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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 预习导航 课程目标学习脉络 1.理解直线的方向向量与平面的法向 量 2会用向量语言表述线线、线面、 面面的垂直、平行关系 3会利用向量运算证明两直线垂直， 或求两直线所成的角 4理解并会应用三垂线定理及其逆 定理 . 1用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)直线的方向向量 给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP ta，这时点 P的位置被t的值完全确定当t在实数集R 中取遍所有值时，点P的轨迹是通过点A且平 行于向量a的一条直线l，向量a
2、称为该直线的方向向量 (2)空间直线的向量参数方程 点A为直线l上的一个定点，a为直线l的一个方向向量，点P为直线l上任一点，t为 一个任意实数，以A为起点作向量AP ta. 对空间任一个确定的点O， 点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t， 满足等式OP OA ta. 如果在l上取AB a， 则式可化为OP OA tAB OA t(OB OA )， 即OP (1t)OA tOB . 以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相 同 (3)线段AB的中点M的向量表达式 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 设O是空间任一点，M是线段AB的中点，则OM 1
3、2 (OA OB ) 思考 1 空间一条直线的方向向量唯一吗？ 提示： 不唯一 2用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 (1)直线与直线平行 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2或l1与l2重合v1v2. (2)直线与平面平行 已知两个不共线向量v1，v2与平面共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l或l 在内存在两个实数x，y，使vxv1yv2. (3)平面与平面平行 已知两个不共线的向量v1，v2与平面共面，则或与重合v1，且v2. 思考 2 如何用向量的方法证明空间中的平行关系？ 提示： 空间中的平行关系本质上是线线平行，根据共线向量定理，只需证
4、明直线的方向 向量ab，即a b(R)此外，证明线面平行也可用共面向量定理，即只要证明这条直 线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可 3用向量运算证明两直线垂直或求两直线所成的角 (1)设两条直线所成的角为，则直线方向向量间的夹角与相等或互补； (2)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，直线l1与l2的夹角为，则 l1l2v1v2，cos |cosv1，v2|. 思考 3 两直线所成的角与这两直线方向向量的夹角有何关系？ 提示： 两直线方向向量的夹角为锐角时，两直线所成的角与其相等，两直线方向向量的 夹角为钝角时，两直线所成的角与其互补 4.平面的法向量及其应用 积一时之跬
5、步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 思考 4 一个平面的法向量是否唯一？ 提示： 不唯一，一个平面的法向量有无数多个 5三垂线定理及三垂线定理的逆定理 三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则 它也和这条斜线垂直 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这 条斜线在平面内的射影垂直 思考 5 三垂线定理及其逆定理有何区别与联系？ 提示： 联系：都是一面四线，三种垂直关系 区别：从条件或结论上看，三垂线定理是“线与射影垂直线与斜线垂直” ，而逆定 理恰好相反；从作用上看，三垂线定理是“共面直线垂直异面直线垂直” ，而逆定理恰 好相反