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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 课时作业 A 组基础巩固 1在复平面内， 向量AB 对应的复数是2i，向量CB 对应的复数是13i，则向量CA 对 应的复数为 ( ) A12i B 1 2i C34i D 34i 解析：向量AB 对应的复数是2 i， 则BA 对应的复数为2i， CA CB BA ， CA 对应的复数为(13i)(2i) 34i. 答案： D 2设z1 34i，z2 23i，则z1z2在复平面内对应的点位于( ) A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 解析：z1z2(34i)( 23i)57i， 故z1z2在复
2、平面内对应的点位于第四象限 答案： D 3设复数z1cos i，z2sin i，则 |z1z2| 的最大值为 ( ) A5 B.5 C6 D.6 解析：z1z2(cos sin )2i， 所以 |z1z2| cos sin 24 5sin 2， 因此当 sin 2 1 时， |z1z2| 取最大值6，故选 D. 答案： D 4设复数z满足 |z34i| |z 34i| ，则复数z在复平面上对应点的轨迹是( ) A圆B半圆 C直线D射线 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：设zxyi，x，yR， 由 |z34i| |z34i| 得 x3 2 y4 2 x3 2 y4 2， 化简可得3
3、x4y0， 所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线 答案： C 5设zC，且 |z1| |zi| 0，则 |zi| 的最小值为 ( ) A0 B1 C. 2 2 D. 1 2 解析：由 |z1| |zi| 知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以( 1,0)和(0,1)为端 点的线段的垂直平分线，即直线yx，而 |zi| 表示直线yx上的点到点 (0， 1)的距 离，其最小值等于点(0， 1)到直线yx的距离，d | 1| 1212 2 2 . 答案： C 6已知复数z1 12i，z2 1i，z3 34i，它们在复平面上对应的点分别为A，B， C，若OC OA OB ，(，R)，则的值是
4、_ 解析：由条件得OC (3， 4)，OA (1,2)，OB (1， 1)， 根据OC OA OB 得 (3， 4)( 1,2)(1， 1)(，2)， 3， 2 4， 解得 1， 2. 1. 答案： 1 7设实数x，y，满足以下关系：xyi35cos i(45sin )，则x2y2的最大值 是_ 解析：xyi (3 5cos )i(4 5sin )， x2y2 (3 5cos )2 (4 5sin )2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5030cos 40sin 5050cos()， 其中 sin 4 5 ，cos 3 5. (x2y2)max50 50100. 答案： 100 8在
5、平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO0，zA2 a 2i，z B 2a3i， zCbai，则实数ab为 _ 解析：因为OA OC OB ，所以 2 a 2 i(bai) 2a3i， 所以 2b 2a， a 2 a3， 得ab 4. 答案： 4 9计算： (1)(2 1 2i)( 1 22i)； (2)(3 2i)(32)i； (3) (12i)(ii2)|3 4i| ； (4)(6 3i)(32i)(34i) (2i) 解析： (1)原式 (2 1 2 ) ( 1 2 2)i 5 2 5 2 i. (2)原式 3(23 2)i33i. (3)原式 (12i)(i1)3242 (1
6、15)(21)i53i. (4)原式 633(2)32( 4) 1i 82i. 10在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2i， 12i.D为BC的中点 (1)求向量AD 对应的复数； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)求ABC的面积 解析： (1)由条件知在复平面内B(2,1)，C(1,2) 则D( 1 2， 3 2)，点 D对应的复数是 1 2 3 2 i， AD OD OA ( 1 2， 3 2)(1,0)( 1 2， 3 2)， AD 对应复数为 1 2 3 2i. (2)AB OB OA (1,1)， |AB | 2， AC OC OA (2,2)，|AC | 8 2
7、2， BC OC OB (3,1)，|BC | 10， |BC | 2 | AC | 2| AB | 2， ABC为直角三角形 SABC1 2| AB | |AC | 1 2 2222. B 组能力提升 1定义运算 ab cd |adbc| ，则对复数zxyi(x，yR，x0)，符合条件 z1 1 1 x的点Z在复平面上所表示的曲线的形状是( ) A椭圆B双曲线 C抛物线D圆 解析：由已知可得|z1|x， |x1yi| x. (x1) 2 y 2 x2.y22x1. 答案： C 2复数zxyi(x，yR)满足条件 |z4i| |z2| ，则 2 x 4y 的最小值为 ( ) A2 B4 C42
8、 D16 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：由|z4i| |z2| 得 |x(y 4)i| |x2yi| ， x2 (y 4) 2(x2)2y2， 即x 2y3， 2 x4y 2x 22y2 2x 2y22342， 当且仅当x2y 3 2时， 2 x4y 取得最小值42. 答案： C 3复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且 |z1z2| |z1z2| ，线段M1M2的中 点M对应的复数为43i，则 |z1| 2| z2| 2 等于 ( ) A10 B25 C100 D200 解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1z2| |z1z2| 知，以OM1 、OM2 为邻边的
9、平 行四边形是矩形(对角线相等 )，即M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点， |OM | 42325， |M1M2| 10. |z1| 2| z2| 2 | OM1 | 2| OM2 | 2| M1M2 | 2100. 答案： C 4已知复数z11 2i 和z243i 分别对应复平面内的A，B两点，求： (1)A，B两点间的距离； (2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式，并化为实数表示的一般形式 解析： (1)|A B | |z2z1| |(4 3i)(12i)| |3 5i| 34. 所以A，B两点间的距离为34. (2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A，B两点的距离相等， 设点Z对
10、应的复数为z， 由复数模的几何意义， 知 |z(12i)| |z(43i)|. 设zxyi(x，y R)，代入上式，得 |(x1)(y2)i| |(x4)(y3)i| ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即 (x1) 2(y2)2(x4)2 (y 3)2. 整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x 5y100. 所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z(12i)| |z(43i)| ， 实数表示的一 般形式为3x5y 100. 5设z1 12ai，z2ai，aR，Az|zz1|2，Bz|zz2| 22，已知 AB? ，求a的取值范围 解析：因为z112ai，z2ai， |zz1|2， 即 |z(12ai)|2， |zz2| 22， 即 |z(ai)| 22， 由复数减法及模的几何意义知，集合A是以 (1,2a)为圆心，2为半径的圆的内部的点对 应的复数，集合B是以 (a， 1)为圆心， 22为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若 AB? ，则两圆圆心距大于或等于半径和，即1a 2 2a1 23 2，解得a 2 或a 8 5.