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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1柱坐标系 柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为 Q，用 (，)(0,0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数 组(，z)(zR)表示这样，我们建立了空间的点与有序数组(，z)之间的一种对应关 系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z)叫做点P的柱坐标，记 作P(，z)，其中0,02，zR. (2)空间点P的直角坐标 (x，y，z)与柱坐标 (，z)之间的变换公式为 xcos ， ysin ， zz. 将直角坐标化为柱坐标 设点A的直角坐标为 (1，3
2、，5)，求它的柱坐标 由公式求出，再由 tan y x求 . 由公式 xcos ， ysin ， zz， 得 2x2 y2， 即 212( 3)2 4，2. tan y x 3， 又x0，y0，点在第一象限 3 ， 点A的柱坐标为2， 3，5 . 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定和，尤其是，要注意求出tan 后， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 还要根据点所在象限确定的值 (的范围是已知点P的柱坐标为4， 3， 8 ，求它的直角坐 标 直接利用公式求解 由变换公式 xcos ， ysin ， zz 得 x4cos 32，y4sin 32 3，z8. 点P的直角坐标为(2,2
3、3，8) 已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 xcos ， ysin ， zz 即可 3点N的柱坐标为2， 2，3 ，求它的直角坐标 解：由变换公式 xcos ， ysin ， zz， 得 xcos 2cos 20， ysin 2sin 22， 故点N的直角坐标为 (0,2,3) 4已知点A的柱坐标为 (1， 2)，B的柱坐标为2， 2，1 ，求 A，B两点间距离 解：由xcos ，得xcos 1. 由ysin ，得ysin 0. A点的直角坐标为(1,0,2) 同理，B点的直角坐标为(0,2,1) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |AB| 1 0 2 0 2 2 2 1 2 6.
4、 故A，B两点间的距离为6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1设点M的直角坐标为 (1，3，2)，则它的柱坐标是( ) A. 2， 3， 2 B. 2， 2 3 ，2C. 2， 4 3 ，2D. 2， 5 3 ，2 解析：选 D 123 22，tan 3， 又x0，y0，M在第四象限， 5 3 ， 柱坐标是2， 5 3 ，2 . 2点P的柱坐标为8， 4 ，2 ，则点P与原点的距离为 ( ) A.17 B217 C417 D 817 解析：选 B 点P的直角坐标为 (42，42，2) 它与原点的距离为： 420 2 420 2 20 22 17. 3空间点P的柱坐标为 (，z)，关于点O(0
5、,0,0)的对称点的坐标为(0 )( ) A(，z) B(，z) C(，z) D(，z) 答案： C 4在直角坐标系中，(1,1,1)关于z轴对称点的柱坐标为( ) A.2， 3 4 ，1B.2， 4，1 C.2， 5 4 ，1D.2， 7 4 ， 1 解析：选 C (1,1,1)关于z轴的对称点为(1， 1,1)，它的柱坐标为2， 5 4 ，1 . 二、填空题 5设点的柱坐标为2， 6，7 ，则点 的直角坐标为 _ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：xcos 2cos 6 3. ysin 2sin 61. 直角坐标为(3， 1,7) 答案： (3，1,7) 6已知点M的直角坐标
6、为(1,0,5)，则它的柱坐标为_ 解析：x0，y0， tan 0，0. 12021. 柱坐标为 (1,0,5) 答案： (1,0,5) 7在空间的柱坐标系中，方程2 表示 _ 答案：中心轴为z轴，底半径为2 的圆柱面 三、解答题 8求点M(1,1,3)关于xOz平面对称点的柱坐标 解：点M(1,1,3)关于xOz平面的对称点为(1， 1,3) 由变换公式 xcos ， ysin ， zz 得 2 12 (1)2 2， 2. tan 1 1 1， 又x0，y0， 7 4 . 其关于xOz平面的对称点的柱坐标为2， 7 4 ，3 . 9已知点M的柱坐标为2， 4，1 ，求 M关于原点O对称的点的
7、柱坐标 解：M 2， 4，1 的直角坐标为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 x2cos 41， y2sin 41， z1， M关于原点O的对称点的直角坐标为(1， 1， 1) 2(1)2 (1)22， 2.tan 1 11， 又x0，y0， 5 4 . 其柱坐标为 2， 5 4 ， 1. 点M关于原点O对称的点的柱坐标为2， 5 4 ， 1 . 10建立适当的柱坐标系表示棱长为3 的正四面体各个顶点的坐标 解：以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极 轴，在平面BCD上建立极坐标系过O点与平面BCD垂直的线为z轴 过A作AA垂直于平面BCD，垂足为A， 则|BA| 3 2 3 2 3 3，|AA | 323 2 6， ABx90 30 60 3， 则A3， 3， 6 ， B(0,0,0)，C3， 6，0 ，D 3， 2，0 .