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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.3.3 函数的最大（小）值与导数 课时作业 A 组基础巩固 1函数f(x)xe x， x0,4的最大值是 ( ) A0 B. 1 e C. 4 e 4 D. 2 e2 解析：f(x) x ex e x xe x e x 2 1x e x ， 当x0,1)时，f(x)0，f(x)是增函数； 当x(1,2时，f(x)f(2)f(2)，m3，最小值为f(2) 37. 答案： A 3函数f(x)x33x(|x|0，即f(x)在 1,2上是增函数， f(x)maxf(2)223c20， c4. 答案： B 5函数f(x)x33x在区间 (a 2 12，a
2、)上有最小值，则实数a的取值范围是( ) A(1，11) B(1,2) C(1,2 D (1,4) 解析：f(x) 3x23，令f(x)0，得x 1. x (， 1)1(1,1)1(1， ) f(x)00 f(x)极小极大 f(x)在 R 上的极小值f(1) 2，极大值f(1)2. 令x3 3x 2，即x33x20，(x1)2(x2)0， x 1 或x2. f(x)在区间 (a 212， a)上有最小值，a 212 1 a2， 解得 1a2. 答案： C 6函数y ln x x 的最大值为 _ 解析：函数的定义域为x0. y 1ln x x2 ，令y 0 得xe，当 0xe时，f(x)0，当x
3、e 时，f(x) 0，y最大 ln e e 1 e . 答案： 1 e 7当x 1,1时，函数f(x) x2 e x的值域是 _ 解析：f(x) 2xe xx2 e x e x 2 2xx2 e x x2x ex . 令f(x)0 得x0 或x2(舍)，又f(0)0， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(1)e，f(1) 1 e，故 f(x)在(1x1)的值域为 0，e 答案： 0，e 8设函数f(x)ax 33x1(xR)，若对于任意的 x(0,1都有f(x)0成立， 则实数a的取值 范围为 _ 解析：因为x(0,1，f(x)0 可化为a 3 x2 1 x3. 设g(x) 3 x2
4、 1 x3. 则g(x) 312x x4 . 令g(x)0，得x 1 2 . 当 00； 当 1 20，得a 1 9. 所以当a 1 9时， f(x)在 2 3， 上存在单调递增区间， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即f(x)在 2 3， 上存在单调递增区间时，a的取值范围为 1 9， . (2)令f(x)0，得两根x1 118a 2 ， x2 118a 2 ， 所以f (x)在(，x1)，(x2， )上单调递减， 在(x1，x2)上单调递增 当 00，f(x)单调递增； 当 12 或a0， x0 得x1， 由 fx0， 得 00 时，求函数f(x)在1,2上的最小值 解析： (1
5、)f (x) 1 xa (x0)， 当a0 时，f(x) 1 x a0， 即函数f(x)的单调增区间为(0， ) 当a0 时，令f(x) 1 xa0，可得 x 1 a ， 当 00； 当x 1 a 时，f (x) 1ax x 0， 故函数f(x)的单调递增区间为0， 1 a ， 单调递减区间为 1 a ，. (2)当 1 a 1，即a1 时，函数f(x)在区间 1,2上是减函数，f(x)的最小值是f(2)ln 22a. 当 1 a 2，即 0a 1 2时，函数 f(x)在区间 1,2上是增函数，f(x)的最小值是f(1)a. 当 1 1 a2，即 1 2a1 时， 函数 f(x)在 1， 1
6、a 上是增函数， 在 1 a ，2 上是减函数 又f(2)f(1) ln 2a. 当 1 2 aln 2 时，最小值是f(1)a； 当 ln 2a1 时，最小值为f(2)ln 22a. 综上可知， 当 0aln 2 时，函数f(x)的最小值是a； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当aln 2 时，函数f(x)的最小值是ln 22a. 6设函数f(x)ax (1a 2)x2，其中 a0，区间 x|f(x) 0 (1)求I的长度 (注：区间 (，)的长度定义为)； (2)给定常数k(0,1)，当 1ka 1k时，求I长度的最小值 解：(1)因为方程ax(1a 2)x2 0(a 0)有两个
7、实根x10，x2 a 1a2， 故 f(x)0 的解集为 x|x1 xx2 因此区间I(0， a 1a 2)，区间 I的长度为 a 1a2. (2)设d(a) a 1a2，则 d(a) 1a 2 1a 22(a0) 令d(a)0，得a1.由于 0k1，故 当 1ka1 时，d (a)0，d(a)单调递增； 当 1a1k时，d (a)0，d(a)单调递减 所以当 1ka1k时，d(a)的最小值必定在a1k或a1k处取得 而 d1k d1k 1k 11k 2 1k 11k 2 2k2k3 2k2k31， 故d(1k)d(1k) 因此当a1k时，d(a)在区间 1k,1k上取得最小值 1k 2 2kk2，即 I长度的最小值为 1k 22kk2.