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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 函数的单调性与导数 (45 分钟70 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 40 分) 1.(2017广州高二检测)函数 f(x)=x2-lnx 的单调递减区间为( ) A.(-1,1 B.(0,1 C.1,+) D.(0,+) 【解析】 选 B.由题意知 , 函数的定义域为(0,+), 又由 f(x)=x-0, 解得 00 恒成立 ,即 f(x)0 在 x(0,2 )上恒成立 , 所以 f(x)在(0,2 )上是增函数 . 3.下列函数中 ,在区间 (-1,1)上是减函数的是( ) A.y=2-3x 2 B.y=lnx C.y=D.y=sinx
2、【解析】 选 C.A 中 ,y=-6x, 当-10, 当 00 对 x(-1,1)恒成立 , 所以函数 y=sinx 在 (-1,1)上是增函数 . 4.设 f(x),g(x)在(a,b)上可导 ,且 f(x)g(x),则当 ag(x) B.f(x)g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)g(x)+f(b) 【解析】 选 C.令 (x)=f(x)-g(x), 则 (x)=f (x)-g(x), 因为 f(x)g(x), 所以(x)0,即函数(x)为(a,b)上的增函数 . 又 ag(x)+f(a). 5.(2016全国卷)若函数f(x)=x-sin2x+asinx 在 (- ,+)上单调递增
3、 ,则 a 的取值范围是 ( ) A.-1,1 B. C.D. 【解析】 选 C.方法一 :用特殊值法 : 取 a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx, f(x)=1-cos2x-cosx, 但 f(0)=1-1=-0)在(0,3)内不单调,则实数a 的取值范围是 ( ) A.aB.00)在(0,3)内不单调 , 所以 f(x)在(0,3)内有零点 . 而 f(x)=ax 2-2x 有零点 0, (a0), 所以 0 . 7.已知函数f(x)对定义域 R 内的任意x 都有 f(x)=f(4-x), 且当 x2 时,导函数 f (x)满足 (x-2)f (x)0.若 20 可得 x2 时
4、f(x)0, 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 f(x)在(2,+ )是增函数 . 因为 24,234-log2a2, 所以 f(4-log2a)2f(1) 【解析】 选 C.因为 (x-1)f(x) 0, 所以当 x1 时,f(x)0; 当 x0( 其中 f(x)是函数 f(x)的导函数 ),则下列不等式中不成立的是( ) A.ff C.f(0)0, 且 f (x)cosx+f(x)sinx=f (x)cosx-f(x)(cosx), 所以可构造函数g(x)=, 则 g(x)=0, 所以 g(x)为偶函数且在上单调递增 , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以有 g=
5、g=2f, g=g=f, g=f. 由函数单调性可知gg(0)=f(0), 所以 C 正确 . 二、填空题 (每小题 5 分,共 10 分) 9.已知 f(x)=ax 3+3x2-x+1 在 R 上是减函数 ,则 a 的取值范围是 . 【解析】 f(x)=3ax 2+6x-1. (1)当 f(x)-3 时 ,在 R 上存在一个区间,其上有 f(x)0, 所以 ,当 a-3 时,函数 f(x)在 R 上不是减函数. 综上 ,所求 a的取值范围是(-,-3. 答案 :(-,-3 10.若函数 f(x)=kx-lnx 在区间 (1,+)上单调递增 ,则 k 的取值范围是. 【解析】 由于 f(x)=
6、k-,f(x)=kx-lnx 在区间 (1,+)上单调递增 ? f (x)=k-0 在(1,+)上恒 成立 ,由于 k- 0,而 02 时,g(x)0,g(x)单调递增 .所以 x=2 时,g(x)取得极小值 -1,也是最小值 . 所以 f(x)=g(x)+ee-10.所以 f(x)的增区间为 (-,+),无减区间 . 12.(2017 天津高二检测)已知函数f(x)=x 3-ax-1. (1)若 f(x)在实数集R 上单调递增 ,求实数 a 的取值范围 . (2)是否存在实数a,使 f(x)在(-1,1)上单调递减 ?若存在 ,求出 a的取值范围 ;若不存在 ,请说明理由 . 【解析】 (1
7、)由已知 ,得 f(x)=3x 2-a. 因为 f(x)在(-,+ )上是单调增函数, 所以 f(x)=3x 2-a0 在(-,+)上恒成立 , 即 a3x2对 x(-,+)恒成立 . 因为 3x20,所以只需a0. 又 a=0 时,f(x)=3x 20,f(x)在实数集 R 上单调递增 ,所以 a0. (2)假设 f(x)=3x 2-a0 在(-1,1)上恒成立 , 则 a3x2在 x(-1,1)时恒成立 . 因为 -10,函数 f(x)单调递增 . 故当 a=-1 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1). (2)因为 f(x)=lnx-ax+-1, 所以 f(x)=-a+=-, x(0,+). 令 g(x)=ax2-x+1-a,x(0,+ ). 当 a=0 时,g(x)=-x+1,x (0,+), 当 x(0,1)时 ,g(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增 . 当 010, 所以当 x(0,1)时,g(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增 ; x时,g(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递减 . 综上所述 ,当 a=0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减 ,在(1,+)上单调递增 ; 当 0a时,函数f(x)在(0,1)上单调递减 ,在上单调递增 ,在上 单调递减 .