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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 21 圆周角定理 对应学生用书P12 自主学习 1圆周角定理 (1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它 所对的弧的度数的一半 (2)符号语言： 在O中，?BC 所对的圆周角和圆心角分别是BAC， BOC， 则有BAC 1 2 BOC 1 2 ? BC . (3)图形语言：如图所示 2圆周角定理的推论 (1)推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等 (2)推论 2 半圆 (或直径 )所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弧是半圆 合作探究 1圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是
2、同一段弧吗？ 提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系 2推论 1 中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？ 提示：不成立因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的 对应学生用书P13 利用圆周角定理解决计算问题 例 1 已知ABC内接于圆O，OBC35，求A. 思路点拨 本题主要考查圆周角定理顶点A的位置不确定，所以点A和圆心O可 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 能在BC的同侧，也可能在BC的异侧 精解详析 (1)当点A和圆心O在BC的同侧时，如图所示 OBOC，OBCOCB. OBC35， BOC180 2OBC110. BAC 1 2 BOC55
3、. (2)当点A和圆心O在BC的异侧时，如图所示 设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点，连接PB，PC. OBOC，OBCOCB. OBC35， BOC180 2OBC110. BPC 1 2 BOC55. BAC180BPC180 55 125 . 综上所得，A的度数是 55或 125. 使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件 1如图，ABC内接于O，ODBC于D，A50，则OCD的度数是 ( ) A 40B25 C50D60 解析：选 A 连接OB.因为A50， 所以BC弦所对的圆心角BOC 100， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 COD 1 2 B
4、OC 50，OCD90COD90 50 40.所以OCD 40 . 例 2 如图，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于D，BC4 cm. (1)试判断OD与AC的关系； (2)求OD的长； (3)若 2sinA10，求O的直径 思路点拨 本题主要考查圆周角定理推论2 的应用解题时，可判断ACB90.利 用ODBC可得ODAC.用相似可得OD的长，由边角关系可求O的直径 精解详析 (1)AB为O的直径， ACB90.ODBC， ADOACB90，ODAC. (2)AODABC， OD BC AO AB 1 2 ，OD 1 2BC 1 242(cm) (3)2sin A10， sin
5、A 1 2. sin A BC AB， BC AB 1 2， AB2BC2 48(cm) “半圆 (直径 )所对的圆周角是直角，和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛，解 题时注意直角三角形中有关定理的应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 本例的条件变为： “弦AC4，BC3，CDAB于D” ，求CD. 解：由勾股定理知AB5， SACB 1 2 ACBC 1 2ABCD ， 345CD，CD 12 5 . 利用圆周角定理解决证明问题 例 3 如图，BC为圆O的直径，ADBC， ? AF ? AB ，BF和AD相交于E，求证： AEBE. 思路点拨 本题主要考查利用圆周角定理证明问
6、题解题时只需在ABE中证明 ABEEAB.而要证这两个角相等，只需借助ACB即可 精解详析 BC是O的直径， BAC为直角， 又ADBC， RtBDARtBAC. BADBCA. ? AB ? AF ，FBAACB. BADFBA. ABE为等腰三角形 AEBE. 有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化即欲证圆周角相等，可转化 为证明它们所对的弧相等要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等这是证明圆中 线段相等的常用方法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2如图，AB是O的直径，C为圆周上一点，ABC30，O过点B的切线与 CO的延长线交于点D. 求证： (1)CABBO
7、D. (2)ABCODB. 证明： (1)因为AB是O的直径， 所以ACB90，由ABC30， 所以CAB60 . 又OBOC，所以OCBOBC30， 所以BOD60， 所以CABBOD. (2)在 RtABC中，ABC30，得AC 1 2AB， 又OB 1 2AB，所以 ACOB. 由BD切O于点B，得OBD90. 在ABC和ODB中， CABBOD， ACBOBD， ACOB， 所以ABCODB. 本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题，难度中档 考题印证 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点 C，使
8、BDDC，连接AC，AE，DE. 求证：EC. 命题立意 本题主要考查圆周角定理的推论及平行线的性质 自主尝试 连接OD，因为BDDC，O为AB的中点， 所以ODAC， 于是ODBC. 因为OBOD，所以ODBB.于是BC. 因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异 侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB. 所以EC. 对应学生用书P14 一、选择题 1.如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，BCD25，则下列结 论错误的是 ( ) AAEBEBOEDE CAOD50DD是 ? AB 的中点 解析：选 B 因为CD是O的直径，弦ABCD， 所以 ? AD ? BD ，
9、AEBE， 因为BCD 25， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以AOD2BCD50， 故 A，C，D 正确， B 不能得证 2如图所示，AB是O的直径，C是 ? AB 上的一点，且AC 8，BC 6，则O的半径r等于 ( ) A 5 2 B5 C10 D不确定 解析：选 B 由已知得ACB90， ABAC2BC210， 即 2r10，r5. 3.如图，直径为10 的C经过点A(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧C 弧上一点，则cosABO的值为 ( ) A 1 2 B 3 2 C 3 5 D 4 5 解析：选 B 法一：设C与x轴另一个交点为D， 连接AD，如图所示： 因为A
10、OD90， 所以AD为C的直径， 又因为ABO与ADO为圆弧AO所对的圆周角， 所以ABOADO， 又因为A(0,5)，所以OA5， 在 RtADO中，AD10，AO5， 根据勾股定理得： ODAD 2OA25 3. 所以 cosABOcosADO OD AD 53 10 3 2 ，故选 B. 法二：连接CO，因为OA5，ACCO5， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以ACO为等边三角形， ACO60， ABO 1 2 ACO30， 所以 cosABOcos 30 3 2 . 4已知P，Q，R都在弦AB的同侧， 且点P在 ? AB 上，点Q在 ? AB 所 在的圆内，点R在 ? A
11、B 所在的圆外 (如图 )，则 ( ) AAQBACB，ADBARB. 因为ACBAPBADB， 所以AQBAPB ARB. 二、填空题 5.如图，点A，B，C在O上，AOC 60，则ABC的度数 是 解析：因为AOC60，所以弧ABC的度数为 60， AC对的优弧的度数为 360 60 300， 所以ABC150. 答案： 150 6.如图， 在ABC中，AB为O的直径，B60， BOD100， 则C的度数为 解析：因为BOD100， 所以A 1 2 BOD50. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因为B60， 所以C180AB70. 答案： 70 7.如图，ABC为O的内接三角形，
12、AB为O的直径，点D在 O上，ADC68，则BAC. 解析： 因为AB是圆O的直径， 所以弧ACB的度数为180，它所对 的圆周角为90，所以BAC90ABC90ADC90 68 22. 答案： 22 8.如图， 在半径为2 cm 的O内有长为 23 cm 的弦AB，则此弦所对的 圆心角AOB为 解析：作OCAB于C，则BC3， 在 RtBOC中， OCOB2BC 2 223 2 1(cm)， OC OB 1 2 ， sinB 1 2， B30， BOC60，AOB 120. 答案： 120 三、解答题 9.如图，在O中，弦AB 16，点C在O上，且 sin C 4 5.求 O 的半径长 解：
13、作直径AD，连接BD， 则ABD90， DC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因为 sin C 4 5，所以 sin D 4 5. 在 RtABD中， sin D AB AD 4 5， 又因为AB16， 所以AD16 5 420， 所以OA 1 2AD10， 即O的半径长为10. 10如图，已知在O中，直径AB为 10 cm，弦AC为 6 cm， ACB的平分线交O于D，求BC，AD和BD的长 解：因为AB为直径， 所以ACBADB90. 在 RtABC中， BCAB2AC210 2628(cm) 因为CD平分ACB， 所以 ? AD ? DB ， 所以ADB为等腰三角形 所以ADBD 2 2 AB 2 2 1052(cm) 11.如图，AB是O的直径，弦CDAB于点N，点M在O上， 1C. (1)求证：CBMD. (2)若BC4， sin M 2 3，求 O的直径 解： (1)证明：因为C与M是同一弧所对的圆周角， 所以CM.又 1C， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 1M， 所以CBMD(内错角相等，两直线平行) (2)由 sin M 2 3知， sin C 2 3， 所以 BN BC 2 3， BN 2 34 8 3. 由射影定理得：BC 2 BNAB，则AB6. 所以O的直径为6.