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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第 8 课时1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 课时目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的侧面展开图 2掌握棱柱、棱锥、棱台、球的表面积的计算公式，并能运用这些公式解决有关几何 体的表面积和侧面积问题 识记强化 1设直棱柱高为h，底面多边形周长为c，则直棱柱侧面积公式为S直棱柱侧ch，即直 棱柱侧面积等于它的底面周长和高的乘积 2若正棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高为h，则正n棱锥的侧面积公式为 S正棱锥侧 1 2nah 1 2ch ，即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半 3若圆柱、圆锥、圆台沿其母线剪开后展开，其侧面展开图分别是
2、矩形、扇形、扇环， 其侧面积公式分别为S圆柱侧2Rh，S圆锥侧Rl，S圆台侧 (Rr)l. 4球的表面积公式为S球4R 2，即球面面积等于它的大圆面积的四倍 课时作业 一、选择题 (每个 5 分，共 30 分) 1一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A 8B6 C4D 答案： C 解析： 设正方体的棱长为a，则a 3 8，即 a2.故该正方体的内切球的半径r1，所以 该正方体的内切球的表面积S4r24 . 2各棱长均为2 的正三棱锥的表面积是( ) A.3 B4 C43 D16 答案： C 解析： 每个面的面积为 1 222 3 2 3，该正三棱锥的表面积为43. 3若
3、一个底面是正三角形的直三棱柱的主视图如图所示，则其侧面积等于( ) A.3 B2 C23 D6 答案： D 解析： 该几何体是一个底面边长为2，高为 1 的正三棱柱，则侧面积S侧3(2 1) 6. 4一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 48 B 32817 C48817 D 80 答案： C 解析： 由三视图， 可知该几何体是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，该直四棱柱 的表面积S2 1 2 (24)44 4242116448817. 5过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积 的比为 (
4、) A. 3 16 B. 9 16 C. 3 8 D. 9 32 答案： A 解析： 如图所示，设球半径为R，由题意知OO R 2， OFR， r 3 2 R. S截面r2 3 2 R 2 3 4 R2， S球4R2. S截面 S球 3 4 R2 4R2 3 16. 6圆柱的底面积为S，侧面展开图为一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( ) A 4SB2S CSD. 2 3 3 S 答案： A 解析： 设底面半径为r，故Sr 2.由侧面展开图为正方形，则高 h2r，则圆柱的侧面 积为 2rh4 (r2)4S，故选 A. 二、填空题 (每个 5 分，共 15 分) 7一个长方体的长、宽、高分别为9
5、,8,3，若在其上钻一个圆柱形的孔后，其表面积没 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 有变化，则孔的半径为_ 答案： 3 解析： 设圆柱形孔的底面半径为r，母线长为l，由题意，知圆柱形孔的侧面积等于圆 柱形孔的上底面与下底面的面积之和，即2rl2r2，所以lr，分析可知r3. 8四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图所示， 则四棱锥PABCD的表面积为 _ 答案： (22)a 2 解析： 依题意知，在该四棱锥中，PA底面ABCD，PAa，底面四边形ABCD是边长 为a的正方形，因此有PDCD，PBBC，PBPD2a，所以该四棱锥的表面积等于a 2 2 1 2
6、a 2 2 1 2 2aa(22)a 2. 9在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，AC12，BC 5，若一个球和它的各个面 都相切，则该三棱锥的表面积为_ 答案： 180 解析： AC12，BC5，BCAC，AB13. 设棱柱的内切球的半径为r，则 RtABC的内切圆为球的大圆， r 51213 2 2. 棱柱的高为2r4. 棱柱的表面积S 2 1 25 12(51213)4180. 三、解答题 10(12 分)已知正三棱锥SABC的底面是边长为 15 2 的正三角形，侧棱与高的夹角为 60，求该正三棱锥的侧面积及表面积 解： 设O为正三角形ABC的中心，连接SO，AO，则AOS为直角三
7、角形 AB 15 2 ，AO 2 3 15 2 sin60 53 2 . 侧棱与高的夹角为60，SA AO sin60 5. 过点S作SEAB，垂足为点E，则SEA为直角三角形， AE 1 2AB 15 4 ，SESA2AE 25 7 4 ， S侧 1 2 15 2 57 4 3 2257 16 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 S表S侧S底 2257 16 1 2 15 2 2sin60 225 16 (37) 11(13分 )如图，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面的中心为顶点作圆锥，则 该圆锥与圆柱等底等高若圆锥的轴截面是一个正三角形，求圆柱的侧面积与圆锥的侧面积 的比值
8、 解： 设圆锥底面的半径为r，则母线长为2r，高为3r， 圆柱的底面半径为r，高为3r， S圆柱侧 S圆锥侧 2r3r r2r 3， 即圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为3. 能力提升 12(5 分 )如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 _ 答案： 12 解析： 此几何体的上部为球，球的直径为2，下部为一圆柱，圆柱的高为3，底面圆的 直径为 2，所以S表42 312 . 13(15 分)圆锥的底面半径为5，高为 12，当它的内接圆柱的底面半径r为何值时，圆 柱的表面积达到最大值？ 解： 如图，取圆锥的一个轴截面，其中ODr，OOh，由VODVOB得 VOVOODOB，即 (12h)12r5， h 12 5 (5r)， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 S圆柱表面积2r22rh 2r22r 12 5 (5r) 2 5 (60r7r2)， 当r 30 7 时，圆柱的表面积达到最大值 360 7 .