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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 函数的最大 (小)值与导数 (45 分钟70 分) 一、选择题 (每小题 5 分,共 40 分) 1.(2017济南高二检测)函数 f(x)=x 2ex+1 ,x-2,1的最大值为( ) A.4e-1B.1 C.e 2 D.3e2 【解析】 选 C.f(x)=xex+1(x+2), 令 f(x)=0 得 x=-2 或 x=0, 当 f(x)0 时,x0; 当 f(x) ,f(x)在是减函数 , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 是增函数 , 所以最小值为f=1+lna=3 ? a=e2. 【补偿训练】 (2017大庆高二检测)若函数y=x 3
2、+ x2+m 在-2,1上的最大值为,则 m 等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D. 【解题指南】 先求出函数y=x 3+ x2+m 在-2,1上的最大值 ,再依据题设条件可得到关于m 的 方程 ,解方程即得出m 的值 . 【解析】 选 C.y= =3x 2+3x=3x(x+1). 由 y=0,得 x=0 或 x=-1. 因为 f(0)=m,f(-1)=m+. f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2, 所以 f(1)=m+最大 .所以 m+=.所以 m=2. 4.已知 y=f(x) 是奇函数 ,当 x(0,2)时 ,f(x)=lnx-ax,当 x(-2,0)时,f(x)的最小值为
3、1,则 a 的值等于( ) A.B.C.D.1 【解析】 选 D.因为 f(x)是奇函数 , 所以 f(x)在(0,2)上的最大值为 -1. 当 x(0,2)时 ,f(x)=-a, 令 f(x)=0 得 x=, 又 a ,所以 00,f(x)在上单调递增 ; 当 2x时,f(x)4 B.a4 C.a0; 当m, 则实数 m 的取值范围是( ) A.m0; 当 00,当 x(-1,1)时 ,f(x)0 时,列表如下 : x -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 f(x) + 0 - f(x) -7a+b b -16a+b 由表可知 ,当 x=0 时,f(x)取极大值 , 也就是函数在 -1,2
4、上的最大值 , 所以 f(0)=3,即 b=3. 又 f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3f(-1), 所以 f(2)=-16a-29=3, 所以 a=-2. 综上可得 ,a=2,b=3 或 a=-2,b=-29. 【警示误区】 分类讨论 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化,从而导致最值的变化.所以解 决这类问题常需要分类讨论,并结合不等式的知识进行求解. 12.设 f(x)=lnx,g(x)=f(x)+f (x). (1)求 g(x)的单调区间和最小值. (2)求 a的取值范围 ,使得 g(a)-g(x)0 恒成立 . 【解析】 (1)由题设知f(x)=,g(x
5、)=lnx+, 所以 g (x)=,令 g(x)=0 得 x=1. 当 x(0,1)时 ,g(x)0,故 g(x)的单调递增区间是(1,+). 因此 ,x=1 是 g(x)在 (0,+ )上的惟一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 g(1)=1. (2)由 (1)知 g(x)的最小值为1,所以 ,g(a)-g(x)0 恒成立 ? g(a)-13, 所以函数f(x)的单调递减区间为 (-,-1),(3,+). (2)因为 f(-2)=8+12-18+a=2+a, f(2)=-8+12+18+a=22+a, 所以 f(2)f(-2). 因为在 (-1,3)上 f(x)0, 所以 f(x)在-1,2上单调递增 , 又由于 f(x)在-2,-1上单调递减 , 因此 f(2)和 f(-1)分别是 f(x)在区间 -2,2上的最大值和最小值, 于是有 22+a=20,解得 a=-2. 故 f(x)=-x 3+3x2+9x-2, 因此 f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数 f(x)在区间 -2,2上的最小值为-7.