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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3 圆与四边形 对应学生用书P26 自主学习 1圆内接四边形的性质定理 文字语言符号语言图形语言 性质定理 圆内接四边形的对 角互补 若四边形ABCD内接于圆 O，则有ACB D180 推论 圆内接四边形的任 何一个外角等于它 的内对角 . 四边形ABCD内接于O， E为AB延长线上一点， 则 有CBED 2四点共圆的判定定理 文字语言符号语言图形语言 判定定理 如果一个四边形的内对 角互补，那么这个四边 形四个顶点共圆 在四边形ABCD中， BD180或A C180，那么四 边形ABCD内接于圆 推论 如果四边形的一个外角 等于其内对角，那么这 个
2、四边形的四个顶点共 圆 在四边形ABCD中，延 长AB到E.若CBE D，则A，B，C，D 共圆 合作探究 由圆内接四边形的性质定理知，圆的内接平行四边形、菱形、梯形分别是什么图形？ 提示：矩形、正方形、等腰梯形 对应学生用书P27 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 证明四点共圆 例 1 如图所示，在ABC中，ABAC，延长CA到P，再延长AB到 Q，使得APBQ.求证：ABC的外心O与A，P，Q四点共圆 思路点拨 本题主要考查四点共圆的判断解题时，先连接OA，OC， OP，OQ，PQ.要证O，A，P，Q四点共圆，只需证CAOOQP即可， 为此只要证CPOAQO即可 精解详析 如图，连
3、接OA，OC，OP，OQ，PQ. 在OCP和OAQ中，OCOA， OCPOAC. 由已知CAAB，APBQ， CPAQ. 又O是等腰ABC的外心且ABAC， OACOAQ， OCPOAQ. OCPOAQ.APOAQO，OPOQ. OPQOQP. CAO 1 2 BAC 1 2( APQPQA) 1 2 (OPQAPOOQPAQO) 1 2 2OQPOQP. O，A，P，Q四点共圆 判定四点共圆的方法： (1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆 (2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)如果一个四边形的一个外角等于它的
4、内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆 (4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个 顶点与斜边中点距离相等) 1在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，DEAB，DFAC，E，F是垂足 求证：E，B，C，F四点共圆 证明：如图，连接EF. DEAB，DFAC， A，E，D，F四点共圆 1 2. 1C 2C90 . BEFC180. B，E，F，C四点共圆 . 证明线段相等或角相等 例 2 如图，AB是O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延 长线于点F. 求证：DEADFA. 思路点拨 本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用解题时，
5、只需证A，D，E， F四点共圆后可得结论 精解详析 连接AD， 因为AB为圆的直径，所以ADB90. 又EFAB，EFA90， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以A，D，E，F四点共圆 所以DEADFA. 利用圆内接四边形的判定或性质定理，证明线段相等或角相等时，可构造全等或相似三 角形，以达到证题的目的 2(新课标全国卷)如图，四边形ABCD是O的内接四边形，AB的延长线与DC的 延长线交于点E，且CBCE. (1)证明：DE; (2)设AD不是O的直径，AD的中点为M，且MBMC，证明：ADE为等边三角 形 证明： (1)由题设知A，B，C，D四点共圆， 所以DCBE. 由已知
6、CBCE得CBEE，故DE. (2)设BC的中点为N，连接MN，则由MBMC知MNBC，故O在直线MN上 又AD不是O的直径，M为AD的中点， 故OMAD，即MNAD. 所以ADBC，故ACBE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又CBEE，故AE. 由(1)知，DE，所以ADE为等边三角形. 证明比例式问题 例 3 如图，已知CF是O的切线，C为切点，弦ABCF，E为圆周上一点，CE 交AB延长线于点D，求证： (1)ACBC； (2)BC 2 CDCE. 思路点拨 本题主要考查利用圆内接四边形性质定理及相似三角形知识证明比例式问 题解题时，先利用弦切角定理推证(1)，再由A，B，
7、E，C四点共圆得出BEDBAC， 后证BCEDCB.可得结论 精解详析 (1)ABCF，FCABAC. CF是O的切线，FCAABC. BACABC.ACBC. (2)BEC180BED， A，B，E，C四点共圆，BEDBAC. BEC180BAC. 由(1)得BACABC， DBC180ABC，BECDBC. 又BCEDCB，BCEDCB. BC DC CE CB，即 BC 2 CDCE. 证明比例式问题常用三角形相似而寻找角的等量关系，圆内接四边形的性质定理往往 起到关键性的作用注意结合图形进行判断，同时注意等量代换的使用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3在ABC中，ABAC，
8、过点A的直线与其外接圆交于 点P，交BC延长线于点D. (1)求证： PC AC PD BD； (2)若AC3，求APAD的值 解： (1)证明：CPDABC，DD， DPCDBA， PC BA PD BD. 又ABAC， PC AC PD BD . (2)ACDAPC，CAPCAP， APCACD， AP AC AC AD， AC2APAD9. 本课时常考查圆内接四边形的判定定理及性质定理的应用该定理在角相等、线段相等 及比例式的证明中有广泛的应用属中低档题 考题印证 如图，D，E分别为ABC的边AB，AC上的点，且不与ABC的 顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x
9、的 方程x214xmn0 的两个根 (1)证明：C，B，D，E四点共圆； (2)若A90，且m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径 命题立意 本题主要考查圆内接四边形的判定定理的应用以及分析问题、解决问题的能力 自主尝试 (1)证明： 连接DE，根据题意在ADE和ACB中， ADABmnAEAC， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 AD AC AE AB. 又DAECAB，从而ADEACB. 因此ADEACB. 所以C，B，D，E四点共圆 (2)m4，n6 时，方程x214xmn0 的两根为x12，x212. 故AD2，AB12. 取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC
10、，AB的垂线，两垂线相交于H点， 连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为 DH. 由于A90，故GHAB，HFAC. 从而HFAG5，DF 1 2(122)5. 故C，B，D，E四点所在圆的半径为52. 对应学生用书P29 一、选择题 1四边形ABCD的一个内角C36，E是BA延长线上一点，若DAE36，则 四边形ABCD( ) A一定有一个外接圆 B四个顶点不在同一个圆上 C一定有内切圆 D四个顶点是否共圆不能确定 解析：选 A 因为C36，DAE36，所以C与BAD的一个外角相等，由 圆内接四边形判定定理的推论知，该四边形有外接圆，故选A. 2
11、圆内接四边形ABCD中，若ABC125，则D等于 ( ) A 60B120 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C140D150 解析：选 B 因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以ABCD12 54， 所以D180 4 6 120. 3如图，四边形ABCD是O的内接四边形，E为AB的延长线上一 点，CBE40，则AOC( ) A 20B40 C80D100 解析： 选 C 四边形ABCD是O的内接四边形， 且CBE40，由圆内接四边形 的性质知DCBE 40，又由圆周角定理知：AOC2D80. 4.如图，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E，已知BCD ECD3 2，那么BOD( )
12、 A 120B136 C144D150 解析：选 C 由圆内接四边形性质知ADCE， 而BCDECD32， 且BCD ECD180，ECD72. 又由圆周角定理知BOD 2A144. 二、填空题 5(陕西高考 )如图，ABC中，BC 6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E， F，若AC2AE，则EF. 解析：B，C，F，E四点在同一个圆上，AEFACB，又AA，AEF ACB， AE AC EF BC ， 即 1 2 EF 6 ，EF3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 3 6.如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为 圆O上不与A，B重合的另一点若AC
13、B120，则APB . 解析：连接OA，OB，PAOPBO90， ACB120，AOB120. 又P，A，O，B四点共圆，故APB60. 答案： 60 7如图，AB10，BC8，CD平分ACB，则AC，BD . 解析：ACB 90，ADB 90. 在 RtABC中，AB 10，BC8， ACAB 2 BC26. 又CD平分ACB. 即ACDBCD，ADBD， BD AB2 2 52. 答案： 6 52 8如图，在圆内接四边形ABCD中，ABAD，AC 1，ACD 60，则四边形ABCD 的面积为 解析：过A作AEBC于E，AFCD于F.因为ADFABC 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理
14、 180(圆的内接四边形对角之和为180)，ABEABC180， 所以ABEADF，又ABAD，AEBAFD90， 所以AEBAFD， 所以S四边形ABCDS四边形AECF，AEAF. 又因为EAFC90，ACAC， 所以 RtAECRtAFC. 因为ACD 60，AFC90， 所以CAF30，因为AC1，所以CF 1 2， AF 3 2 ，所以S四边形ABCD2SACF2 1 2CFAF 3 4 . 答案： 3 4 三、解答题 9如图，圆内接四边形ABCD，过C点作对角线BD的平行线交AD的延长线于E点 求证：DEABBCCD. 证明：连接AC， 则BACBDC， 因为CEBD，所以DCEB
15、DC， 所以DCEBAC， 因为ABCD是圆内接四边形， 所以CDEABC， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以CDEABC，所以 DE BC CD AB ， 即DEABBCCD. 10.如图所示， 圆O是ABC的外接圆， BAC与ABC的平分线相交 于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD，DC. (1)求证：BDDCDI. (2)若圆O的半径为 10 cm，BAC120，求BCD的面积 解： (1)证明：因为AI平分BAC，所以BADDAC， 所以 ? BD ? DC ， 所以BDDC. 因为BI平分ABC，所以ABICBI. 因为BADDAC，DBCDAC， 所以BADDBC.
16、 又因为DBIDBCCBI， DIBABIBAD， 所以DBIDIB，所以BDI为等腰三角形， 所以BDID，所以BDDCDI. (2)当BAC120时，ABC为钝角三角形，所以圆心O在ABC 外 连接OB，OD，OC， 则DOCBOD2BAD 120， 所以DBCDCB60， 所以BDC为正三角形 所以OB是DBC的平分线， 延长CO交BD于点E，则OEBD， 所以BE 1 2BD . 又因为OB10， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以BCBD 2OBcos 30 210 3 2 103， 所以CEBCsin 60 103 3 2 15， 所以SBCD 1 2BDCE 1 21
17、0 315 753. 所以BCD的面积为753. 11(新课标全国卷)如图，直线AB为圆的切线，切点为B， 点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交 圆于点D. (1)证明：DBDC； (2)设圆的半径为1，BC3，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径 解： (1)证明：连接DE，交BC于点G. 由弦切角定理得， ABEBCE. 而ABECBE， 故CBEBCE， BECE. 又DBBE，所以DE为直径，则DCE90， 由勾股定理可得DBDC. (2)由(1)知，CDEBDE，DBDC， 故DG是BC的中垂线，所以BG 3 2 . 设DE的中点为O，连接BO，则BOG60. 从而ABEBCECBE30， 所以CFBF，故 RtBCF外接圆的半径等于 3 2 .