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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第三课时直角三角形的射影定理 对应学生用书P9 自主学习 射影定理 射影定理 文字语言 直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边 上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项 符号语言 在 RtABC中ACCB，CDAB于D，则AC 2AD AB，BC2BDBA， CD 2 BDAD. 图形语言 如图所示 合作探究 在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？ 提示：在RtABC中，C90，CD是AB边上的高应用射影定理可以得到AC2 BC2ADABBDAB(ADBD)ABAB2.可见利用射影定理证明勾股定理比用面 积割补的方法
2、证明更简洁 对应学生用书P9 利用射影定理解决计算问题 例 1 如图，D为ABC中BC边上的一点， CADB，若AD 6，AB10，BD8，求CD的长 思路点拨 本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关 线段长问题解此题时要先判断ABC为直角三角形，进一步由射影定理求CD. 精解详析 在ABD中，AD6，AB10，BD8，满足AB2AD 2 BD2， ADB90，即ADBC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又CADB，且CCAD90， CB90，BAC90， 在 RtABC中，ADBC. 由射影定理可知，AD 2BD CD， 6 2 8CD， CD 9 2 . 利用射影定理时
3、注意结合图形同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定 理与勾股定理解决计算问题 1.如图，在 RtABC中，ABC90，CD是斜边上的高，AC 5， BC8，求SCDASCDB. 解：CDA和CDB同高， SCDA SCDB AD BD.又 AC2ADAB，CB2BDAB， AC2 CB 2 ADAB BDAB AD BD . SCDA SCDB AC2 CB 2 52 82 25 64. 2.如图，在RtABC中，CD是斜边AB上的高，DE是 RtBCD斜 边BC上的高，若BE6，CE2. 求AD的长是多少 解：因为在RtBCD中，DEBC，所以由射影定理可得：CD2CEBC， 所以
4、CD 216， 因为BD2BEBC， 所以BD684 3. 因为在 RtABC中，ACB90， CDAB， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以由射影定理可得：CD2ADBD， 所以AD CD2 BD 16 4 3 4 3 3 . 利用射影定理解决证明问题 例 2 如图，在ABC中，BAC90，ADBC于D，DF AC于F，DEAB于E. 求证： (1)ABACADBC； (2)AD 3 BCBECF. 思路点拨 本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三 角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题 精解详析 (1)在 RtABC中，ADBC， SA
5、BC 1 2AB AC 1 2BCAD ， ABACADBC. (2)在 RtADB中，DEAB，由射影定理得BD 2BE AB，同理CD2CFAC. BD2CD2BEABCFAC. 又在 RtBAC中，ADBC，AD 2BD DC. AD 4 BD2DC2，AD 4BECF ABAC. AD 3 BECFABAC 1 AD . 又ABACBCAD， AD 3 BECFBC. 在同一问题中需多次应用射影定理时，一定要结合图形，根据要证的结论，选择好射影 定理的表达式同时，注意线段的等量代换及比例式可化为乘积式的恒等变形 3如图，在 RtABC中，BAC90，ADBC于D，BE平分 积一时之跬步
6、臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABC交AC于E，EFBC于F. 求证：EFDFBCAC. 证明：BAC90，ADBC， 由射影定理知AC2CDBC， 即 AC CD BC AC. BE平分ABC，EAAB，EFBC， AEEF. EFBC，ADBC， EFAD. AE DF AC DC. EF DF AC DC. EF DF BC AC， 即EFDFBCAC. 4如图，AD，BE是ABC的两条高，DFAB，垂足为F，直线FD交BE于点G， 交AC的延长线于H. 求证：DF 2 GFHF. 证明：在AFH与GFB中， 因为HBAC 90，GBFBAC90， 所以HGBF. 因为AFHGFB90，
7、 所以AFHGFB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 HF BF AF GF， 所以AFBFGFHF. 因为在 RtABD中，FDAB， 所以DF 2AFBF， 所以DF 2 GFHF. 本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低档题 考题印证 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异于A，B的点，CD AB，垂足为D，已知AD2，CB4 3，则CD. 命题立意 本题主要考查利用射影定理计算线段长问题 自主尝试 由射影定理知CD2ADBD， BC 2 BDAB BC 2 (AB AD)AB. 即AB22AB480. AB8，BD6，故CD226 12， CD 23.
8、答案： 23 对应学生用书P11 一、选择题 1在 RtABC中，BAC90，ADBC于点D，若 AC AB 3 4，则 BD CD ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 3 4 B 4 3 C 16 9 D 9 16 解析：选 C 由射影定理知，BD AB 2 BC ，CDAC 2 BC ， 所以 BD CD AB2 AC 2 AB AC 2 又 AC AB 3 4，所以 BD CD 16 9 . 2如图，ABC中，ACB90，CDAB于D，AD3，BD 2， 则ACBC的值是 ( ) A 32 B94 C32 D23 解析：选 C 在 RtABC中，ACB90，CDAB，由
9、射影定理知AC2ADAB， BC 2 BDAB， 又AD3，BD2，ABADBD5. AC23515，BC 225 10. AC BC 15 10 3 2 ，即ACBC32. 3在ABC中，CDAB于点D，下列不能确定ABC为直角三角形的是( ) AAC2，AB22，CD2 BAC3，AD 2，BD2 CAC3，BC4，CD 12 5 DAB7，BD4，CD23 解析：选 B 在 A 中，AD2，AC 2 ADAB，故ABC为直角三角形；在B 中， CD5，CD25ADDB4，故ABC不是直角三角形，同理可证C，D 中三角形为 直角三角形 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 4在ABC中
10、，AD是高，且AD 2BD DC，则BAC( ) A大于 90B等于 90 C小于 90D不能确定 解析：选 D 如图 (1)， 由AD 2 BDCD， 有AB2AC 2 BD2CD22AD2BD2CD22BDCD(BDCD)2， 即AB2AC 2 BC 2， 可得BAC90， 如图 (2)，显然AD 2 BDCD，D点在ABC外， 则ACB90， 所以ABC是直角或钝角三角形 二、填空题 5.如图所示， RtABC中，ACBC，点C在AB上的正射影为D， 且AC3，AD2，则AB. 解析：ACBC，又D是C在AB上的正射影， CDAB，AC2ADAB. 又AC3，AD2，AB AC2 AD
11、9 2. 答案： 9 2 6.(湖北高考 )如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半 径OC上的射影为E.若AB3AD，则 CE EO 的值为 解析：连接AC，BC，则ACBC. ；AB 3AD，AD 1 3 AB，BD 2 3 AB，OD 1 6 AB. 又AB是圆O的直径，OC是圆O的半径， 图 1 图 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OC 1 2AB . 在ABC中，根据射影定理有： CD2ADBD 2 9AB 2. 在OCD中，根据射影定理有：OD 2OE OC， CD2CEOC，可得OE 1 18AB，CE 4 9AB， CE EO8. 答案： 8 7在RtA
12、CB中，C90，CDAB于D，若BDAD14，则tanBCD . 解析：如图，由射影定理得： CD2ADBD， 又BDAD14，设BDx，则AD4x(x0)， CD2ADBD4x2，CD2x. 在 RtCDB中， tanBCD BD CD x 2x 1 2. 答案： 1 2 8.如图，在ABC中，D，F分别在AC，BC上，且ABAC，AF BC，BDDCFC1，则AC. 解析： ；在ABC中，设ACx，因为ABAC，AFBC，FC1， 根据射影定理，得AC2FCBC，即BCx2. 再由射影定理，得 AF2BFFC (BCFC)FC， 即AF2x21.所以AFx21. 在BDC中，过D作DEBC
13、于E， 因为BDDC1，所以BEEC. 又因为AFBC，所以DEAF， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 DE AF DC AC，所以 DE DCAF AC x21 x . 在 RtDEC中，因为DE 2 EC2DC2， 即 x 21 x 2 x2 2 212， 所以 x21 x2 x4 4 1. 整理得x64.所以x 3 2. 所以AC 3 2. 答案： 3 2 三、解答题 9如图所示，在ABC中CDAB，BDAB 1 2AC，求 BAC. 解：因为BDAB 1 2AC，所以 ABBD 1 2 ACAD.因为CDAB，所 以CDA90，在 RtADC中，cosCAD AD AC
14、 1 2AC AC 1 2. BAC60. 10.如图， 在ABC中，ABm，BACABCACB12 3， CDAB于点D.求BD，CD的长 解：设BAC的度数为x，则由BACABCACB123， 得ABC的度数为2x，ACB的度数为3x.因为BACABCACB180， 所以x2x3x180，解得x30 . 所以ABC60，ACB90. 因为ABm，所以BC 1 2m， 又因为CDAB，所以BC 2 BDAB， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 1 2m 2 BDm，所以BD 1 4 m. ADABBDm 1 4m 3 4m. 由CD2ADBD 3 4m 1 4m 3 16m 2， 得CD 3 4 m.因此，BD的长是 1 4m，CD 的长是 3 4 m. 11 如图， 已知BD，CE是ABC的两条高， 过点D的直线交BC和BA的延长线于G， H，交CE于F，且HBCF. 求证：GD 2 GFGH. 证明：因为HBCF，EBCGBH， 所以BCEBHG， 因为CEBH， 所以BGH 90，所以HGBC. 在 RtBCD中，因为BDDC， 所以GD 2 GBGC. 在FCG和BHG中， 因为FGCHGB90，BCFH， 所以FCGBHG， 所以 GF GB GC GH， 即GBGCGFGH， 由得，GD 2 GFGH.