高中数学第三章3.1椭圆教学案北师大版选修2.pdf

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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 椭_圆 1 1 椭圆及其标准方程 对应学生用书P43 椭圆的定义 设计游戏时，要考虑游戏的公平性某电视台少儿节目欲设计如下游戏规则是：参赛 选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦 点，用时少者获胜考验选手的反应能力与速度 问题 1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个 参赛选手所跑的路程相同吗？ 提示：相同 问题 2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义椭圆上的点到两焦点距离之和为定值 问题 3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？ 提示：不能椭

2、圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离 椭圆的定义 定义平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于 |F1F2|) 的点的集合叫作椭圆 焦点两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点 焦距两焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距 集合语言PM|MF1| |MF2| 2a,2a |F1F2| 椭圆的标准方程 在平面直角坐标系中，已知A(2,0)，B(2,0)，C(0,2)，D(0， 2) 问题 1：若动点P满足 |PA| |PB| 6，则P点的轨迹方程是什么？ 提示： x2 9 y 2 5 1. 问题 2：若动点P满足 |PC| |PD| 6，则动点P的轨迹方程是什么？ 积一时之跬步臻千里之

3、遥程 马鸣风萧萧整理 提示： y2 9 x 2 5 1. 椭圆的标准方程 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 x2 a2 y2 b21(a b0) y2 a2 x2 b21(a b0) 焦点坐标(c,0)(0，c) a、b、c的 关系 a 2 b2c2 1平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a， 当 2a|F1F2| 时，点M的轨迹是椭圆； 当 2a|F1F2| 时，点M的轨迹是一条线段F1F2； 当 2ab0)， 依题意，有 4 a21， 1 a 2 3 4b21， 解得a 24， b2 1. 若焦点在y轴上，设椭圆方程为 y2 a 2 x2 b2 1(a b0)，同理 a 21，

4、 b 24， 这与ab矛盾 故所求椭圆方程为 x2 4 y 21. 法二：设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn) 将A，B坐标代入得 4m1， m 3 4 n1， 解得 m 1 4， n 1， 故所求椭圆方程为 x2 4 y21. 椭圆的定义及应用 例 2 如图所示，已知椭圆的方程为 x2 4 y2 31，若点 P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两 个焦点，且PF1F2120，求PF1F2的面积 思路点拨 因为PF1F2120， |F1F2| 2c， 所以要求SPF1F2， 只要求 |PF1| 即可可 由椭圆的定义 |PF1| |PF2| 2a，并结合余弦定理求解 积一时之跬步臻千里之遥

5、程 马鸣风萧萧整理 精解详析 由已知a2，b3， 所以ca 2 b21， |F1F2| 2c2， 在PF1F2中，由余弦定理得 |PF2| 2| PF1| 2| F1F2| 22| PF1| |F1F2| cos 120， 即|PF2| 2| PF1| 242| PF1|. 由椭圆定义，得|PF1| |PF2| 4， 即|PF2| 4|PF1|. 将代入解得|PF1| 6 5 ， SPF1F2 1 2| PF1| |F1F2| sin 120 1 2 6 52 3 2 33 5 . 因此所求PF1F2的面积是 3 5 3. 一点通 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的F1PF2称为焦点三

6、角形，解关于椭圆中的 焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、 勾股定理等知 识对于求焦点三角形的面积，若已知F1PF2，可利用S 1 2| PF1| |PF2|sin F1PF2求面积， 这时可把 |PF1| |PF2| 看成一个整体，运用公式|PF1| 2| PF2| 2 4a22| PF1|PF2| 及余弦定 理求出 |PF1| |PF2| ，而无需单独求出|PF1| 和 |PF2| ，这样可以减少运算量 4平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA| |MB| 为定值，q：点M的轨迹 是以A，B为焦点的椭圆那么( ) Ap是q的充分不必要条件 Bp是q的

7、必要不充分条件 Cp是q的充要条件 Dp既不是q的充分条件，又不是q的必要条件 解析：若 |MA| |MB| 为定值，只有定值|AB| 时，点M轨迹才是椭圆故p为q的 必要不充分条件 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： B 5已知F1，F2为椭圆 x2 25 y2 9 1 的两个焦点， 过F1的直线交椭圆于A，B两点 若|AF2| |BF2| 12，则 |AB| _. 解析：由题意，知(|AF1| |AF2|) (|BF1| |BF2|) |AB| |AF2| |BF2| 2a2a， 又由a5，可得 |AB| (|AF2| |BF2|) 20，即 |AB| 8. 答案： 8 6点

8、P在椭圆 x2 4 y21 上，且PF1PF2，求SPF1F2. 解：点P在椭圆上， |PF1| |PF2| 4， 即|PF1| 2| PF2| 22| PF1|PF2| 16， 又PF1PF2， |PF1| 2| PF2| 2| F1F2| 212， |PF1|PF2| 2， SPF1F2 1 2| PF1|PF2| 1. 与椭圆有关的轨迹问题 例 3 已知圆B：(x1)2y216 及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平 分线l与线段CB的交点P的轨迹方程 思路点拨 P为AC垂直平分线上的点，则|PA| |PC| ，而BC为圆的半径，从而4 |PA| |PB| ，可得点P轨迹为

9、以A，B为焦点的椭圆 精解详析 如图所示，连接AP，l垂直平分AC， |AP| |CP|. |PB| |PA| |BP| |PC| 4， P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆 2a4,2c|AB| 2， a2，c1，b2a2c23. 点P的轨迹方程为 x2 4 y2 3 1. 一点通 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路： (1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程； (2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准 方程，求出其中a，b的值，得到标准方程 7ABC的两个顶点坐标分别是B(

10、0,6)和C(0， 6)，边AB，AC所在直线的斜率的乘 积是 2 3，求顶点 A的轨迹方程 解：设顶点A的坐标为 (x，y)，由题意得 y6 x y 6 x 2 3，化简整理，得 x 2 54 y 2 361， 又A，B，C是ABC的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，因此y 6，所以顶 点A的轨迹方程为 x2 54 y 2 361(y 6) 8已知动圆M过定点A(3,0)，并且在定圆B：(x 3)2y264 的内部与其相内切，求 动圆圆心M的轨迹方程 解：设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA| |MC| 得|MA| |MB| |MC| |MB| |BC| 8，即动圆圆心M到两定点A(3,0

11、)，B(3,0)的距 离之和等于定圆的半径， 动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆， 且 2a8,2c6，ba 2 c 2 7， M的轨迹方程是 x2 16 y2 7 1. 1用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若 焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax2By21(A0，B0，AB)求解 2解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上 3涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF1| |PF2| 2a求解，因此 回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应课时跟踪训练十

12、四 1椭圆 25x216y 21 的焦点坐标是 ( ) A(3,0) B( 1 3，0) C( 3 20，0) D(0， 3 20 ) 解析：椭圆的标准方程为 x2 1 25 y 2 1 16 1，故焦点在y轴上，其中a 2 1 16，b 2 1 25 ，所以c2 a2b2 1 16 1 25 9 400，故 c 3 20.所以该椭圆的焦点坐标为 (0， 3 20)，故选 D. 答案： D 2 若椭圆 x2 25 y2 9 1 上一点P到一个焦点的距离为5， 则P到另一个焦点的距离为( ) A 5 B6 C4 D1 解析：由椭圆的定义知a5，点P到两个焦点的距离之和为2a10.因为点P到一个焦

13、 点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为1055，故选 A. 答案： A 3已知椭圆的焦点F1(1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2| 是|PF1| 与|PF2| 的 等差中项，则该椭圆的标准方程为( ) A. x2 16 y 2 9 1 B. x2 16 y2 12 1 C.x 2 4 y2 3 1 D. x2 3 y2 4 1 解析：F1( 1,0)，F2(1,0)， |F1F2| 2， 又 |F1F2| 是|PF1| 与|PF2| 的等差中项， |PF1| |PF2| 2|F1F2| 4，即 2a 4. 又c 1，b23. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 椭

14、圆的标准方程为 x2 4 y 2 3 1. 答案： C 4 两个焦点的坐标分别为( 2,0)， (2,0)， 并且经过点P 5 2， 3 2 的椭圆的标准方程是( ) A. x2 10 y 2 6 1 B. y2 10 x2 6 1 C. x2 9 4 y 2 25 4 1 D. y 2 9 4 x2 25 4 1 解析： 由椭圆定义知： 2a 5 22 2 3 2 2 5 22 2 3 2 23 10 2 10 2 210. a10.ba 2 c26. 答案： A 5椭圆 5x2ky25 的一个焦点是(0,2)，那么k_. 解析：椭圆方程可化为：x2 y2 5 k 1， 则a 2 5 k，b

15、 21，又 c 2， 5 k 14， k 1. 答案： 1 6设P是椭圆 x2 9 y 2 5 1 上一点，F1，F2是其左、 右两焦点， 若|PF1| |PF2| 8，则|OP| _. 解析：由题意，|PF1| |PF2| 6，两边平方得|PF1| 22| PF1| |PF2| |PF2| 236.因 为|PF1| |PF2| 8，所以 |PF1| 2 | PF2| 220.以 PF1，PF2为邻边做平行四边形，则|OP| 正 好是该平行四边形对角线长的一半由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和 等于四边长的平方和，即(2|OP|) 2(2c)22(| PF1| 2| PF2| 2

16、)所以 4| OP| 2(22)2220， 所以 |OP| 6. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案：6 7求以椭圆9x25y245 的焦点为焦点，且经过点M(2，6)的椭圆的标准方程 解：法一：方程9x25y 245 可化为 x2 5 y2 9 1. 则焦点是F1(0,2)，F2(0， 2) 设椭圆方程为 y 2 a 2 x2 b2 1( ab0)， M在椭圆上，2a|MF1| |MF2| 20 2 62 2 20 2 62 2 (232)(232) 43， a23，即a212. b2a 2 c2124 8. 椭圆的标准方程为 y2 12 x2 8 1. 法二：由题意知，焦点F1

17、(0,2)，F2(0， 2)，则 设所求椭圆方程为 y2 4 x2 1(0)， 将x2，y6代入，得 6 4 4 1， 解得 8， 2(舍去 ) 所求椭圆方程为 y2 12 x2 8 1. 8点P为椭圆 x2 4 y21 上一点，且F1PF2 60，求F1PF2的面积 解：由题意知，a2，b1，c3， |PF1| |PF2| 4. 在F1PF2中， |F1F2| 2| PF1| 2| PF2| 22| PF1|PF2|cos 60， 即 12|PF1| 2 | PF2| 2| PF1|PF2|. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 2 得： |PF1| 2| PF2| 22| PF1|P

18、F2| 16. 由得： |PF1|PF2| 4 3. SF1PF2 1 2| PF1|PF2|sin 60 1 2 4 3 3 2 3 3 . 12 椭圆的简单性质 对应学生用书P46 中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在 第 16 小时时它的轨迹是近地点200 km，远地点5 100 km 的椭圆，地球半径约为6 371 km. 问题 1：此时椭圆的长轴长是多少？ 提示： ac6 371 200， ac6 371 5 100 ? 2a18 042 (km) 问题 2：此时椭圆的离心率为多少？ 提示：a9 021，c2 450， ec a0.271 6. 椭

19、圆的简单性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图像 标准方程 x2 a 2 y2 b21(a b 0) y2 a 2 x2 b21(a b0) 范围|x| a，|y| b |x| b，|y| a 顶点(a,0)，(0，b)(0，a)，(b,0) 对称性对称轴：坐标轴对称中心： (0,0) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 轴长长轴长 2a，短轴长 2b 离心率e c a (0,1) 1椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点B1和B2到中心O的距离最近；长轴 端点A1和A2到中心O的距离最远 2椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(a,0)与焦点F1(c,0)的距离，分别是椭

20、圆 上的点与焦点F1的最大距离和最小距离 3椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭 圆的圆扁程度因为a 2 b2c2，所以 b a 1e 2，因此，当 e越趋近于1 时， b a越接近于 0， 椭圆越扁；当e越趋近于0 时， b a越接近于 1，椭圆越接近于圆当且仅当ab时，c0， 两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a 2.所以 e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆 对应学生用书P47 椭圆的简单性质 例 1 已知椭圆x2(m3)y2m(m 0)的离心率e 3 2 ，求m的值及椭圆的长轴和短 轴的长、焦点坐标、顶点坐标 思路点拨 将椭圆方程化为标准形式，用m表示

21、出a，b，c，再由e 3 2 ，求出m的 值，然后再求2a,2b，焦点坐标，顶点坐标 精解详析 椭圆方程可化为 x2 m y2 m m3 1(m0)， m m m3 mm 2 m3 0， m m m3，即 a 2m， b2 m m3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 ca2b2 mm2 m3 . 由e 3 2 ，得 m2 m3 3 2 ，解得m1， 椭圆的标准方程为x2y 2 1 4 1. a1，b 1 2， c 3 2 . 椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为 F1 3 2 ，0 ，F2 3 2 ，0 ， 顶点坐标分别为 A1(1,0)，A2(1,0)，B10， 1 2

22、 ，B20， 1 2 . 一点通 求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准 确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标 等几何性质 1已知椭圆C1： x2 12 y2 4 1， C2： x2 16 y 2 8 1，则 ( ) AC1与C2顶点相同BC1与C2长轴长相同 CC1与C2短轴长相同DC1与C2焦距相等 解析：由两个椭圆的标准方程可知，C1的顶点坐标为( 23，0)，(0， 2)，长轴长为 43，短轴长为4，焦距为42；C2的顶点坐标为(4,0)，(0， 22)，长轴长为8，短轴 长为 42，焦距为42，故选 D. 答案：

23、 D 2已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐 标是 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A(1,0) B(0， 1) C(7，0) D(0，7) 解析：由题意，椭圆的焦点在y轴上，a 4，b3，所以ca 2b2 42327， 所以椭圆的焦点坐标是(0，7)，故选 D. 答案： D 3已知椭圆方程为4x29y2 36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离 心率 解：把椭圆的方程化为标准方程 x2 9 y2 4 1. 可知此椭圆的焦点在x轴上，且长半轴长a3，短半轴长b2； 又得半焦距ca 2 b2 945. 因此，椭圆的长

24、轴长2a6，短轴长2b4；两个焦点的坐标分别是(5， 0)， (5， 0)；四个顶点的坐标分别是(3,0)，(3,0)，(0， 2)，(0,2)离心率e 5 3 . 椭圆性质的简单应用 例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)离心率e 2 3，短轴长为 85； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6. 思路点拨 (1)焦点的位置不确定，可设标准方程为 x2 a 2 y2 b2 1或 y2 a 2 x2 b21( ab0) (2)画出图形，结合图形明确已知条件 精解详析 (1)设椭圆的标准方程为 x2 a2 y2 b 2 1 或 y 2 a 2 x 2 b21(a

25、b0) 由已知得e c a 2 3，2b8 5， c2 a 2 a 2 b2 a 2 4 9， b280. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a 2144. 所求椭圆的标准方程为 x2 144 y2 801 或 y2 144 x2 801. (2)如图所示，A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线 (高)， 且OFc，A1A22b， cb3，a 2 b2c218， 故所求椭圆的方程为 x2 18 y2 9 1. 一点通 利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置 (2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程

26、) (3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系 式为b2a 2 c2，e c a等 4若点P(a,1)在椭圆 x2 2 y 2 3 1 的外部，则a的取值范围为 ( ) A. 23 3 ， 23 3 B. 23 3 ， ， 23 3 C. 4 3， D. ， 4 3 解析：因为点P在椭圆 x2 2 y2 3 1 的外部， 所以 a 2 2 12 3 1，解得a 23 3 或a 23 3 ，故选 B. 答案： B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点， 若椭圆的长轴长是6，且

27、cosOFA 2 3，则椭圆的标准方程为 _ 解析：椭圆的长轴长是6，cos OFA 2 3， 点A不是长轴的端点(是短轴的端点) |OF| c，|AF| a 3， c 3 2 3. c2，b 232225. 椭圆的方程是 x2 9 y 2 5 1或 x2 5 y2 91. 答案： x2 9 y 2 5 1 或 x2 5 y2 9 1 6已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为4，短轴长为85， 求椭圆的方程 解：由题意得， b45， ac4， a 2 b2c2， 解得 a 12， c8， 椭圆的方程为 x2 144 y2 80 1或 y2 144 x2 801. 椭圆的离心率

28、例 3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是 椭圆的顶点，P是椭圆上一点， 且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率 思路点拨 求椭圆的离心率就是设法建立a，c的关系式， 此题可利用 kPF2kAB以及a 2 c 2 b2来建立a，c的关系 精解详析 设椭圆的方程为 x2 a 2 y 2 b21(a b0) 则有F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)， 直线PF1的方程为xc， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 代入方程 x2 a2 y2 b21，得 y b2 a， Pc， b2 a .又PF2AB，kPF2kAB， b 2 2ac b a

29、 ，即b 2c. b24c2，a2c24c2， c2 a 2 1 5 . e 2 1 5，即 e 5 5 ， 所以椭圆的离心率为 5 5 . 一点通 1求椭圆离心率的方法： (1)直接求出a和c，再求e c a ，也可利用e1 b2 a 2求解； (2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理 成关于 c a 的方程，即为关于离心率e的方程，进而求解 2求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围 7.如图，A，B，C分别为椭圆 x2 a 2 y 2 b21(a b0)的顶点与焦点， 若ABC 90，则该椭圆的离心率为( ) A.

30、51 2 B. 3 1 2 C. 21 2 D. 51 4 解析：ABC90， |BC| 2| AB| 2| AC| 2， c2b2a 2 b2(ac)2，又b2a2c2， a 2c2ac 0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 e 2 e10，e 51 2 e 5 1 2 舍去 . 答案： A 1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位 置，求准a，b. 2求离心率e时，注意方程思想的运用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 对应课时跟踪训练十五 1若椭圆 x2 5 y2 m1 的离心率 e 10 5 ，则m的值是 ( ) A 3 B3 或 25

31、 3 C.15 D.5或 515 3 解析：若焦点在x轴上，则a5，由 c a 10 5 得c2， ba 2c23， mb23. 若焦点在y轴上，则b25，a 2 m. m5 m 2 5， m 25 3 . 答案： B 2(广东高考 )已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于 1 2，则 C的方程 是( ) A. x2 3 y 2 4 1 B. x2 4 y2 3 1 C.x 2 4 y2 2 1 D. x2 4 y2 3 1 解析：由右焦点为F(1,0)可知c1，因为离心率等于 1 2，即 c a 1 2，故 a2，由a 2 b2c2 知b23，故椭圆C的方程为 x2 4 y

32、2 3 1.故选D. 答案： D 3(新课标全国卷 )设F1，F2是椭圆E： x2 a 2 y2 b21(a b0)的左、右焦点，P为直线x 3a 2 上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D. 4 5 解析：由题意可得|PF2| |F1F2| ， 2 3 2a c2c. 3a4c.e 3 4 . 答案： C 4已知P(m，n)是椭圆x2y 2 2 1 上的一个动点，则m2n2的取值范围是( ) A(0,1 B1,2 C(0,2 D2， ) 解析：因为P(m，n)是椭圆x2 y2

33、2 1 上的一个动点，所以m2 n2 2 1，即n222m2， 所以m2n22m2，又 1m1，所以 12m22，所以 1m2n22，故选 B. 答案： B 5椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是_ 解析：由题意2b2c，即bc，即a 2 c2c， a 2 c 2c2，则 a 22 c 2. c2 a 2b0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一 点，若 2 AF uuuu r 12 F F uuuu r 0，椭圆的离心率等于 2 2 ，AOF2的面积为22，求椭圆的方程 解：如图， 2 AF uuu u r 12 F F uuuu r 0， AF2F1F2， 椭圆的离心率e c a 2 2 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 b2 1 2a 2，设 A(x，y)(x0，y0)， 由AF2F1F2知xc， A(x，y)代入椭圆方程得 c2 a2 y2 b21， y b2 a. AOF2的面积为 22， SAOF2 1 2c b2 a2 2， 而 c a 2 2 ，b28，a 22b2 16， 故椭圆的标准方程为： x2 16 y2 8 1.