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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 5 分钟训练 (预习类训练，可用于课前) 1.化简 sin 12 25 cos 6 11 -cos 12 11 sin 6 5 的值是 ( ) A. 2 2 B. 2 2 C.-sin 12 D.sin 12 解析： 原式 =-sin 12 cos 6 5 +cos 12 sin 6 5 =sin( 6 5 - 12 )=sin 4 3 = 2 2 . 答案： B 2.（高考北京卷，理5）对任意的锐角、，下列不等关系中正确的是( ) A.sin( + )sin +sinB.sin( + ) cos +co
2、s C.cos( + )sin +sinD.cos( + )cos +cos 解析： 当 = =30时 ,可排除 A、 B选项 ,当 = =15时 ,代入 C选项中 ,即 0cos30 2sin15, 两边平方得 4 3 4sin215=432 2 30cos1 0.268,矛盾 .故选 D. 答案： D 3.(高考陕西卷，理13)cos43cos77 +sin43cos167 的值为 _. 解析： cos43 cos77+sin43cos167 =cos43cos77 -sin43sin77=cos(43 +77 )=cos120= 2 1 . 答案： 2 1 4.计算 tan20+tan4
3、0+3tan20tan40 =_. 解析： tan60=tan(20+40)=3 40tan20tan1 40tan20tan ， 则 tan20+tan40=3(1-tan20tan40)=3-3tan20tan40， 因此 tan20 +tan40+3tan20tan40=3. 答案：3 10 分钟训练 (强化类训练，可用于课中) 1.要使得 sin -3cos = m m 4 64 有意义，则m 的取值范围是 ( ) A.(-， 3 7 B.1，+ ) C.-1， 3 7 D.(-， -1 3 7 ，+) 解析： 由已知化简，得sin -3cos =2( 2 1 sin 2 3 cos
4、)=2sin( - 3 )， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2sin( - 3 )= m m 4 64 ，即 sin( - 3 )= m m 4 32 . -1sin( - 3 )1， -1 m m 4 32 1. 解不等式，可得到-1 m 3 7 . 答案： C 2.若在 ABC 中， 2cosBsinA=sinC，则 ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 解析： 在 ABC 中，由内角和定理A+B+C= ，可以得到 -(A+B)=C. 又由于 2cosBsinA=sinC， 2cosBsinA=sin -(A+B) =sin
5、(A+B)=sinAcosB+cosAsinB. 整理可得到cosBsinA=cosAsinB ， 移项可得sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)=0. 在 ABC 中， - A-B， A-B=0 ， 即得到 A=B. 因此三角形是等腰三角形. 答案： C 3.已知 tan1 tan1 =34，则 ) 4 tan( 1 的值等于 ( ) A.34B.34C.34D.34 解析： 在正切函数运算中，经常需要用到一个特殊的数字“1” ，因为 tan 4 =1，运算中要能 够把 1 与 tan 4 灵活代换 . 由 tan1 tan1 = tan 4 tan1 tan 4 tan =t
6、an( 4 - )， 可知， tan( 4 - )=34. 而 4 -与 4 +互为余角，则有 ) 4 tan( 1 =tan( 4 - )=34. 答案： A 4.在 ABC 中，已知tanA、tanB 是方程 3x2+8x-1=0 的两个根，则tanC 等于 ( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析： 由 tanA、tanB 是方程 3x2+8x-1=0 的两个根， 根据韦达定理，有tanA+tanB= 3 8 ，tanAtanB= 3 1 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则 tanC=tan -(A+B) =-tan(A+B)= ) 3 1 (1 3 8 tanta
7、n1 tantan BA BA =2. 答案： A 5.在 ABC 中，若 sinA= 5 3 ，cosB=- 13 5 ，则 sinC=_. 解析： 由 ABC 中， cosB=- 13 5 ，可知 B 为钝角， sinB=1-cos 2B= 13 12 cos1 2 B. 又由于 sinA= 5 3 ，可知 A 为锐角， cosA= 5 4 sin1 2 A. sinC=sin -(A+B) =sin(A+B)=sinAcosB-cosAsinB = 5 3 (- 13 5 )+ 5 4 13 12 = 65 33 . 答案： 65 33 6.求 15cos15sin 15cos15sin
8、 的值 . 解： 把原式分子、 分母同除以cos15， 有 115tan 115tan 15cos15sin 15cos15sin = 145tan15tan 45tan15tan =tan(15-45 )=tan(-30)=- 3 3 . 30 分钟训练 (巩固类训练，可用于课后) 1.sin( +75)+cos( +45 )-3cos( +15 )的值等于 ( ) A. 2 1 B. 2 3 C. 2 2 D.0 解析： sin( +75)+cos( +45)-3cos( +15) =sin( +15+60)+cos( +15 +30)-3cos( +15 ) =sin( +15)cos6
9、0 +cos( +15 )sin60 +cos( +15)cos30-sin( +15)sin30-3cos( +15) = 2 1 sin( +15)+ 2 3 cos( +15)+ 2 3 cos( +15)- 2 1 sin( +15)-3cos( +15)=0. 答案： D 2.若 cos =a，sin =b，|a| 1，|b| 1，且(0， 2 )， (0， )，则 cos( + )的值的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析： 由 cos =a，(0， 2 )，得 sin = 22 1cos1. sin =b，(0， )，得
10、cos = 2 sin1= 2 1b. 所以 cos( + )=cos cos -sin sin = 22 11abba. 答案： B 3.3sinx-3cosx=32sin(x+ )， (-， )，则的值是( ) A.- 6 B. 6 C.- 6 5 D. 6 5 解析： 3sinx-3cosx=32(sinx 2 3 2 1 cosx)=32sin(x- 6 )， 所以 =- 6 . 答案： A 4.若 sin( + )cos -cos( + )sin =0，则 sin( +2 )+sin( -2 )等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.1 解析： 由 sin( + )cos -co
11、s( + )sin =0， 可得 sin( + )- =sin =0，而 sin( +2 )+sin( -2 ) =(sin cos2 +cos sin2 )+(sin cos2 -cos sin2 )=2sin cos2 =0. 答案： C 5.ABC 中， cosA= 5 3 ，且 cosB= 13 5 ，则 cosC 等于 ( ) A. 65 33 B. 65 33 C. 65 63 D. 65 63 解析： 由 ABC 中， cosA= 5 3 ，可知 A 为锐角， sinA=1-cos 2A= 5 4 cos1 2 A.由于 cosB= 13 5 ，可知 B也为锐角 . sinB=
12、13 12 cos1 2 B. cosC=cos -(A+B) =-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB= 5 4 13 12 5 3 13 5 = 65 33 . 答案： B 6.已知 ABC 中， sinAsinBcosAcosB，则此三角形外心位于它的( ) A.内部B.外部C.一边上D.不同于以上结论 解析： 由 ABC 中， sinAsinBcosAcosB，所以 cos(A+B) 0， 得到 cosC0，因此 C 为钝角 .在钝角三角形中，外心位于三角形外部. 答案： B 7.(2006 高考重庆卷，理13)已知、 ( 4 3 ， )，sin( + )=- 5 3
13、，sin( - 4 )= 13 12 ，则cos( 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 + 4 )=_. 解析： 、 ( 4 3 , ), 2 3 + 2 ,cos( + )= 5 4 . 2 - 4 4 3 , cos( - 4 )= 13 5 . cos( + 4 )=cos( + )-( - 4 ) =cos( + )cos( - 4 )+sin( + )sin( - 4 ) = 5 4 ( 13 5 )+( 5 3 ) 13 12 = 65 56 . 答案： 65 56 8.函数 y=2sin( 3 -x)-cos( 6 +x)(x R)的最小值是 _. 解析： y=2sin 3
14、 cosx-2cos 3 sinx-cos 6 cosx+sin 6 sinx =3cosx-sinx 2 3 cosx+ 2 1 sinx = 2 3 cosx 2 1 sinx=cos(x- 6 ), 所以函数的最小值为-1. 答案： -1 9.如果、都是锐角，并且它们的正切分别为 2 1 ， 5 1 ， 8 1 ，求证：+ + =45. 证明： 由 tan = 2 1 ，tan = 5 1 ， 可知 tan( + )= 9 7 5 1 2 1 1 5 1 2 1 tantan1 tantan ? .由题意可知tan = 8 1 ， 则 tan( + + )=tan( + )+ = 8 1
15、 9 7 1 8 1 9 7 tan)tan(1 tan)tan( ? =1. 根据、都是锐角，且0tan = 2 1 1，0tan = 5 1 1， 0tan = 8 1 1， 可知 045， 045， 0 45. 得 0 + + 135. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以 + + =45. 10.求证： tan20tan30+tan30tan40+tan20 tan40=1. 证明： 由 tan60=tan(20 +40)=3 40tan20tan1 40tan20tan ， 可得 tan20 +tan40=3(1-tan20tan40). 所以原式左边 =tan20 tan
16、30+tan30 tan40+tan20tan40 = 3 3 (tan20+tan40)+tan20tan40 = 3 3 3(1-tan20tan40)+tan20 tan40 =1-tan20 tan40+tan20tan40 =1= 右边 . 原式得证 . 11.已知 sin = 5 5 ，sin = 10 10 ,且、都是锐角，求 +的值. 解： sin = 5 5 ,sin = 10 10 ，且、都是锐角， cos = 2 sin1= 5 52 ，cos = 2 sin1= 10 103 . cos( + )=cos cos -sin sin = 5 52 10 103 - 5 5 10 10 = 2 2 . 又 0 +，+ = 4 .