《高中数学第一章立体几何初步阶段质量评估北师大版必修1(1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第一章立体几何初步阶段质量评估北师大版必修1(1).pdf（19页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2016-2017学年高中数学第一章 立体几何初步阶段质量评估北师 大版必修 2 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1观察图中的四个几何体，其中判断正确的是( ) A(1)是棱台B(2)是圆台 C(3)是棱锥D (4)不是棱柱 解析：图(1)不是由棱锥截得的，图(2)的上、下两个面不平行，图(4)的前、后两个面 平行，其他面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以A，B，D 都不正 确 答案：C 2一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是( ) A棱柱B棱
2、台 C圆锥D 圆台 解析：先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体 由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和俯视图都是等腰梯形可排除C，故选 D. 答案：D 3某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. 560 3 B 580 3 C200 D 240 解析：先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解 由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为 4，故面积为S 284 2 20. 又棱柱的高为10，所以体积VSh2010 200. 答案：C 4分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是( )
3、A相交B异面 C平行D 相交或异面 解析：当过其中一条直线上同一点时，共面相交； 相交的交点没有重合情况时，异面 答案：D 5如图，PA矩形ABCD，下列结论中不正确的是( ) APDBD BPDCD CPBBC D PABD 解析：PA面ABCD， PABD，故 D 正确； BCAB，BC面PAB， BCPB，故 C 正确； 又CD面PAD， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 PDCD，故 B 正确只有A 不正确 答案：A 6(2015 长沙高一检测)已知等边三角形的边长为1，那么它的平面直观图面积为( ) A. 3 4 B 3 8 C. 6 8 D 6 16 解析：底边长为1，高为
4、 1 2 3 2 sin 45 6 8 ，S 6 16 . 答案：D 7如图，BC是 RtABC的斜边，PA平面ABC，PDBC于D点，则图中共有直角 三角形的个数是( ) A 8个B7 个 C6 个D 5 个 解析：因为PA平面ABC， 所以PABC. 因为PDBC，PAPDP， 所以BC平面PAD，所以ADBC. 图中直角三角形有PAC，PAD，PAB， ABC，PDC，PDB，ADC， ADB， 共 8 个 答案：A 8以下说法中，正确的个数为( ) 已知直线a，b和平面，若ab，a，则b； 已知直线a，b，c和平面.a是斜线，与平面相交，b是射影所在直线，c?，且c b，则ca； 三个
5、平面两两相交，且它们的交线各不相同，则这三条交线互相平行； 已知平面，若a，ba，则b或b. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 1个B2 个 C3 个D 4 个 解析：错误直线b的位置不确定，直线b可以在内，也可以平行于. 正确c同时垂直于斜线和射影 错误例如，长方体同一顶点的三个面 错误没有说明b是否在平面或内，则b可以在这两个平面外 答案：A 9一个圆锥与一个球的体积相等，且此圆锥底面半径与此球的直径相等，则此圆锥的 侧面积与此球的表面积之比为( ) A.22 B5 2 C.32 D 32 解析：设圆锥底面半径为r，高为h， 则V球 4 3 r 2 3 1 6 r 3， V锥
6、1 3 r2h. 由于体积相等， 1 6 r3 1 3 r2h，h r 2. S球4 r 2 2 r2，S锥侧 5 2 r2， S锥侧S球5 2，所以选B. 答案：B 10正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( ) A. 2 3 B 3 3 C. 2 3 D 6 3 解析：画出图形 (如图所示 )，BB1与平面ACD1所成的角等于DD1与平面ACD1所成的 角在三棱锥DACD1中，由三条侧棱两两垂直得点D在底面ACD1内的射影为等边三角 形ACD1的垂心即中心H，连接D1H，DH，则DD1H为DD1与平面ACD1所成的角设 正方体的棱长为a，则 cosDD1H
7、 6 3 a a 6 3 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案：D 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5 分，共 20分请把正确答案填在题中横线上) 11把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥CABD，其正视图与俯 视图如图所示，则其侧视图的面积为_ 解析：由题意可知， 侧视图为等腰直角三角形，腰长为 2 2 ，故其面积为 1 2 2 2 21 4 . 答案： 1 4 12有下列三个说法： 用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 其中正确的有
8、_个 解析：中的截面若不平行于底面，则不是棱台，故错；中的条件都不能保证 多面体的所有侧棱交于一点，故不一定是棱台，可知错 答案：0 13如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF 的中点若CD2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长等于 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：取CD的中点G，连接MG，NG. 因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2， 所以MGCD，MG2，NG2. 因为平面ABCD平面DCEF， 所以MG平面DCEF，可得MGNG， 所以MNMG 2 NG26. 答案：6 14将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角AB
9、DC，有如下四个结论： ACBD； ACD是等边三角形； AB与平面BCD成 60的角； AB与CD所成的角是60. 其中正确结论的序号是_ 解析：如右图所示，取BD中点E，连接AE，CE，则BDAE，BDCE，而AE CEE，BD平面AEC，AC? 平面AEC，故ACBD，故正确 设正方形的边长为a，则AECE 2 2 a. 由知AEC 90是直二面角ABDC的平面角， ACa， ACD是等边三角形，故正确 由题意及知，AE平面BCD，故ABE是AB与平面BCD所成的角，而ABE 45，所以不正确 分别取BC，AC的中点为M，N， 连接ME，NE，MN， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧
10、整理 则MNAB，且MN 1 2AB 1 2a ， MECD，且ME 1 2CD 1 2a ， EMN是异面直线AB，CD所成的角 在 RtAEC中，AECE 2 2 a，ACa， NE 1 2 AC 1 2 a，MEN是正三角形， EMN 60，故正确 答案： 三、解答题 (本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 ) 15(本小题满分12 分)如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆 柱，求圆柱的表面积 解析：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S. 则ROC2，AC4， AO4222 23. 如图所示易知AEBAOC， AE
11、AO EB OC，即 3 23 r 2， r1， S圆锥底2r2 2，S圆锥侧2rh23 . SS圆锥底S圆锥侧2 23 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (223) . 16(本小题满分12 分)如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，AB AC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点求证： (1)ACPB； (2)PB平面AEC. 证明：(1)如图所示， PA平面ABCD， AC? 平面ABCD，PAAC. 又ABAC，而ABPAA， AC平面PAB，PB? 面PAB， ACPB. (2)如图所示，连接BD，与AC相交于点O，连接EO. 四边形ABCD是平行四边形
12、， 点O是BD的中点 又点E是PD的中点，EOPB. PB? 平面AEC，EO? 平面AEC， PB平面AEC. 17(本小题满分13 分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪 之用 )，已建的仓库的底面直径为12 m，高 4 m养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存 放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变 )；二是高度 增加 4 m(底面直径不变) (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪种方案更经济些？ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：(1)如果按方案一，仓库的底
13、面直径变成16 m，则仓库的体积： V1 1 3S h 1 3 16 2 24 256 3 (m3) 如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积： V2 1 3S h 1 3 12 2 28 288 3 (m3) (2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为 8 m圆锥的母线长为l8 242 45(m)，则仓库的表面积S1 845325 (m2) 如果按方案二， 仓库的高变成8 m圆锥的母线长为l826210(m)，则仓库的表面 积S2 61060 (m2) (3)V2V1，S2S1， 方案二比方案一更经济 18(本小题满分13 分) 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，
14、F分别是CD，A1B1的中点， (1)若M在侧面A1D1DA及其边界上运动，问M在哪条线段上运动均能使A1C平面 AME？并证明你的结论； (2)求证：平面AED1平面C1FB. 解析：(1)当M在AD1上运动时，总能使A1C面AEM. 证明如下： 连接A1D，取A1D的中点为G，连接EG， E，G分别为CD，A1D的中点， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 EGA1C. EG? 面AEG. A1C面AEG， 当M在AD1上运动时，EG总在面AEM内， A1C面AEM， 故M在AD1上运动时，总能使A1C面AEM. (2)证明：在正方体中，连接AD1，D1E， AD1BC1，BC1?
15、面AED1， BC1面AED1. 取AB中点H，连接FH，CH，C1F， FH綊CC1， 四边形FHCC1为平行四边形， FC1HC. 又易知四边形AHCE为平行四边形， AEHC， C1FAE.又C1F? 面D1AE， C1F面D1AE. 而BC1C1FC1，且BC1，C1F? 面BC1F， 面BC1F面D1AE. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (B) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订) 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1在空间中，下列说法中正确的是( ) 平行于同一直线的两直线平行；
16、垂直于同一直线的两直线平行； 平行于同一平面的两直线平行； 垂直于同一平面的两直线平行 AB CD 解析：正确， 由平行公理可证；错误， 如图所示，A1D1AA1，ABAA1，但A1D1 与AB不平行；错误，AA1平面DC1，A1B1平面DC1，但AA1A1B1A1；正确 答案：B 2一个几何体 的三视图如图所示，则该 几何体的体积为( ) 解析：先观察俯视图，再结合主视图和侧视图还原为空间几何体 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，可得选项D. 答案：D 3 设长方体的长、 宽、 高分别为2a，a，a， 其顶点都在一个球面
17、上，该球的表面积为( ) A 3a 2 B6a 2 C2a 2 D 24a 2 解析：由长方体的长、 宽、 高分别为2a，a，a， 则长方体的体对角线为2a 2 a 2 a 2 6a，与外接球的直径相等，故2R6a，S球4R26a 2. 答案：B 4用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该 几何体需要的小正方体的块数是( ) A 8 B7 C6 D 5 解析：由正视图和侧视图可知，该几何体由两层小正方体拼接成；由俯视图可知，最 下层有 5 个小正方体；结合三个图可知，上层仅有一个正方体所以共有6 个小正方体 答案：C 5如图，l，A，B，ABlD，C，C?l，则
18、平面ABC与平面的交 线是 ( ) A直线ACB直线AB C直线CDD 直线BC 解析：Dl，l?，D，又C，CD?；同理，CD? 平面ABC，平面 ABC平面CD. 答案：C 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 6已知点O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列结论正确的是 ( ) A直线OA1平面AB1C1 B直线OA1平面CB1D1 C直线OA1直线AD D 直线OA1直线BD1 解析：可证平面A1BD平面CB1D1. 答案：B 7一平面截空间四边形的四边得到四个交点，如果该空间四边形只有一条对角线与这 个截面平行，那么这四个交点围成的四边形是( ) A平行四边
19、形B菱形 C梯形D 任意四边形 解析：如图所示，AC平面EFGH，则EFHG，而对角线BD与平面EFGH不平 行，所以EH与FG不平行所以四边形EFGH是梯形 答案：C 8 如图，三棱锥VABC中，每个侧面与底面所成的二面角均相等，且VO平面ABC， 垂足为O，则点O是ABC的( ) A垂心B重心 C内心D 外心 解析：在VOD，VOE，VOF中， 因为VDOVEOVFO，且VO公用， RtVOD RtVOERtVOF， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ODOEOF，O为ABC的内心 答案：C 9已知二面角AB的平面角是锐角，面内有一点C到的距离为3，点C到棱 AB的距离为4，那么
20、tan ( ) A. 37 7 B 3 7 C. 3 4 D 3 5 解析：如图，作CE，CDAB，则CE3，CD4，DEAB， CDE为二面角AB的平面角， 即CDE. 在 RtCDE中，DECD 2 CE2 4 232 7， tan CE DE 3 7 37 7 . 答案：A 10把表面积相等的球与正方体的体积依次记为V 球与V正方体，球的直径为d，正方体 的棱长为a，则有 ( ) Ada，V 球V正方体 Bda，V 球V正方体D d a 2， da. 又d 6 a， V球 V正方体 4 3 d 2 3 a 3 6 1. V球V正方体 答案：A 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5 分，
21、共 20分请把正确答案填在题中横线上) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 11设，为不重合的两个平面，给出下列命题： 若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于； 若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行； 设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直； 若l与内的两条直线垂直，则直线l与垂直 上面命题中，正确的序号是_(写出所有正确命题的序号) 解析：即面面平行的判定定理；即线面平行的判定定理；由内有一条直线垂 直于l不能得到该直线垂直于，也就得不到和垂直，故不正确；不符合线面垂直的判 定定理，因此不正确 答案： 12若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为_
22、 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h.r2，r1.又rl2，l 2.则hl2r2413.故该圆锥的体积V 1 3 r2h 3 3 . 答案： 3 3 13一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是_ 解析：由三视图知该几何体是躺着的三棱柱，底面是等腰三角形，底边上的高为1， 侧棱长为3， S底 1 22 2 211 3. S侧(2223)31263 S表2S底S侧2312631283 答案：1283 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 14(2015长沙高一检测)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1 的正方 形，侧棱长AA12，则异面直线A1B1与BD
23、1所成的角的大小等于_ 解析：因为A1B1AB， 所以ABD1是异面直线A1B1与BD1所成的角 在 RtABD1中，BAD190， AB1，AD1AA 2 1A1D 2 1 2 212 3， 所以 tanABD1 AD1 AB 3， 所以ABD160. 答案：60 三、解答题 (本大题共4小题，共50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤 ) 15(本小题满分12 分)画出如图所示几何体的三视图 解析：该几何体的上面是一个圆柱，下面是一个四棱柱，其三视图如图所示 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 16 (本小题满分12分)已知一直棱柱底面是菱形，该棱柱的对角线长分别为15
24、 cm,9 cm， 高为 5 cm，求这个棱柱的侧面积 解析：如图所示，设BD19 cm，A1C15 cm. A1AD1D5 cm， BD2D1B2D1D 2925256， AC2A1C 2 A1A 215252200. 四边形ABCD为菱形， AB2BC 2 CD2AD 2 BD2AC2， 即 4AB2 56200 256 ， 2AB16，AB8 cm， S棱柱侧4ABA1A485160(cm2)， 故此棱柱的侧面积为160 cm 2. 17(本小题满分13分)如图，在直棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABAC2， AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动 (1)证明：ADC1E
25、； (2)当异面直线AC，C1E所成的角为60时，求三棱锥C1A1B1E的体积 解析：(1)证明：因为ABAC，D是BC的中点， 所以ADBC. 又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC， 而AD? 平面ABC，所以ADBB1. 由，得AD平面BB1C1C. 由点E在棱BB1上运动，得C1E? 平面BB1C1C， 所以ADC1E. (2)因为ACA1C1，所以A1C1E是异面直线AC，C1E所成的角， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由题意知A1C1E60. 因为B1A1C1BAC90，所以A1C1A1B1， 又AA1A1C1，从而A1C1平面A1ABB1. 于是A1C1A
26、1E，故C1E A1C1 cos 602 2. 又B1C1A1C21A1B212，所以B1EC1E2B1C212. 从而V三棱锥C1A1B1E 1 3S A1B1EA1C1 1 3 1 22 22 2 3. 18(本小题满分13 分)如图所示，正方体的棱长为1，BCBCO，求： (1)AO与AC所成角的度数； (2)AO与平面ABCD所成角的正切值； (3)求证：平面AOC平面AOB. 解析：(1)在正方体中AA綊CC， 四边形ACCA为平行四边形， ACAC， OAC(或补角 )为异面直线AO与AC所成的角 在AOC中，AC2，OC 2 2 ，AO1 2 2 2 6 2 ， AO2OC2AC2， OAC30， AO与AC所成角的度数为30. (2)取BC的中点，连接OE，AE(图略 )， O为BC的中点， OECC. 又CC面ABCD，OE面ABCD， OAE为AO与面ABCD所成的角 在 RtOAE中，OE 1 2， AE1 1 2 2 5 2 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 tanOAE OE AE 1 2 5 2 5 5 . AO与平面ABCD所成角的正切值为 5 5 . (3)证明：在AOC中，由 (1)知OCAO. 在正方形BCCB中，OCOB，AO? 面AOB，OB? 面AOB，AOOBO， OC面AOB， 又OC? 面AOC， 面AOC面AOB.