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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.3.3 导数的实际应用 自我小测 1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的 行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是( ) 2用边长为36 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面 积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成一个铁盒要使所做的铁盒容积最大，在 四个角截去的正方形的边长为( ) A 6 cm B 8 cm C10 cm D12 cm 3容积为108 L 的底面为正方形的长方体无盖水箱，要使用料最省，它的高为( ) A 2 dm B 3 dm C4 dm D6 dm 4设底面
2、为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 ( ) A. 3 VB. 3 2VC.34VD2 3 V 5某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量xt 与每吨产品的价格p(元/t) 之间的 关系式为p24 200 1 5x 2，且生产 x t 的成本为R50 000200x(元)，则该厂利润达到最大时 的月产量为 ( ) A 100 B 20 C400 D200 6圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高 与底面半径之比为_ 7某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元 )分别为L15.06x 0.15x2和L22x，其中x为销售
3、量 (单位：辆 )若该公司在这两地共销售15 辆车，则该公司 能获得的最大利润为_万元 8一张 1.4 m 高的图片挂在墙上，它的底边高于观察者的眼1.8 m，问观察者应站在距 离墙 _处看图，才能最清晰(即视角最大 ) 9一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比已知速度为每小时10千米时， 燃料费是每小时6 元，而其他与速度无关的费用是每小时96 元，问轮船的速度是多少时， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 航行 1 千米所需的费用总和为最小？ 10 “过低碳生活，创造绿色家园”为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋 的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑要建造可使用20 年的
4、隔热层，每厘米厚的隔热层 建造成本为6 万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元 )与隔热层厚度x(单位： cm) 满足关系：C(x) k 3x5(0 x 10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元，设f(x)为 隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求出最小值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 参考答案 1. 答案： A 2. 答案： A 3. 解析：设水箱的底面边长为a dm，高为h dm，则Va 2h108，即 h 108 a 2 . 用料最省，即表面积最小 S表S底S侧a 2
5、4ah a24a 108 a 2a 2432 a . S表 2a 432 a 2，令 S表 2a 432 a 2 0，解得 a6，此时h3(dm) 答案： B 4. 解析：设底面边长为x，则表面积S(x) 3 2 x2 43 x V(x0)，S(x) 3 x2 (x34V)， 令S(x)0，得唯一极值点x 3 4V. 答案： C 5. 解析：每月生产x吨时的利润为f(x) 24 200 1 5x 2 x(50 000200x) 1 5 x324 000x50 000(x0) 令f (x) 3 5x 224 0000 得 x1200，x2 200，舍去负值f(x)在 0， )内有唯 一的极大值点
6、，也是最大值点 答案： D 6. 解析：设圆柱形饮料罐的高为h，底面半径为R， 则表面积S2Rh2R2. 由VR 2h，得 h V R2， 则S(R)2R V R22 R 2 2V R 2R2. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 令S(R) 2V R 24R0， 解得R 3 V 2 ，从而h V R2 V 3 V 2 2 3 4V 2 3 V 2 ，即h2R.因为S(R)只有 一个极值， 所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，即hR2 1时所用材料最省 答案： 21 7. 解析：设在甲地销售m辆车，在乙地销售(15m)辆车， 则总利润y5.06m0.15m22(15m) 0.15
7、m23.06m30， 所以y 0.3m3.06. 令y 0，得m10.2. 当 0m10.2时，y 0； 当 10.2m15 时，y 0. 故当m10.2时，y取得极大值，也就是最大值 又由于m为正整数，且当m10时，y45.6； 当m11时，y45.51. 故该公司获得的最大利润为45.6万元 答案： 45.6 8. 解析：如图所示，设ODx，BOA，ADO，BDO，则，tan 3.2 x ，tan 1.8 x ， tan tan() tan tan 1tan tan 3.2 x 1.8 x 1 3.21.8 x2 1.4x x25.76(x0) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 令
8、(tan ) 1.4(x25.76)2x1.4x (x25.76) 2 0， 解得x2.4. 在x 2.4附近，导数值由正到负，在x2.4 m 处， tan 取得最大值，即视 角最大 答案： 2.4 m 9. 解：设速度为每小时v千米时的燃料费为每小时p元，由题意得pkv3，其中k 为比例常数，当v10 时，p6，解得k 6 10 30.006.于是有 p0.006v3. 设当速度为每小时v千米时， 行 1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用 是(0.006v396)元，而行1 千米所需时间为 1 v小时，所以行 1 千米的总费用为q 1 v(0.006 v3 96)0.006v2
9、96 v .q 0.012v 96 v2 0.012 v2 (v3 8 000)，令q 0，解得v20. 因当v20时，q 0； 当v20 时，q 0，所以当v20 时取得最小值 即当速度为20 千米 / 时时，航行1 千米所需费用总和最小 10. 解： (1)由题意知，C(0) k 5 8，解得 k40. 故C(x) 40 3x5. 所以f(x)6x20 40 3x 5 6x 800 3x 5 (0x10) (2)f(x)6 2 400 (3x5)2. 令f (x)0， 即 6 2 400 (3x5)2 0， 解得x5，x 25 3 (舍去 ) 当 0x5 时，f(x)0； 当 5x10 时，f (x)0. 故当x5 时，有f(x)最小值f(5)6 5 800 35570. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小，最小值为70 万元