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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第二课时平行线分线段成比例定理 对应学生用书P5 自主学习 1平行线分线段成比例定理及推论 定理内容符号语言 平行线分线段 成比例定理 三条平行线截两条直线，截得的对 应线段成比例 如图，若abc，则 AB BC DE EF 推论 平行于三角形一边的直线截其他两 边 (或两边的延长线)， 截得的对应线 段成比例 如图，若abc，则 AD AB AE AC DE BC 2三角形内角平分线定理 定理内容符号语言 三角形内角平分线定理 三角形的内角平分线分对边 所得的两条线段与这个角的 两边对应成比例 如图，AD为A的平分线， 则 AB AC BD DC
2、合作探究 1平行线分线段成比例定理的条件是什么？ 提示：定理的条件应给出一组平行线，至少三条， 可以推广到多条但要注意对应成比例 2线段的比与比例线段有何异同？ 提示： 线段的比是两条线段而言的，而比例线段是对四条线段而言的线段的比有顺序 性，ab与ba通常是不相等的比例线段也有顺序性，如线段a，b，c，d成比例，与线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 段a，c，b，d成比例不同 3三角形内角平分线定理中能否写成ABDCBDAC? 提示：可以但要注意其对应成比例不变 对应学生用书P5 利用定理证明比例式 例 1 如图，AD为ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F， 使AEAF，求证
3、： EP FP AC AB. 思路点拨 本题主要考查利用平行线分线段成比例定理证明比例式解答此题时，可 考虑过C作CMEF，补一个平行四边形求解 精解详析 如图，过C作CMEF，交AB于点M，交AD于点N. AEAF，AMAC. AD为ABC的中线， BDCD. 延长AD到G，使得DGAD，则四边形ABGC为平行四边形 ABGC. CMEF， EP MN FP CN AP AN ， EP FP MN CN . 又ABGC，AMAC，GCAB， MN CN AM GC AC AB. EP FP AC AB . 1利用平行线分线段成比例定理证明比例式时，当不能直接证明要证的比例成立时， 常把线段的
4、比转化为另两条线段的比 2当题中没有平行线条件而必须转移比例时，常添加辅助平行线，从而达到转移比例 的目的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1AD为ABC的中线，过C作任一直线交线段AB及中线AD于F，E.求证：AE ED 2AF FB . 证明：作FKAD交BC于点K，则有 AF FB DK BK . 又 FK AD BK BD， ED FK CD CK ， CDBD，两式相乘， 得 ED AD BK CK，即 AD ED CK BK ， AEDE ED CDDK BK BD DK BK BK 2DK BK ， AE ED 2DK BK ，又 DK BK AF FB， AE ED
5、2AF FB . 利用定理证明乘积式 例 2 如图所示，已知直线FD和ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的 延长线交于F，且BDDC，求证：AEFBECFA. 思路点拨 本题只需证 AE EC FA FB即可由于 AE EC与 FA FB没有直接关系，因此必须寻找过渡 比将它们联系起来因此考虑添加平行线构造过渡比 精解详析 过A作AGBC，交DF于G点，如图所示 AGBD， FA FB AG BD . 又BDDC， FA FB AG DC . AGBD， AG DC AE EC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AE EC FA FB，即 AEFBECFA. 证明乘积式时先
6、转化为比例式，再利用平行线分线段成比例定理证明，必要时添加辅助 平行线 2如图已知，点E是 ?ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD 于点F.求证：OB2OEOF. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABCD，ADBC. 由ABCE，得 OB OE OA OC. 由AFBC，得 OA OC OF OB. 所以 OF OB OB OE(等量代换 ) 即OB2OEOF. 定理的应用 例 3 如图所示，AE， AB BE 1 2，BD 8，求BC的长 思路点拨 本题主要考查利用平行线分线段成比例定理求线段 长解此题时，由于BC和BD是对应线段，因此只需得出ACDE即可
7、精解详析 AE，ACDE， BC BD AB BE ， BC 8 1 2， BC4. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在列比例式求线段的长时，应尽可能将需求的线段写成比例式的一项，以减少比例变形， 减少错误 3.如图，EFFD，ABFD，CDFD，EF1.5，AB2.5，FB2， BD6，求CD的长 解：由EFFD，ABFD，CDFD，得EFABCD. 过E作EHCD于H，交AB于G， 则EHFD，则EFGBHD，EGFB，GHBD， AGABEF 2.51.5 1， AG CH EG EH FB FD 1 4， 所以CH4，所以CDCHHD41.55.5. 本课主要考查平行线分线段
8、成比例定理，难度较低，属中低档题 考题印证 如图，设D是ABC的边AB上的一点，D点沿着平行于BC的 方向移动到AC边上的E点，再由E点沿着平行于AB的方向移动到 BC边上的F点；再由F点沿着平行于CA的方向移动到AB边上的G 点这样每沿着平行于某边的直线移动到另一边算作一次，那么最 多n次，D点可回到原出发点，则n的值为 命题立意 本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用 自主尝试 当D点是AB边的中点时，只需3 次； 当D点是AB边上除中点外的任一点时，由平行线分线段成比例定理得 AD BD AE EC BF FC BG AG CH AH CK BK AM BM， ADBD BD AMBM
9、 BM ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 AB BD AB BM， BDBM，可知D点与M点重合， n6. 答案： 6 对应学生用书P7 一、选择题 1如图， 已知AABBCC，ABBC21，那么下列等式成 立的是 ( ) AABABBABAC23 CAC 2BCDCC 2AA 解析：选 B AB BC 2 1， BC AB 1 2. BCAB AB 12 2 . AC AB 3 2，即 AB AC 2 3. 2如图，AD是ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD 于点F，则AFFD为( ) A 21 B31 C41 D51 解析：选 C 过D作DGAC交BE于G， DG
10、 1 2EC，又 AE2EC， AFFDAEDG 2EC 1 2EC4 1. 3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延 长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是( ) AAEFDECBFACDAEBC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 CFAABFEECDABDC 解析：选 B 对于 A，根据对顶角相等，此结论正确； 对于 B，分析可得FAFBAEBC，所以此结论错误； 对于 C，根据平行线分线段成比例定理得，此结论正确； 对于 D ，由平行四边形性质知，正确 4如图，在ABC中，AEEB13，BDDC21，AD 与CE相交于F，则 EF FC AF FD的值
11、为 ( ) A 1 2 B1 C 3 2 D2 解析：选 C 过点D作DGAB交EC于G， 则 DG BE CD BC CG EC 1 3， 而 AE BE 1 3，即 AE BE DG BE .AEDG. AFDF，EFFGCG. EF FC AF FD EF 2EF AF AF 1 21 3 2. 二、填空题 5如图，正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M，交AB于中点N，交CB的 延长线于点P.若MN1，PN3，则DM的长为 解析：ADBC，ANNB， DN PN AN NB 1. PN3，DN3. MN1，DMDNMN2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 2 6(
12、广东高考 )如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB2AE，AC与DE 交于点F，则 CDF的面积 AEF的面积 . 解析：由CDAE，得CDFAEF， 于是 CDF的面积 AEF的面积 CD AE 2 AB AE 29. 答案： 9 7如图，体育兴趣小组选一名身高1.6 m 的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分 为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2 m，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为 9 m，那么旗杆的高度是m. 解析：由题意得1.61.2旗杆的高度9.所以旗杆的高度为12 m. 答案： 12 8如图，在ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，直线AE 交BC于F，则
13、 BF FC 的值为 解析：过点D作DMAF交BC于点M， 点E是BD的中点， 在BDM中，BFFM. 点D是AC的中点， 在CAF中，CMMF. BF FC BF FMMC 1 2. 答案： 1 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 三、解答题 9.已知线段OAOB，点C为OB中点，D为线段OA上一点连接 AC，BD交于点P.如图，当OAOB，且D为OA中点时，求 AP PC 的值 解：过D作DECO交AC于E， 因为D为OA中点， 所以AECE 1 2AC， DE CO 1 2， 因为点C为OB中点，所以BCCO， DE BC 1 2， 所以 PE PC DE BC 1 2， 所以
14、PC 2 3CE 1 3AC， 所以 AP PC ACPC PC 2 3AC 1 3 AC 2. 10如图，ABBD于B，CDBD于D，连接AD，BC交于点E， EFBD于F，求证： 1 AB 1 CD 1 EF. 证明：ABBD，CDBD，EFBD， ABEFCD， EF AB DF BD ， EF CD BF BD， EF AB EF CD DF BD BF BD DFBF BD BD BD1， 1 AB 1 CD 1 EF. 11 已知 ?ABCD的对角线交于点O， 点P是直线BD上任意一点 (异于B，O，D三点 )， 过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线BA的延长线于F.
15、积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)若点P在线段BD上(如图所示 )，试说明：ACPEPF. (2)若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC，PE，PF满足的等量关系式(只写出结 论，不作证明 ) 解： (1)延长FP交DC于点G， 因为ABCD，ACFG， 所以四边形AFGC是平行四边形， 所以ACFG(平行四边形的对边相等)， 因为EGAC， 所以 EP OA DP DO PG OC(被平行线所截的线段对应成比例 )； 又因为OAOC，所以PEPG， 所以ACFGPFPGPEPF. (2)若点P在BD延长线上，ACPFPE.如图所示 若点P在DB延长线上，ACPEPF.如图所示