高中数学第一章解三角形1.2应用举例新人教A版必修.pdf

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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1.2 应用举例 第一课时解三角形的实际应用举例 (1)方向角和方位角各是什么样的角？ (2)怎样测量物体的高度？ (3)怎样测量物体所在的角度？ 新知初探 实际测量中的有关名称、术语 名称定义图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时l 与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内， 视线在水平线l 下方时 与水平线的夹角 方向角 从指定方向线到目标方向线的水平角(指定 方向线是指正北或正南或正东或正西，方 向角小于 90 ) 错误 ! 方位角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所 转过的水平角 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错

2、误的打“”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边( ) (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得( ) (3)方位角和方向角是一样的( ) 解析： (1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长 (2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、 距离求得 (3)错误方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测 者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 角) 答案： (1)(2)(3) 2若点A在点C的北偏东 30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则

3、点A在 点B的( ) A北偏东15B北偏西15 C北偏东10D北偏西10 解析：选B 如图所示，ACB90，又ACBC，CBA 45， 而30，90 45 30 15. 点A在点B的北偏西15.故选 B. 3从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为 ( ) AB C90D180 解析：选 B 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知，故应选B. 4.已知船A在灯塔C北偏东 85且到C的距离为 1 km，船B在 灯塔C西偏北25且到C的距离为3 km，则A，B两船的距离为 _km. 解析：由题意得ACB(90 25) 85 150 ， 又AC1，BC3，由余弦定理得 AB2AC

4、2BC 22AC BCcos 150 7，AB7. 答案：7 测量高度问题 典例 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平 面内的两点C与D.现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得 塔顶A的仰角为，求塔高AB. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 在BCD中， CBD () 由正弦定理得 BC sinBDC CD sinCBD. BC CDsinBDC sinCBD ssin sin . 在 RtABC中，ABBCtanACBs sin tan sin . 测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所 求线段

5、所在的平面，将空间问题转化为平面问题 (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思 路 活学活用 1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某 人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45， 沿A向北偏东 30方向前进100 m 到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是( ) A 50 m B100 m C120 m D 150 m 解析：选 A 如图，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC 中，A60，ACh，AB 100，BC3h，根据余弦定理得，(3h)2 h2 100 2 2h100cos 60，

6、即 h 2 50 h5 0000，解得h50 或h 100(舍去 )，故水柱的高度是50 m. 2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾 斜角为 30的山坡向山顶走1 000 m到达S点， 又测得山顶仰角DSB 75，则山高BC为_m. 解析：因为SAB45 30 15， SBAABCSBC45 (90 75)30， 所以ASB180SABSBA135 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在ABS中，AB AS sin 135 sin 30 1 000 2 2 1 2 1 0002， 所以BCABsin 45 1 0002 2 2 1 000(m) 答案： 1 000

7、 测量角度问题 典例 如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(33) n mile 的两个观测点 现位于A点北偏东 45方向、B点北偏西 60 方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B 点相距 203 n mile 的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 n mile/h ，则该救援船到达D点需要多长时间？ 解 由题意，知AB5(33) n mile， DBA90 60 30，DAB90 45 45， ADB180 (45 30)105. 在DAB中，由正弦定理得 BD sinDAB AB sinADB ， 即BD ABsinDAB sinADB 533sin 4

8、5 sin 105 533sin 45 sin 45 cos 60 cos 45sin 60 103 n mile. 又DBCDBAABC 60，BC203 n mile， 在DBC中，由余弦定理，得 CDBD 2 BC 22BD BCcosDBC 3001 200 2103203 1 2 30 n mile， 则救援船到达D点需要的时间为 30 301 h. 测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 筑物的视角等 解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角 形中已知哪些量， 需要求

9、哪些量 通常是根据题意， 从实际问题中抽象出一个或几个三角形， 然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解 活学活用 在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(31)n mile 的B处有一艘走私船， 在A处北偏西75的方向， 距离A 2 n mile 的C处的缉私船奉命以103 n mile 的速度追截 走私船此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿 什么方向能最快追上走私船？ 解：设缉私船用t h 在D处追上走私船，画出示意图， 则有CD103t，BD10t， 在ABC中，AB31，AC2，BAC120， 由余弦定理， 得BC 2A

10、B2 AC22ABACcosBAC(3 1)22 22 ( 31)2cos 120 6， BC6，且 sinABC AC BCsin BAC 2 6 3 2 2 2 ， ABC45，BC与正北方向成90角 CBD 90 30 120 ， 在 BCD中 ， 由 正 弦 定 理 ， 得sinBCD BDsinCBD CD 10tsin 120 103t 1 2， BCD30 .即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船. 测量距离问题 题点一：两点间不可通又不可视 1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用 经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A

11、，B两 点间的距离 即ABa 2 b22abcos . 若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长 解：在ABC中，由余弦定理得 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 AB2AC2BC 22AC BCcosACB， AB2400 260022 400600cos 60 280 000. AB2007 (m) 即A，B两点间的距离为2007 m. 题点二：两点间可视但有一点不可到达 2.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且 B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一 点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器， 测出ACB，CAB ，

12、在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB. 若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_ m. 解析：ABC 180 75 45 60， 所以由正弦定理得， AB sin C AC sin B， AB ACsin C sin B 60sin 45 sin 60 206(m) 即A，B两点间的距离为206 m. 答案： 206 题点三：两点都不可到达 3.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出 A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同 时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA .在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC

13、和BC，再在ABC中，应用余弦定 理计算出AB. 若测得CD 3 2 km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A， B两点间的距离 解：ADCADBCDB60，ACD60， DAC60， ACDC 3 2 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 在BCD中，DBC45，由正弦定理， 得BC DC sinDBCsin BDC 3 2 sin 45sin 30 6 4 . 在ABC中，由余弦定理，得 AB2AC2BC 22AC BCcos 45 3 4 3 82 3 2 6 4 2 2 3 8. AB 6 4 (km) A，B两点间的距离为 6 4 km. 当A，B两点之间的距离不

14、能直接测量时，求AB的距离分为以下三类： (1)两点间不可通又不可视(如图 )：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测 量，测出ACb，BCa以及ACB，利用余弦定理得： ABa2b22abcos . (2)两点间可视但不可到达(如图 )：可选取与B同侧的点C，测出BCa以及ABC和 ACB，先使用内角和定理求出BAC，再利用正弦定理求出AB. (3)两点都不可到达(如图 )：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取 两点C，D，测出CDm，ACB，BCD，ADC，ADB，再在BCD中求出BC，在 ADC中求出AC，最后在ABC中，由余弦定理求出AB. 层级一学业水平达标 1.

15、学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为 4 m，A30，则 其跨度AB的长为 ( ) A 12 m B8 m C33 m D43 m 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：选 D 由题意知，AB30， 所以C180 30 30 120， 由正弦定理得， AB sin C AC sin B ， 即AB ACsin C sin B 4sin 120 sin 30 43. 2一艘船自西向东匀速航行，上午10 时到达一座灯塔P的南偏西75距塔 68 n mile 的M处，下午2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( ) A. 176 2 n mile/h

16、B346 n mile/h C. 172 2 n mile/h D342 n mile/h 解析：选 A 如图所示，在PMN中， PM sin 45 MN sin 120 ， MN 683 2 346，v MN 4 176 2 n mile/h. 3.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点仰角分别是 ，(AC， C 60或C120. 当C60时，A90，SABC 1 2AB AC23； 当C120时，A30，SABC 1 2AB ACsin A3. 故ABC的面积为23或3. (1)求三角形面积时，应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法， 这样不仅能

17、减少一些不必要的计算，还能使计算结果更加接近真实值 (2)事实上，在众多公式中，最常用的公式是SABC 1 2ab sin C 1 2bcsin A 1 2ac sin B，即给 出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积，反过来，给出三角形的面积利 用上述公式也可求得相应的边或角，应熟练应用此公式 活学活用 ABC中，若a，b，c的对角分别为A，B，C，且 2ABC，a3，ABC的面积 SABC 3 2 ，求边b的长和B的大小 解：ABC180，又 2ABC，A60 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 SABC 1 2bcsin A 3 2 ，sin A 3 2 ， b

18、c2. 又由余弦定理得3b2c2 2bccos Ab2c 22 2 1 2， 即b2c25. 解可得b1 或 2. 由正弦定理知 a sin A b sin B ， sin B bsin A a b 2. 当b1 时， sin B 1 2， B30； 当b2 时， sin B1，B90. 三角恒等式证明问题 典例 在ABC中，求证： accos B bccos A sin B sin A. 证明： 法一化角为边 左边 a ca 2c2b2 2ac b cb2c2a 2 2bc a2c2b2 2a 2b b2c 2 a 2 b a 2Rsin B 2Rsin A sin B sin A右边， 其

19、中R为ABC外接圆的半径 accos B bccos A sin B sin A . 法二化边为角 左边 sin A sin Ccos B sin B sin Ccos A sinBCsin Ccos B sinACsin Ccos A sin Bcos C sin Acos C sin B sin A 右边 (cos C0)， accos B bccos A sin B sin A. 1三角恒等式证明的三个基本原则 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)统一边角关系 (2)由繁推简 (3)目标明确，等价转化 2三角恒等式证明的基本方法 (1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系

20、，然后进行化简、变形 (2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒 等变形 活学活用 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.求证： cos B cos C cbcos A bccos A. 证明：法一：由正弦定理，得 cbcos A bccos A 2Rsin C2Rsin Bcos A 2Rsin B2Rsin Ccos A sinABsin Bcos A sinACsin Ccos A sin Acos B sin Acos C cos B cos C . 法二：由余弦定理，得 cbcos A bccos A c b2c2a 2 2c b b2c

21、 2 a 2 2b a 2 c 2 b2 2c b2a 2 c2 2b a 2 c 2 b2 2ac b2a 2 c2 2ab cos B cos C. 与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题 1在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知acos Bc b 2. (1)求角A的大小； (2)若bc6，a33，求BC边上的高 解： (1)由acos Bcb 2及正弦定理可得， sin Acos B sin C sin B 2 ， 因为 sin C sin(AB)sin Acos Bcos Asin B， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 sin B

22、2 cos Asin B0. 因为 sin B0，所以 cos A 1 2， 因为 0C，则C为锐角，故C 4. 3在ABC中，a15，b20，A30，则 cos B ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A 5 3 B. 2 3 C 5 3 D. 5 3 解析：选 A 因为 a sin A b sin B，所以 15 sin 30 20 sin B，解得 sin B 2 3.因为 ba， 所以BA， 故B有两解，所以cos B 5 3 . 4 在ABC中，已知 (bc)(ca)(ab)4 56， 则 sin Asin Bsin C等于 ( ) A 654 B753 C357 D

23、456 解析：选 B (bc) (ca)(ab)456， bc 4 ca 5 ab 6 .令 bc 4 ca 5 ab 6 k(k0)， 则 bc4k， ca5k， ab6k， 解得 a 7 2k， b 5 2k， c 3 2k. sin Asin Bsin Cabc753. 5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 sin 2A 2 cb 2c ，则ABC的形 状为 ( ) A等边三角形B直角三角形 C等腰三角形D等腰直角三角形 解析：选 B 由已知可得 1cos A 2 1 2 b 2c ， 即 cos Ab c，b ccos A. 法一：由余弦定理得cos A b 2 c 2

24、 a 2 2bc ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则bc b2c2a2 2bc ， 所以c2a2b2，由此知ABC为直角三角形 法二：由正弦定理，得 sin Bsin Ccos A在ABC中， sin Bsin(AC)， 从而有 sin Acos Ccos Asin Csin Ccos A， 即 sin Acos C0.在ABC中， sin A0， 所以 cos C0.由此得C 2，故 ABC为直角三角形 6已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc162，则三角形 的面积为 ( ) A 22 B82 C.2 D. 2 2 解析：选 C a sin A b s

25、in B c sin C2R8， sin C c 8， SABC 1 2 absin C abc 16 16 2 16 2. 7在ABC中，三边长分别为a2，a，a2，最大角的正弦值为 3 2 ，则这个三角形 的面积为 ( ) A. 15 4 B. 153 4 C. 213 4 D. 353 4 解析：选B 三边不等，最大角大于60.设最大角为，故所对的边长为a2， sin 3 2 ，120.由余弦定理得 (a2)2(a2)2a 2a (a2)，即a 25a ，故a5， 故三边长为3,5,7，SABC 1 235sin 120 153 4 . 8.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD

26、,2AB3 BD，BC 2BD，则 sin C的值为 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. 3 3 B. 3 6 C. 6 3 D. 6 6 解析：选 D 设BDa，则BC2a，ABAD 3 2 a. 在ABD中，由余弦定理，得 cos A AB2AD 2 BD 2 2ABAD 3 2 a 2 3 2 a 2 a 2 2 3 2 a 3 2 a 1 3. 又A为ABC的内角， sin A 22 3 . 在ABC中，由正弦定理得， BC sin A AB sin C . sin C AB BCsin A 3 2 a 2a 22 3 6 6 . 二、填空题 (本大题共7 小题，多

27、空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分把答案填 在题中横线上 ) 9在ABC中，已知 a cos A b cos B c cos C ，则这个三角形的形状是_ 解析：由正弦定理 a sin A b sin B c sin C得 sin A cos A sin B cos B sin C cos C，tan A tan Btan C， ABC，三角形ABC为等边三角形 答案：等边三角形 10在ABC中，B30，C120，则A_，abc_. 解析：A180BC 30，由正弦定理得abcsin A sin Bsin C， 即abcsin 30 sin 30 sin 120 113. 答案：

28、30113 11已知ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A 3， b 2acos B，c 1，则B_，ABC的面积等于 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：由正弦定理得sin B 2sin Acos B， 故 tan B 2sin A 2sin 3 3，又B(0， )，所以B 3 ， 又AB 3，则 ABC是正三角形， 所以SABC 1 2bc sin A 1 211 3 2 3 4 . 答案： 3 3 4 12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2a，BA60，则A _，三角形的形状为_ 解析：b 2a， 由正弦定理， 得 sin B2sin

29、 A，又BA60，sin(A 60)2sin A， 即 1 2sin A 3 2 cos A2sin A， tan A 3 3 .又 0A180，A30，B90. 答案： 30直角三角形 13已知三角形ABC中，BC边上的高与BC边长相等，则 AC AB AB AC BC2 ABAC的最大值 是_ 解析：由题意得， 1 2bcsin A 1 2a 2? bcsin Aa 2，因此 AC AB AB AC BC 2 ABAC b c c b a 2 bc b2c2a 2 bc a 22bc cos Aa 2 bc 2cos A 2sin A 22sinA 4 22，从而所求最大值是 22. 答案

30、： 22 14在ABC中，已知 cos A 3 5，cos B 5 13，b3，则 sin C _，c_. 解析：在ABC中， cos A 3 50， sin A 4 5. cos B 5 13 0， sin B 12 13. sin Csin (AB)sin(AB) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 sin Acos Bcos Asin B 4 5 5 13 3 5 12 13 56 65. 由正弦定理知 b sin B c sin C， c bsin C sin B 3 56 65 12 13 14 5 . 答案： 56 65 14 5 15太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公

31、路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏 西 15的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75的方向上，则小岛到公路的 距离是 _km. 解析：如图，CAB15， CBA180 75 105， ACB180 105 15 60， AB1(km) 由正弦定理得 BC sinCAB AB sinACB， BC 1 sin 60 sin 15 62 23 (km) 设C到直线AB的距离为d， 则dBCsin 75 62 23 62 4 3 6 (km) 答案： 3 6 三、解答题 (本大题共5小题，共74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16(14 分)在ABC中，a3，b26，B2A

32、. (1)求 cos A的值； (2)求c的值 解： (1)因为a3，b26，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得 3 sin A 26 sin 2A . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 2sin Acos A sin A 26 3 .故 cos A 6 3 . (2)由(1)知 cos A 6 3 ， 所以 sin A1cos 2A 3 3 . 又因为B2A， 所以 cos B2cos 2A1 1 3 . 所以 sin B1cos 2B 22 3 . 在ABC中， sin Csin(AB) sin Acos Bcos Asin B 53 9 . 所以c asin C sin

33、A 5. 17.(15分)如图， 观测站C在目标A的南偏西20方向， 经过A处有一条南偏东40走 向的公路， 在C处观测到与C相距 31 km 的B处有一人正沿此公路向 A处行走，走20 km 到达D处，此时测得C，D相距 21 km，求D，A 之间的距离 解：由已知，得CD21 km，BC31 km，BD20 km， 在BCD中，由余弦定理，得cosBDC CD2BD 2 BC 2 2CDBD 1 7. 设ADC，则 cos 1 7，sin 43 7 ， 在ACD中，由正弦定理得， AD sinACD CD sinCAD ， 得 AD sin60 21 sin 60， 所以AD 42 3 s

34、in(60) 42 3 3 2 cos 1 2sin 15(km)， 即所求D，A之间的距离为15 km. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 18.(15 分)如图，某海轮以60 海里 / 小时的速度航行，在A点测得 海面上油井P在南偏东60，向北航行40 分钟后到达B点，测得油井 P在南偏东 30， 海轮改为北偏东60的航向再行驶80 分钟到达C点， 求P，C间的距离 解：由题意知AB40，A120，ABP30， 所以APB30，所以AP40， 所以BP 2AB2 AP22APAB cos 120 4024022 4040 1 2 4023， 所以BP403. 又PBC90，BC60

35、 4 380， 所以PC2BP 2 BC 2(40 3)2 80 211 200， 所以PC407海里 19(15分 )已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 sin(2AB)2sin A2cos(AB)sin A. (1)求 a b的值； (2)若ABC的面积为 3 2 ，且a1，求c的值 解： (1)sin(2AB) 2sin A 2cos(AB)sin A， sinA(AB)2sin A2cos(AB)sin A， sin(AB)cos Acos(AB)sin A2sin A， sin B2sin A， 由正弦定理得b2a， a b 1 2. (2)a 1，b2，SAB

36、C 1 2ab sin C 1 212sin C 3 2 ， 所以 sin C 3 2 ，cos C 1 2， 当 cos C 1 2 时， cos C a2b2c2 2ab 14c2 4 1 2 ，c3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当 cos C 1 2时， cos C a2b2c2 2ab 14c 2 4 1 2， c7. 故c3或c7. 20(15分 )在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin A3cos A2. (1)求角A的大小； (2)现给出三个条件：a2；B 4； c3b.试从中选出两个可以确定ABC的条 件，写出你的方案并以此为依据求ABC的面积 (写出一种方案即可) 解： (1)依题意得2sinA 3 2，即 sinA 3 1， 0A ， 3 A 3 4 3 ，A 3 2， A 6. (2)参考方案：选择. 由正弦定理 a sin A b sin B，得 b asin B sin A 22. ABC， sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B 26 4 ， SABC 1 2ab sin C 1 222 2 26 4 31.