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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12.2 圆周角定理 对应学生用书P19 读教材填要点 1圆周角的定义 从O上任一点P引两条分别与该圆相交于A和B的射线PA，PB， ? AB叫做APB 所对的弧，APB叫做 ? AB所对的圆周角 2圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半 3圆周角定理的推论 (1)推论 1：直径 (或半圆 )所对的圆周角都是直角 (2)推论 2：同弧或等弧所对的圆周角相等 (3)推论 3：等于直角的圆周角的所对弦是圆的直径 小问题大思维 1圆心角的大小与圆的半径有关系吗？ 提示：圆心角的度数等于它所对弧的度数，与圆的半径没有关系 2相等的圆周角所对的弧也相
2、等吗？ 提示：不一定只有在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等 对应学生用书P19 圆周角与圆心角问题 例 1 锐角三角形ABC内接于O，ABC60，BAC40，作OEAB交劣 弧 ? AB于点E，连接EC，求OEC. 思路点拨 本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用解决本题需要先求OEC所对 的弧的度数，然后根据圆心角定理得OEC的度数 精解详析 连接OC. ABC60，BAC40， ACB80. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OEAB，E为 ? AB的中点 ? BE和 ? BC的度数均为80. EOC80 80 160. OEC10. 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是
3、它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等 于它所对圆心角的一半 1在半径为5 cm 的圆内有长为5 3 cm 的弦，求此弦所对的圆周角 解：如图所示，AB5 3 cm， 过点O作ODAB于点D. ODAB，OD经过圆心O， ADBD 5 3 2 cm. 在 RtAOD中， ODOA 2 AD 2 5 2 cm， OAD 30，AOD60. AOB2AOD120 . ACB 1 2 AOB60. AOB120，劣弧 ? AEB的度数为120，优弧 ? AOB 的度数为240. AEB 1 2240 120， 此弦所对的圆周角为60或 120. 利用圆周角定理证明线段相等 例 2 如图所示，已知O中
4、? AB， ? AC的中点分别是E，F，直 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 线EF交AC于P，交AB于Q. 求证：APQ是等腰三角形 思路点拨 要证等腰三角形，可分别用弧的度数表示APQ与AQP，然后根据等腰 三角形的定义作出判断 精解详析 连接CE，BF， E，F分别是O中 ? AB与 ? AC的中点， ? AE ? BE， ? AF ? CF. 又FPCACEPEC 1 2 ( ? AE ? CF)的度数，FPC APQ， APQ的度数 1 2( ? AE ? CF)的度数， 同理AQP的度数 1 2( ? AF ? BE)的度数， APQAQP.APQ是等腰三角形 (1)在圆中
5、，只要有弧，就存在着所对的圆周角同弧所对的圆周角相等，而相等的角 为几何命题的推理提供了条件，要注意此种意识的应用 (2)证明一条线段等于两条线段之和，可将其分为两段，其中一段等于已知线段，再去 证明另一段也等于已知线段 2.如图，AB是O的一条弦，ACB的平分线交AB于点E，交O 于点D. 求证：ACCBDCCE. 证明：连接BD.在ACE与DCB中， EAC与BDC是同弧所对的圆周角， EACBDC. 又CE为ACB的平分线， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ACEDCB， ACEDCB. AC CE DC CB. ACCBDCCE. 利用圆周 (心 )角定理及其推论求线段长 例
6、 3 如图，AB是O的直径，AB2 cm，点C在圆周上，且 BAC30，ABD120，CDBD于D.求BD的长 思路点拨 本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应用解 答本题可连接BC，然后利用直角三角形的有关知识解决 精解详析 连接BC，AB为O的直径， ACB90. BAC30，AB2 cm， BC AB 2 1 (cm) ABD120， DBC120 60 60. CDBD， BCD90 60 30. BDBC 2 0.5 (cm) 在圆中，直径是一条特殊的弦，其所对的圆周角是直角，所对的弧是半圆，利用此性质 既可以计算角、线段又可以证明线线垂直、平行等位置关系，还可以证明比例式相等 3如
7、图， ABC中，C90，AB10，AC6，以AC为直径的圆与斜边交于点P， 求BP长 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解：连接CP，AC为圆的直径， CPA90，即CPAB. 又ACB90， 由射影定理可知AC2APAB. AP AC2 AB 36 10 3.6. BPABAP10 3.66.4. 对应学生用书P21 一、选择题 1在O中，AOB84，则弦AB所对的圆周角是( ) A 42B138 C84D42或 138 解析：借助圆形和圆周角定理可知，弦AB所对的圆周角有两种情况，即为 42或 138. 答案： D 2如图，AC是O的直径，AB、CD是O的两条弦，且AB CD，如果
8、BAC32，那么AOD ( ) A 16B32 C48D64 解析：ABCD， ? AD ? BC. 又BAC32， ? BC的度数为64. AOD 64. 答案： D 3.如图， ABC内接于O， C30，AB2， 则O的半径为 ( ) A.3 B2 C2 3 D4 解析：连接AO并延长交O于D，连接BD. DC30，在 RtABD中，AD 2AB4，半径为2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： B 4如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么 CD AB 等( ) A sinBPD BcosBPD CtanBPD D以上答案都不对 解析：连接BD，由BA是直
9、径， 知ADB是直角三角形 由DCBDAB， CDACBA， CPDBPA，得CPDAPB. PD PB CD AB cosBPD. 答案： B 二、填空题 5如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，AD BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为 _ 解析：如图，连接AB，AC，CE，由A，E为半圆周上的三等分 点， 得FBD30，ABD60，ACB30. 又BC4，AB2，AD3，BD1. 则DF 3 3 ，故AF 23 3 . 答案： 23 3 6如图所示，已知AB是O的直径，CD与AB相交于E， ACD60，ADC45，则AEC_. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧
10、萧整理 解析：如图，连接BC.根据圆周角定理的推论1，可知ACB90. ACD60， DCB30， ? BD的度数 60. ADC45， ? AC的度数 90. AECDCBCBE 1 2( ? BD ? AC)的度数 75. 答案： 75 7.如图，在O中，已知ACBCDB60，AC3，则ABC 的周长是 _ 解析：由圆周角定理， 得ADACB 60. ABBC. ABC为等边三角形 周长等于9. 答案： 9 8如图，在圆的内接四边形ABCD中，ABC90，ABD30，BDC45， AD1，则BC_. 解析：连接AC.因为ABC90， 所以AC为圆的直径 又ACDABD30， 积一时之跬步臻
11、千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以AC2AD2. 又BACBDC45， 故BC2. 答案：2 三、解答题 9.如图，已知在O中，直径AB为 10 cm， 弦AC为 6 cm， ACB的 平分线交O于D，求BC、AD和BD的长 解：因为AB为直径 所以ACBADB90. 在 RtABC中， BCAB2AC210 2628(cm) 因为CD平分ACB， 所以 ? AD ? DB，所以ADB为等腰直角三角形 所以ADBD 2 2 AB 2 2 1052(cm) 10(江苏高考 )如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点 证明：OCBD. 证明：因为B，C是圆O上的两点， 所以OBOC.
12、 故OCBB. 又因为C，D是圆O上位于AB异侧的两点， 故B，D为同弧所对的两个圆周角， 所以BD. 因此OCBD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11如图所示，在圆内接ABC中，ABAC，D是BC边上的一点，E是直线AD 和ABC外接圆的交点 (1)求证：AB2ADAE； (2)如图所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明； 若不成立，请说明理由 证明： (1)如图，连接BE. ABAC，ABCACB. ACBAEB， ABCAEB. BAEDAB， ABDAEB. AB AE AD AB， 即AB2ADAE. (2)如图，连接BE， 结论仍然成立，证法同(1)