《高中数学第三章3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案含解析新人教A版选修207.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案含解析新人教A版选修207.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 32.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 复数的加减法 已知复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR) 问题 1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？ 提示：两个复数相加减就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加减，即(abi) (cdi) (ac)(bd)i. 问题 2：复数的加法满足交换律和结合律吗？ 提示：满足 问题 3：以交换律进行说明 提示：z1z2(abi)(cdi) (ac)(bd)i， z2z1(cdi)(abi)(ca)(db)i， z1z2z2z1. 1复数的加、减法法则 设z1abi，z2cdi(a，b，
2、c，dR)， 则z1z2(ac)(bd)i， z1z2(ac)(bd)i. 2复数加法的运算律 (1)交换律：z1z2z2z1； (2)结合律： (z1z2)z3z1(z2z3) 对复数加、减法的理解 1把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项 式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就可以了 2复数的加、减法中规定，两复数相加、减，是实部与实部相加、减，虚部与虚部相 加、减，复数的加、减法可推广到多个复数相加、减的情形 3两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数例如，(32i)2i 3. 复数加、减法的几何意义 如图 1 OZ uuu u
3、r ， 2 OZ uuuu r 2 OZ uu uu r 分别与复数abi，cdi 对应 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 问题 1：试写出 1 OZ uu u u r ， 2 OZ uu uu r 及 1 OZ uuu u r 2 OZ uuuu r ， 1 OZ uu uu r 2 OZ uuu u r 的坐标 提示： 1 OZ uuu u r (a，b)， 2 OZ u uu u r (c，d)， 1 OZ uuu u r 2 OZ uuuu r (ac，bd)， 1 OZ uuu u r 2 OZ uuuu r (ac，bd) 问题 2：向量 1 OZ uu uu r 2 OZ
4、 uuu u r ， 1 OZ uuu u r 2 OZ uuuu r 对应的复数分别是什么？ 提示：向量 1 OZ uuu u r 2 OZ u uuu r 对应的复数是ac (bd)i， 也就是z1z2， 向量 1 OZ uuu u r 2 OZ uuuu r 对 应的复数是ac (bd)i，也就是z1z2. 复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数z1，z2对应的向量分别为 1 OZ uu u u r ， 2 OZ uuuu r ，以OZ1，OZ2为邻边 作平行四边形，则与z1z2对应的向量是OZ uuu r ，与z1z2对应的向量是 21 Z Z uu uu r . 对复数加、减
5、运算几何意义的认识 1若复平面内任意两点Z1，Z2所对应的复数分别是z1，z2，则Z1，Z2两点之间的距离 |Z1Z2| |z2z1|. 2复数加、减法的几何意义包含两方面：一是利用几何意义可以把几何图形的变换转 化为复数的运算， 使复数作为工具运用于几何之中；另一方面对于一些复数的运算也可以给 予几何解释 复数的加、减运算 计算： (1)(2 3i)(5i)； (2)(12i)(12i)； (3)(abi)(2a 3bi)3i(a，bR) (1)(23i)(5i)(25)(31)i32i. (2)(12i)(12i) (11)(22)i22i. (3)(abi)(2a 3bi)3i(a2a)
6、(b3b3)ia(4b3)i. 复数的加、减运算的技巧 (1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减 (2)把 i 看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项 计算下列各题 (1)(32i)(105i)(217i)； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)(12i)(23i)(34i)(45i) (2 0172 018i) 解： (1)原式 (3 102)(25 17)i 520i. (2)原式 (123 4 2 0152 0162 017)(2345 2 0162 017 2 018)i1 0091 010i. 复数加、减运算的几何意义 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，
7、顶点A，B，C分别对应于复数5 2i， 45i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长 如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点， 所以有zM zAzC 2 zBzD 2 ，所以zDzAzCzB 17i， 因为AC uuu r ：zCzA2(52i)72i， 所以 |AC u uu r | |7 2i| 722253， 因为BD uuu r ：zDzB(1 7i)(45i)512i，所以 |BD uuu r | |5 12i| 52 12213. 故点D对应的复数是17i，AC与BD的长分别是53和 13. 运用复数加、减运算的几何意义应注意的问题 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角
8、形法则是复数加法、减法几何意义的依 据利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及 其对应的复数注意向量AB uu u r 对应的复数是zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复数) 复数z112i，z2 2i，z3 12i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三 个顶点，如右图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数 解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数 为xyi(x，yR) 因为AD uuu r AD uu u r OD uuu r OA uu u r ，所以AD u uu r 对应的复数为(xyi)(12i)(
9、x1)(y2)i， 因为BC uuu r BC uuu r OC uu u r OB uuu r ，所以BC uuu r 对应的复数为(12i)( 2i)13i.因为AD uu u r BC uuu r ，所以它们对应的复数相等，即 x11， y2 3， 解得 x2， y 1. 故点D对应的复数为2i. 综合应用 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 设z1，z2C，已知 |z1| |z2| 1，|z1z2| 2，求 |z1z2|. 法一：设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，由题设知a 2b21， c2d21，(a c)2(bd)22. 又 (ac)2(bd)2a 2 2ac c
10、2b22bdd2， 2ac2bd0. |z1z2| 2(a c)2(bd)2 a 2 c 2 b2d2(2ac2bd)2， |z1z2| 2. 法二作出z1，z2对应的向量 1 OZ uuu u r ， 2 OZ uuuu r ，使 1 OZ uuu u r 2 OZ u uu u r OZ uuu r ， |z1| |z2| 1，又 1 OZ uuu u r ， 2 OZ u uu u r 不共线 (若 1 OZ uu uu r ， 2 OZ u uu u r 共线，则 |z1z2| 2 或 0 与题 设矛盾 )， 平行四边形OZ1ZZ2为菱形 又|z1z2| 2， Z1OZ290， 即四边
11、形OZ1ZZ2为正方形， 故|z1z2| 2. 与复数模有关的几个常见结论 在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1Z2对应的点为C，O为坐标原点 (1)则四边形OACB为平行四边形； (2)若|z1z2| |z1z2| ，则四边形OACB为矩形； (3)若|z1| |z2| ，则四边形OACB为菱形； (4)若|z1| |z2| 且|z1z2| |z1z2| ，则四边形OACB为正方形 已知 |z1| |z2| |z1z2| 1，求 |z1z2|. 解：法一：设z1abi， z2cdi(a，b，c，dR)， |z1| |z2| |z1z2| 1， a 2 b2c2d21， (ac)2(b
12、d)21. 由得 2ac2bd1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 |z1z2| ac 2 bd 2 a 2 c2b2d22ac2bd 3. 法二：设O为坐标原点， z1，z2，z1z2对应的点分别为A，B，C. |z1| |z2| |z1z2| 1， OAB是边长为 1 的正三角形， 四边形OACB是一个内角为60，边长为 1 的菱形， 且|z1z2| 是菱形的较长的对角 线OC的长， |z1z2| |OC| |OA| 2| AC| 22| OA|AC|cos 1203. 8.误将复数运算当作实数运算 Mz|z1| 1，Nz|zi| |zi| ，则MN_. 利用复数的几何意义解决问
13、题在复平面内，|z1| 1 的几何意义是以点(1,0)为 圆心，以1 为半径的圆 |zi| |zi| 的几何意义是到点A(0,1)和点B(0， 1)距离相等的 点的集合，是线段AB的垂直平分线，也就是x轴MN的几何意义是x轴与圆的公共点 对应的复数，故z0 或z 2， MN0， 2 0， 2 1本题若混淆复数运算与代数运算的不同，则会错误地将集合M和N化简为M z|z 1 1，N z|zi (zi)，从而造成解题错误 2在复数运算中，若zabi，则 |z| a 2b2.要注意与实数运算中的绝对值运算的 区别 已知复数z满足z|z| 28i，则复数z_. 解析：法一：设zabi(a，bR)， 积
14、一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 则|z| a 2 b2， 代入方程得abia 2b228i， aa2b22， b8， 解得 a 15， b8. z 158i. 法二：原式可化为z2|z| 8i， |z| R， 2|z| 是z的实部， 于是 |z| 2 |z| 282， 即|z| 2684| z| |z| 2， | z| 17. 代入z2|z| 8i，得z 158i. 答案： 158i 1复数 (1 i)(2i)3i 等于 ( ) A 1i B1 i Ci D i 解析：选 A 原式 (12)(113)i 1i. 2在复平面内，AB uuu r ，AC uuu r 对应的复数分别为12i
15、， 2 3i，则BC uuu r 对应的复数 为( ) A 15i B 1 5i C34i D34i 解析：选 A BC uuu r AC uuu r AB uuu r (23i)(12i) 1 5i. 3实数x，y满足 (1i)x(1i)y2，则xy的值是 _ 解析：由题意得xy(xy)i2， xy2， xy0， 解得 x1， y1， xy1. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 1 4已知z是复数， |z| 3 且z3i 是纯虚数，则z_. 解析：设zabi，则abi3ia(b3)i 是纯虚数， a0，b30.又 |z| 3，b3，z3i. 答案： 3i 5已知z1(3xy)
16、(y4x)i，z2(4y 2x)(5x 3y)i(x，yR)，设zz1z2132i， 求z1，z2. 解：zz1z2 (3xy)(y4x)i i (5x3y)(x4y)i， 又z 132i，且x，yR， 5x 3y13， x4y 2， 解得 x 2， y 1， z1(321)(1 42)i 59i， z2 4(1)22i 87i. 一、选择题 1如下图， 在复平面内， 复数z1，z2对应的向量分别是OA ， OB ，则|z1z2| 等于 ( ) A 1 B.5 C2 D3 解析：选 B 由图象可知z1 22i，z2i， 所以z1z2 2i，|z1z2| 5. 2 (福建高考 )若(1i)(23
17、i)abi(a，bR， i 是虚数单位 )， 则a，b的值分别等于 ( ) A 3， 2 B3,2 C3， 3 D 1,4 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：选 A (1i)(23i)32iabi，所以a3，b 2. 3在复平面内的平行四边形ABCD中，AC 对应的复数是68i，BD 对应的复数是 46i，则DA 对应的复数是 ( ) A 214i B 17i C214i D 1 7i 解析：选 D 依据向量的平行四边形法则可得DA DC ， DC DA AC ，由 AC 对应的复数是6 8i，BD 对应的复数是 46i，依据复数加减法的几何意义可得DA 对应 的复数是 17i.
18、 4复数zxyi(x，yR)满足条件 |z4i| |z2| ，则 2 x4y 的最小值为 ( ) A 2 B4 C42 D16 解析：选 C 由 |z4i| |z2| ，得 |x(y4)i| |x2yi| ， x2(y4)2(x2)2y2， 即x2y3， 2 x4y2x22y2 2 x2y2 23 42. 当且仅当x2y 3 2时， 2 x 4y 取得最小值42. 5ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足 |zz1| |zz2| |zz3| ，则z对应的点是ABC的( ) A外心B内心 C重心D垂心 解析：选A 设复数z与复平面内的点Z相对应，由ABC的三个顶点所对应的
19、复数 分别为z1，z2，z3，及由 |zz1| |zz2| |zz3| 可知点Z到ABC的三个顶点的距离相 等，由三角形外心的定义可知，点Z即为ABC的外心 二、填空题 6设z1x2i，z23yi(x，yR)，且z1z25 6i，则z1z2_. 解析：z1z256i， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (x2i)(3yi)56i， x35， 2y 6， 即 x2， y8， z122i，z238i， z1z2(22i)(38i) 110i. 答案： 110i 7已知 |z| 5，且z24i 为纯虚数，则复数z_. 解析：设复数zxyi(x，yR)， 则z 24i(x2)(y4)i. 由题
20、意知 x2 0， y40， x2y25， x2， y1 或 x2， y 1， z2i. 答案： 2i 8已知复数z1 13i，z23i(i 为虚数单位 )，则在复平面内z1z2对应的点在第 _象限 解析：因为z1z2 22i，所以对应点 ( 2,2)在第二象限 答案：二 三、解答题 9.如右图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数 0,32i， 2 4i.求： (1)向量AO对应的复数； (2)向量CA对应的复数； (3)向量OB对应的复数 解： (1)因为AOOA，所以向量AO对应的复数为32i. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)因为CAOAOC ，所以向量CA
21、对应的复数为 (3 2i)(24i)52i. (3)因为OBOAOC ，所以向量OB对应的复数为 (3 2i)(24i)16i. 10已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2 cos 2 icos 2，其中 (0， )，设AB 对应的复数是 z. (1)求复数z； (2)若复数z对应的点P在直线y 1 2x 上，求的值 解： (1)点A，B对应的复数分别是 z1 sin2i，z2 cos2icos 2， 点A，B的坐标分别是A(sin2， 1)，B(cos 2 ，cos 2)， AB (cos 2 ，cos 2)(sin2，1)(cos 2 sin 2 ，cos 21)(1， 2sin 2 )， AB 对应的复数z 1(2sin2)i. (2)由(1)知点P的坐标是 (1， 2sin 2 )，代入y 1 2 x， 得 2sin2 1 2，即 sin 2 1 4， sin 1 2. 又(0， )， sin 1 2， 6或 5 6 .