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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.3.1 利用导数判断函数的单调性 自我小测 1函数yxln x的单调递增区间为( ) A(0， ) B(， 1)，(1， ) C(1,0) D(1,1) 2设f(x)ax 3 bx2cxd(a0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是( ) Ab 2 4ac 0 Bb 0，c0 Cb0，c 0 Db23ac0 3若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间 a，b上的图 象可能是 ( ) 4如果函数f(x)2x3ax 21 在区间 (， 0)和(2， )内单调递增，在区间 (0,2)内单 调递减，则a的值为 ( ) A 1
2、 B 2 C 6 D 12 5已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数 )，下面四个图象 中，yf(x)的图象大致是 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 6函数yx3x25x5 的单调递增区间是_ 7若f(x)ax 3 x恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是 _ 8若函数yx3ax 24 在(0,2)内单调递减，则实数 a的取值范围是 _ 9求证：函数yxsin xcos x在区间 3 2 ， 5 2 上是增函数 10设函数f(x)ax a x2ln x. (1)若f(2)0，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取
3、值范围 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 参考答案 1. 解析：函数yxln x的定义域为 (0， ) 令f (x)1 1 x x1 x 0，得x0. 答案： A 2. 解析：f(x)3ax 22bx c，又a0，所以当b0，c0 时，f(x)0 恒成立 答案： C 3. 解析：因为导函数f(x)是增函数， 所以切线的斜率随着切点横坐标的增大逐渐增大 而 B 图中切线斜率逐渐减小，C 图中f(x)为常数， D 图中切线斜率先增大后减小 答案： A 4. 解析：f(x)6x22ax，令 6x22ax0， 当a 0时，解得 a 3 x 0，不合题意； 当a 0时，解得0x a 3 . 由题
4、意， a 32，所以 a 6. 答案： C 5. 解析：由函数yxf(x)的图象，知在 (， 1)上，f(x)0，f(x)在此区间上是增 函数；在 (1,0)上，f(x)0，f(x)在此区间上是减函数；在(0,1)上，f (x)0，f(x)在此区间 上是减函数；在(1， )上，f(x)0，f(x)在此区间上是增函数结合所给选项知应选C. 答案： C 6. 解析：令y 3x22x50，得x 5 3或 x 1. 答案：， 5 3 ，(1， ) 7. 解析：因为f(x)ax 3 x恰有三个单调区间， 所以f(x)0 有两个不相等的实数根， 即 3ax 210 有两个不相等的实数根， 所以 12a 0
5、，所以a0. 答案：a0 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 8. 解析：y 3x22ax， 由题意知3x22ax0 在区间 (0,2)内恒成立，即a 3 2x 在区间 (0,2) 上恒成立，所以a3. 答案： 3， ) 9. 证明：y sin xxcos xsin xxcos x. 因为x 3 2 ， 5 2 ，所以 cos x0. 所以y 0，即函数yxsin xcos x在 3 2 ， 5 2 上是增函数 10. 解： (1)因为f(x)的定义域为 (0， )， f(2)0，且f(x)a a x2 2 x， 所以a a 410，所以 a 4 5. 所以f(x) 4 5 4 5x2 2 x 2 5x2(2x 25x2)， 由f (x)0 结合x0， 得 0x 1 2或 x2； 由f (x)0 及x0，得 1 2 x2. 所以f(x)在区间0， 1 2 和(2， )内是增函数， 在区间 1 2，2 内是减函数 (2)若f(x)在定义域上是增函数， 则f (x)0 对x0 恒成立， 因为f(x)a a x2 2 x ax 22x a x2 ， 所以需x0 时ax 22x a 0恒成立 化为a 2x x21对 x0 恒成立 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 因为 2x x21 2 x 1 x 1，当且仅当x1 时取等号， 所以a1.