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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.3.1 函数的单调性与导数 课时作业 A 组基础巩固 1已知 e为自然对数的底数，函数yxex的单调递增区间是( ) A1， ) B(， 1 C1， ) D (， 1 解析：y e x xe xex(x1)，由 y 0，x 1，故递增区间为1， ) 答案： A 2若f(x) ln x x ，ef(b) Bf(a)f(b) Cf(a)1 解析：f(x) 1ln x x2 ，当xe 时，f (x)f(b) 答案： A 3若函数f(x)x3ax 2 x 6在 (0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是( ) Aa1 Ba 1 Ca1 D 02 时，f(
2、x)0；当 00，则 cos x0，x20， f(x)0，f(x)为增函数 当x(e， )时， ln xln e1,1ln x0， f(x)0?x0 或x0，所以 f(x)在(0， )上是增函数，所 以有f(2)0，得函数f(x)的单调递增区间为( 1 2， )；由 y0，得函数f(x)的单调递减区间为 (0， 1 2)， 由于函数在区间(k1，k1)上不是单调函数， 所以 k1 1 2 k 1， k10， 解得： 1k 3 2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： 1k 3 2 4已知f(x)是偶函数，当x 0， 2 时，f(x)xsin x，若af(cos 1)，bf(cos
3、 2)，cf(cos 3)， 则a，b，c的大小关系为 _ 解析：由于函数为偶函数， 故bf(cos 2)f(cos 2)，cf(cos 3)f(cos 3)， 由于x 0， 2 ， f(x)sin xxcos x0，即函数在区间0， 2 上为增函数，据单位圆中三角函数线易得0 cos 2cos 1 cos 3 2，根据函数单调性可得 f(cos 2)f(cos 1)f(cos 3) 答案：bac 5(2016高考全国卷节选)已知函数f(x)(x2)e x a(x1)2. 讨论f(x)的单调性 解析：f(x) (x 1)e x2a (x1)(x1)(e x 2a) (i)设a0，则当x(， 1
4、)时，f(x)0； 当x(1， )时，f(x)0. 所以f (x)在(， 1)单调递减，在 (1， )单调递增 (ii)设a 0，由f(x) 0得x1 或xln(2a) 若a e 2 ，则f(x) (x 1)(e xe)， 所以f(x)在(， )单调递增 若a e 2，则 ln(2a ) 1， 故当x (， ln(2a)(1， )时，f(x)0； 当x(ln(2a)， 1)时，f(x) 0， 所以f(x)在(， ln(2a)， (1， )单调递增，在 (ln(2a)，1)单调递减 若a e 2，则 ln(2a ) 1， 故当x (， 1)(ln(2a)， )时，f(x)0； 当x(1，ln(2
5、a)时，f(x) 0， 所以f(x)在(， 1)，(ln(2a)， )单调递增，在 (1，ln(2a)单调递减 6已知函数f(x) 2xln xx22axa2，其中a0. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性； (2)证明：存在a(0,1)，使得f(x) 0恒成立，且f(x)0 在区间 (1， )内有唯一解 解析： (1)由已知，函数的定义域为(0， )， 所以g(x)f(x) 2(x1ln xa) 所以g (x)2 2 x 2x1 x ， 当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递减； 当x(1， )时，g(x)0，g(x)单调
6、递增 (2)证明：由f(x)2(x1ln xa)0，解得ax1 ln x. 令(x) 2xln xx22x(x1ln x)(x1ln x)2(1ln x)22xln x， 则(1)10，(e) 2(2e)0. 于是，存在x0(1，e)，使得(x0)0， 令a0x01ln x0u(x0)，其中u(x)x1 ln x(x1)， 由u(x)1 1 x0 知，函数 u(x)在区间 (1， )上单调递增 故 0u(1)a0u(x0)u(e)e21， 即a0(0,1)， 当aa0时，有f (x0)0， f(x0)(x0) 0， 再由 (1)知，f (x)在区间 (1， )上单调递增， 当x(1，x0)时，f(x)0，从而f(x)f(x0)0， 当x(x0， )时，f(x) 0， 从而f(x)f(x0) 0， 又当x (0,1时，f(x) (xa0)22xln x0， 故x(0， )时，f(x)0. 综上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0 在区间 (1， )内有唯一解