影部分的面积，则S的值是 ( ) A. a cf(x)dx B. a cf xdx 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C. a bf(x)dx b cf(x)dx D. b cf(x)dx a bf(x)dx 解析：选D 由图可知，x轴上方阴影部分的面积为 b cf xdx， x轴下方阴影部分的 面积为 a bf(x)dx，故 D 正确 2曲线yx3与直线yx所围图形的面积等于( ) A. 1 1 (xx3)dx B. 1 1 (x3x)dx C2 0 1(x x3)dx D 2 1 0 (xx3)dx 解析：
4、选 C 由 yx， yx3， 求得直线yx与曲线yx3的交点分别为(1， 1)， (1,1)， (0,0)，由于两函数都是奇函数，根据对称性得S2 0 1(x x3)dx. 3由直线x 3， x 3， y 0与曲线ycos x所围成的封闭图形的面积为( ) A. 1 2 B1 C. 3 2 D.3 解析：选 D 结合函数图象可得所求的面积是定积分 3 3cos xdxsin x 3 3 3. 4一质点运动的速度与时间的关系为v(t)t2t2，质点做直线运动，则它在时间内 的位移为 ( ) A. 17 6 B. 14 3 C. 13 6 D. 11 6 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
5、解析：选 A 质点在时间内的位移为 1 2(t2t2)dt 1 3t 31 2t 22t2 1 17 6 . 5由抛物线yx2x，直线x 1 及x轴围成的图形的面积为( ) A. 2 3 B1 C. 4 3 D. 5 3 解析：选 B S 01(x2x)dx 0 1(x x2)dx 1 3x 3 1 2x 20 1 1 2x 2 1 3x 31 01. 二、填空题 6曲线ysin x(0x )与直线y 1 2围成的封闭图形的面积为 _ 解析：由于曲线y sin x(0x )与直线y 1 2的交点的横坐标分别为 x 6及 x 5 6 ，因 此所求图形的面积为 5 6 6sin x 1 2dx c
6、os x 1 2x 5 6 6 3 3. 答案：3 3 7物体A以速度v3t2 1(t的单位： s；v的单位： m/s)在一直线上运动，在此直线上， 物体A出发的同时， 物体B在物体A的正前方5 m 处以v10t的速度与A同向运动， 则两 物体相遇时物体A运动的距离为_m. 解析：设ta时两物体相遇，依题意有 0 a(3t21)dt 0 a10tdt(t3 t)a 05t 2a 05，即 a 3 a5a 2 5，(a 5)(a21)0，解得a5， 所以 0 5(3t21)d t5 35130. 答案： 130 8有一横截面面积为4 cm2的水管控制往外流水，打开水管后ts 末的流速为v(t)6
7、t t 2(单位： cm/s)(0 t6)，则t0 到t6 这段时间内流出的水量为_ 解析：由题意可得t0 到t6 这段时间内流出的水量 V 0 64 (6tt2)dt 4 0 6(6t t2)dt 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4 3t2 1 3t 3 6 0144(cm 3) 故t0 到t6 这段时间内流出的水量为144 cm 3. 答案： 144 cm 3 三、解答题 9求由曲线yx2和直线yx及y2x所围图形的面积S. 解：由 yx2， yx 得A(1,1)， 由 yx2， y2x 得B(2,4) 如图所示， 所求面积 (即图中阴影部分的面积)为S 0 1(2x x)dx
8、1 2 2xx2)dx 0 1xdx 1 2 2x x2)dx 1 2x 21 0 x2 1 3x 32 1 7 6. 10有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)8t 2t2(速度的正方向与x轴正 方向一致 ) (1)点P从原点出发，当t6 时，求点P离开原点的路程和位移； (2)求点P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值 解： (1)由v(t)8t2t2 0，得 0t4， 即当 0t4 时，P点向x轴正方向运动； 当t4 时，P点向x轴负方向运动 故t6 时，点P离开原点的路程为 s1 0 4(8t2t2)dt 4 6(8t2t2)dt 4t2 2 3 t3 4 0 4t 2 2 3 t 36 4 128 3 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当t6 时，点P的位移为 0 6(8t2t2)dt 4t2 2 3 t 36 00. (2)依题意 0 t (8t2t2)dt0， 即 4t2 2 3t 30，解得 t 0或t6， 而t0 对应于P点刚开始从原点出发的情况， t6 是所求的值