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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 第一讲 相似三角形的判定及有关性 对应学生用书P16 近两年高考中， 由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同但都主要考查相似 三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要 注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果在使用平行线分线段成比例 定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系 1.如图，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，CD2，E，F分 别为AD，BC上的点，且EF3，EFAB， 则梯形ABFE与梯形EFCD 的面积比为 _ 解析：由CD2，AB4，EF3， 得EF
2、 1 2 (CDAB)， EF是梯形ABCD的中位线， 则梯形ABFE与梯形EFCD有相同的高，设为h， 于是两梯形的面积比为 1 2(34)h 1 2(23)h7 5. 答案： 75 2.如图， 圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上 的射 影为E.若AB3AD，则 CE EO 的值为 _ 解析：连接AC，BC，则ACB90. 设AD2，则AB6， 于是BD4，OD 1. 如图，由射影定理得CD2ADBD8， 则CD22. 在 RtOCD中，DE ODCD OC 122 3 22 3 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则CEDC2DE28 8 9 8 3， EOOC
3、CE3 8 3 1 3. 因此 CE EO 8 3 1 3 8. 答案： 8 对应学生用书P16 平行线分线段相关定理 平行线等分线段定理、平行线分线段成比例定理，其实质是揭示一组平行线在与其相交 的直线上截得的线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、 计算线段的 长度， 也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中， 平行线等分线段定理是线 段的比为1 的特例 例 1 如图，在ABC中，DEBC，DHGC. 求证：EGBH. 证明 DEBC， AE AC AD AB. DHGC， AH AC AD AG . AEABACADAHAG. AE AH AG AB .EGBH
4、. 例 2 如图，直线l分别交ABC的边BC，CA，AB于点D，E，F，且AF 1 3AB ， BD 5 2BC ，试求 EC AE . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解 作CNAB交DF于点N，并作EGAB交BC于点G， 由平行截割定理，知 BF CN DB DC， CN AF EC AE， 两式相乘，得 BF CN CN AF DB DC EC AE， 即 EC AE BF AF DC DB . 又由AF 1 3 AB，得 BF AF 2， 由BD 5 2BC，得 DC DB 3 5， 所以 EC AE2 3 5 6 5 . 相似三角形的判定与性质 相似三角形的判定与性质揭示了
5、形状相同，大小不一定相等的两个三角形之间的边、 角关系其应用非常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线 段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系其中，三角形全等是三角形相似的特 殊情况 例 3 如图所示，AD、CF是ABC的两条高线，在AB上取一 点P，使APAD，再从P点引BC的平行线与AC交于点Q. 求证：PQCF. 证明 AD、CF是ABC的两条高线， ADBBFC90. 又BB，ABDCBF. AD CF AB CB. 又PQBC，APQABC. PQ BC AP AB. AP PQ AB BC. AD CF AP PQ. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风
6、萧萧整理 又APAD，CFPQ. 例 4 四边形ABCD中，A BCD，CE平分BCD，CEAD于点E，DE2AE， 若CED的面积为1，求四边形ABCE的面积 解 如图，延长CB、DA交于点F， 又CE平分BCD，CEAD. FCD为等腰三角形，E为FD的中点 SFCD 1 2 FDCE 1 22ED CE 2SCED2， EFED2AE. FAAE 1 4FD. 又ABCD， FBAFCD. SFBA SFCD ( FA FD) 2(1 4) 2 1 16. SFBA 1 16 SFCD 1 8. S四边形ABCESFCDSCEDSFBA 21 1 8 7 8. 射影定理 射影定理揭示了直
7、角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边之间的比例关 系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的 对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错 例 5 如图，在ABC中，ACB90，CDAB于D，DEAC 于E，EFAB于F. 求证：CE2BDDF. 证明 ACB90，DEAC， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 DEBC. BD CE AB AC. 同理：CDEF， CE DF AC AD . ACB90，CDAB， AC2ADAB. AC AD AB AC. CE DF BD CE. CE 2 BDDF. 对应学生用书P41 (时间：
8、90 分钟，满分： 120分) 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，满分50 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1如图，已知AABBCC，ABBC1 3，那么下列等式成立的是( ) AAB2ABB3ABBC CBCBCDABAB 解析：AABBCC， AB BC AB BC 1 3. 3ABBC. 答案： B 2.如图，ACB90 .CDAB于D，AD3、CD2，则ACBC的值 是( ) A 32 B94 C.32 D.23 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： RtACDRtCBD， AC BC AD CD 3 2. 答案： A 3在 RtAB
9、C中，CD为斜边AB上的高，若BD3 cm，AC 2 cm，则CD和BC的长分别为 ( ) A.3 cm 和 32 cm B1 cm 和3 cm C1 cm 和 32 cm D.3 cm 和 23 cm 解析：设ADx， 则由射影定理得x(x3)4， 即x1(负值舍去 )， 则CDADBD3(cm)， BCBDAB33123(cm) 答案： D 4如图，在ABC中，BAC90，AD是斜边BC上的高，DE是 ACD的高，且AC5，CD2，则DE的值为 ( ) A. 221 5 B. 21 5 C. 321 5 D. 212 5 解析：AC2CDBC， 即 522BC， BC 25 2 . ABB
10、C2AC2 252 4 52 521 2 . DE AB DC BC， DE 221 5 . 答案： A 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5如图所示，给出下列条件：BACD；ADCACB； AC CD AB BC； AC2ADAB.其中单独能够判定ABCACD的个数为 ( ) A 1 B2 C 3 D4 解析： 由BACD，再加上公共角AA，可得两个三角形相似；由ADC ACB，再加上公共角AA， 可得两个三角形相似； AC CD AB BC，而夹角不一定相等， 所以两个三角形不一定相似；AC2ADAB可得 AC AD AB AC，再加上公共角 AA，可 得两个三角形相似 答案： C
11、 6.如图，DEBC，SADES四边形 DBCE1 8，则ADDB的值为 ( ) A 14 B13 C12 D15 解析：由SADES四边形 DBCE 18 得SADESABC19. DEBC， ADEABC. (AD AB )2 SADE SABC 1 9. AD AB 1 3， AD DB 1 2. 答案： C 7ABC和DEF满足下列条件，其中不一定使ABC与DEF相似的是 ( ) AAD4538，C2622，E108 BAB1，AC1.5，BC2，DE12，EF8，DF16 CBCa，ACb，ABc，DEa，EFb，DFc DABAC，DEDF，AD40 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣
12、风萧萧整理 解析： A 中AD，BE 108， ABCDEF； B 中ABACBCEFDEDF2 34； ABCEFD； D 中 AB AC DE DF ，AD， ABCDEF； 而C中不能保证三边对应成比例 答案： C 8在 RtACB中，C90.CDAB于D.若BDAD14，则 tanBCD的值是 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D2 解析：由射影定理得 CD2ADBD，又BDAD14. 令BDx，则AD4x(x0)， CD24x2， CD 2x，tanBCD BD CD x 2x 1 2. 答案： C 9.在 ?ABCD中，E为CD上一点，DECE23，连接AE、BE、
13、 BD且AE、BD交于点F，则SDEFSEBFSABF( ) A 41025 B4925 C235 D2525 解析：ABCD， ABFEDF. DE AB DF FB 2 5. SDEF SABF( 2 5 )2 4 25. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又DEF和BEF等高 SDEF SEBF DF FB 2 5 4 10. 答案： A 10如图，已知ab，AF BF 3 5， BC CD3.则 AEEC( ) A. 12 5 B. 5 12 C. 7 5 D. 5 7 解析：ab， AE EC AG CD， AF BF AG BD. BC CD 3， BC3CD，BD4CD.
14、 又 AF BF 3 5， AG BD AF BF 3 5. AG 4CD 3 5. AG CD 12 5 . AE EC AG CD 12 5 . 答案： A 二、填空题 (本大题共 4 个小题，每小题5 分，满分 20 分把答案填写在题中的横线上) 11如图，D，E分别是ABC边AB，AC上的点，且DEBC，BD2AD，那么 ADE的周长ABC的周长等于 _ 解析：DEBC，ADEABC. BD2AD，AB3AD. AD AB 1 3 . ADE的周长 ABC的周长 AD AB 1 3. 答案： 1 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 12 如图，在ABC中，DEBC，DFAC，
15、AEAC35，DE 6， 则BF_. 解析：DEBC， DE BC AE AC， BCDE AC AE6 5 310， 又DFAC，DEFC6. BFBCFC4. 答案： 4 13如图，在ABC中，DEBC，BE与CD相交于点O，直线AO 与DE、BC分别交于N、M，若DNMC14，则NEBM _， AEEC_. 解析： OD OC DN MC 1 4 ， OE OB OD OC 1 4. NE BM OE OB 1 4. 又 DE BC OD OC 1 4， AE AC DE BC 1 4. AEEC13. 答案： 14 13 14阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区 (如
16、图所示 )，已知亮区一边 到窗下的墙角距离CE8.7 m，窗口高AB1.8 m，那么窗口底边离地面的高BC等于 _m. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：BDAE， BC AB CD DE . BC ABCD DE . AB1.8 m，DE2.7 m，CE8.7 m， CDCEDE8.72.76(m) BC 1.86 2.7 4(m) 答案： 4 三、解答题 (本大题共4个小题，满分50 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤 ) 15(本小题满分12 分)如图，ABC中，BC的中点为D，ADB 和ADC的平分线分别交AB、AC于点M、N. 求证：MNBC. 证明：MD
17、平分ADB， AD BD AM MB. ND平分ADC， AD DC AN NC. BDDC， AM MB AD BD AD DC AN NC. MNBC. 16(本小题满分12 分)如图，已知：ABC中，ABAC，AD是 中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF 于F，求证：BP 2PEPF. 证明：连接PC， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ABAC，AD是中线， AD是ABC的对称轴， 故PCPB， PCEABP. CFAB， PFCABP， 故PCEPFC， CPEFPC， EPCCPF， 故 PC PF PE PC， 即PC 2 PEPF， BP 2
18、 PEPF. 17(本小题满分12 分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是 BD上任意一点，过P点的直线分别交AB、DC于E、F，交DA、BC 的延长线于G、H. (1)求证：PEPGPFPH； (2)当过P点的直线绕点P旋转到F、H、C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给 出证明 解： (1)证明：ABCD， PE PF PB PD. ADBC， PH PG PB PD ， PE PF PH PG. PEPGPHPF. (2)关系式为PC 2 PEPG. 证明：由题意可得到右图， ABCD， PE PC PB PD. A DBC， PC PG PB PD. 积一时之跬步臻千里之遥程
19、 马鸣风萧萧整理 PE PC PC PG，即 PC 2 PEPG. 18(本小题满分14 分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在 一块上、下两底分别为10 m、20 m 的梯形空地上种植花木(如图 ) (1)他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单位为8 元 /m 2，当 AMD地带种满花后(图中阴影部分 )共花了 160元，请计算种满BMC地带所需的费用； (2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12 元/m 2 和 10 元 /m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？ 解： (1)四边形ABCD为梯形，ADBC. AMDCMB， SAMD SCMB ( AD BC) 21 4. 种植AMD地带花 费 160元， SAMD 160 8 20(m2) SCMB 80(m2) CMB地带的花费为808640元 (2)S ABM SAMD BM DM BC AD 2， SABM2SAMD40(m2) 同理：SDMC40(m2) 所剩资金为：1600160 640800元， 而 800(SABMSDMC)10(元/m 2) 故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金