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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 13.1 圆 幂 定 理 对应学生用书P25 读教材填要点 1相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 2切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中 项 3圆幂定理 已知 (O，r)，通过一定点P，作O的任一条割线交圆于A，B两点，则PAPB为 定值，设定值为k，则： (1)当点P在圆外时，kPO 2 r2， (2)当点P在圆内时，kr2OP2， (3)当点P在O上时，k0. 小问题大思维 1从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什 么关系？ 提示：相等
2、2从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的 直径是什么？ 提示： 四点共圆 且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的 距离 对应学生用书P26 相交弦定理的应用 例 1 如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于 AB的中点P，PD 2 3a ，OAP30，求CP的长 思路点拨 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 用解决本题需要先在RtOAP中，求得AP的长，然后利用相交弦定理求解 精解详析 P为AB的中点， 由垂径定理得OPAB. 在 RtOAP中，BPAPacos30 3 2
3、 a. 由相交弦定理，得BPAPCPDP， 即 3 2 a 2 CP 2 3a，解之得 CP 9 8a . 在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理特别地，如果弦与直径 垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 1如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点 D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB 1，EF 3 2，则 线段CD的长为 _ 解析：因为AF3，EF 3 2， FB 1， 所以CF AFFB EF 31 3 2 2， 因为ECBD，所以ACFADB， 所以 AF AB CF BD AC AD
4、ADCD AD 3 4， 所以BD CFAB AF 24 3 8 3，且 AD4CD， 又因为BD是圆的切线，所以BD2CDAD4CD2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以CD 4 3. 答案： 4 3 切割线定理的应用 例 2 自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引 圆的割线交圆于B，C两点，且BMP100，BPC40.求MPB的大小 思路点拨 本题考查切割线定理，由定理得出BMPPMC而后转化角相等进行求 解 精解详析 因为MA为圆O的切线， 所以MA2MBMC. 又M为PA的中点， 所以MP2MBMC. 因为BMPPMC， 所以BMPPMC，
5、于是MPBMCP. 在MCP中，由MPBMCPBPCBMP180，得MPB20. 相交弦定理、 切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求 一，利用切割线定理能做到知二求一 2.(北京高考 )如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O 相交于D.若PA3，PDDB916，则PD_；AB _. 解析：设PD9t，DB16t，则PB 25t，根据切割线定理得32 9t 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 25t，解得t 1 5，所以 PD 9 5 ，PB5.在直角三角形APB中，根据勾股定理得AB4. 答案： 9 5 4 三个定理的综合应用 例 3 如图所示，
6、已知PA与O相切，A为切点，PBC为割线，弦CDAP，AD、 BC相交于E点，F为CE上一点，且DE 2 EFEC. (1)求证：PEDF； (2)求证：CEEBEFEP； (3)若CEBE32，DE 6，EF4，求PA的长 思路点拨 本题考查切割线定理、相交弦定理以及相似三角形的判定与性质的综合 应用解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用 精解详析 (1)证明：DE 2 EFEC， DECEEFED. DEF是公共角，DEFCED. EDFC. CDAP，CP. PEDF. (2)证明：PEDF，DEFPEA， DEFPEA. DEPEEFEA. 即EFEPDEEA. 弦AD、BC
7、相交于点E， DEEACEEB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 CEEBEFEP. (3)DE 2 EFEC，DE6，EF4， EC9.CEBE 32，BE 6. CEEBEFEP， 964EP. 解得：EP 27 2 . PBPEBE 15 2 ，PCPEEC 45 2 . 由切割线定理得：PA2PBPC， PA 2 15 2 45 2 . PA 15 2 3. 相交弦定理、 切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这 三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系， 这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题 因此
8、， 在实际应用中， 见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到 切割线定理 3如图所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则 O的半径等于 _ 解析：设O的半径为r(r0)， PA1，AB2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 PBPAAB3. 延长PO交O于点C， 则PCPOr3r. 设PO交O于点D，则PD3r. 由圆的割线定理知，PAPBPDPC， 13(3r)(3r)， 9r23，r6. 答案：6 对应学生用书P27 一、选择题 1.如右图，O的直径CD与弦AB交于P点，若AP4，BP6， CP3，则O半径为 ( ) A 5.5 B5 C6
9、 D6.5 解析：由相交弦定理知APPBCPPD， AP4，BP 6，CP3， PD APBP CP 46 3 8. CD 3811，O的半径为 5.5. 答案： A 2如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB，PD，PA AB5，CD3，则PC等于 ( ) A 2或 5 B2 C3 D10 解析：设PCx，由割线定理知PAPBPCPD.即52 5x(x3)，解得x2 或x 5(舍去 )故选 B. 答案： B 3.如图，AD、AE和BC分别切O于D，E，F，如果AD 20，则ABC的周长为 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 20 B30 C40 D35 解析：AD，A
10、E，BC分别为圆O的切线 AEAD20，BFBD，CFCE. ABC的周长为ABACBCABACBFCF(ABBD)(ACCE)AD AE40. 答案： C 4如图，ABC中，C90，O的直径CE在BC上，且与AB相切于D点，若 COOB1 3，AD2，则BE等于 ( ) A.3 B22 C2 D1 解析：连接OD，则ODBD， RtBOD RtBAC. OD AC BD BC. 设O的半径为a， OCOB13，OEOC， BEEC2a. 由题知AD、AC均为O的切线，AD2，AC2. a 2 BD 4a ，BD2a 2. 又BD 2BEBC ，BD 22a4a 8a2. 4a48a 2， a
11、2. BE2a22. 答案： B 二、填空题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5(重庆高考 )过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点 )，再作割线PBC分别交圆于B， C.若PA6，AC 8，BC9，则AB _. 解析：如图所示，由切割线定理得PA2PBPCPB (PBBC)，即 62 PB(PB9)，解得PB3(负值舍去 )由弦切角定理知PABPCA，又 APBCPA，故APBCPA，则 AB CA AP CP ，即 AB 8 6 39 ，解得AB4. 答案： 4 6如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DFCF 2，AFFBBE421.若CE与圆相切，则
12、线段CE的长为 _ 解析：设BEx，则FB2x，AF4x，由相交弦定理得DFFCAFFB，即 28x2， 解得x 1 2， EA 7 2，再由切割线定理得 CE2EBEA 1 2 7 2 7 4，所以 CE 7 2 . 答案： 7 2 7.如图，O的弦ED、CB的延长线交于点A.若BDAE，AB 4，BC2，AD3，则DE_；CE_. 解析：由切割线定理知， ABACADAE. 即 463(3DE)，解得DE 5. BDAE，且E、D、B、C四点共圆，C90 . 在直角三角形ACE中，AC6，AE8， CE64 3627. 答案： 5 27 8(重庆高考 )如图，在ABC中，C90，A 60，
13、AB 20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 于点E，则DE的长为 _ 解析：由题意得BCABsin 60 103. 由弦切角定理知BCDA60， 所以CD53，BD15， 由切割线定理知，CD2DEBD，则DE 5. 答案： 5 三、解答题 9如图，PT切O于T，PAB，PDC是圆O的两条割线，PA3， PD4，PT6，AD2，求弦CD的长和弦BC的长 解：由已知可得PT2PAPB， 且PT 6，PA3，PB12. 同理可得PC9，CD5. PDPCPAPB， PD PB PA PC ， PDAPBC， AD BC PD PB
14、? 4 12 2 BC， BC6. 10如图，O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点， BM的延长线交O于N，过N点的切线交CA的延长线于P. (1)求证：PM2PAPC； (2)若O的半径为2 3，OA3OM，求MN的长 解： (1)证明：连接ON，则ONPN，且OBN为等腰三角形，则OBNONB， PMNOMB90OBN， PNM90ONB， PMNPNM， PMPN. 由条件，根据切割线定理，有PN2PAPC， 所以PM2PAPC. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)依题意得OM2，在 RtBOM中， BMOB2OM 24. 延长BO交O于点D，连接DN. 由条件易知B
15、OMBND， 于是 BO BN BM BD， 即 2 3 BN 4 4 3 ，得BN6. 所以MNBNBM642. 11如下图，已知O1和O2相交于A、B两点，过点A作O1的切线，交O2于点 C，过点B作两圆的割线分别交O1，O2于点D、E，DE与AC相交于点P. (1)求证：PAPEPCPD； (2)当AD与O2相切，且PA6，PC 2，PD12 时，求AD的长 解： (1)证明：连接AB，CE， CA切O1于点A， 1D.又 1E， DE.又 2 3， APDCPE. PA PC PD PE. 即PAPEPCPD. (2)PA 6，PC2，PD12. 6PE2 12，PE4. 由相交弦定理，得PEPBPAPC. 4PB62，PB3. BDPDPB123 9， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DEPDPE 16. DA切O2于点A， DA 2 DBDE，即AD2916，AD12.