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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.4 生活中的优化问题举例 课时作业 A 组基础巩固 1设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A. 3 VB.32VC.34VD2 3 V 解析：设底面边长为x，侧棱长为h，则 3 4 x2hV， S 3 2 x2 3xh 3 2 x2 43V x ， S3x 43V x2 ， 令S 0，x34V， x 3 4V时，S取得极小值也是最小值 答案： C 2一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s 4 3t 32t2，那么速度为 0 的时刻 是( ) A1 秒末B0 秒 C2 秒末D 0 秒末或 1 秒末
2、解析：由题意可得t0，s 4t24t，令s 0，解得t10，t21. 答案： D 3内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( ) A.R 2和 3 2R B. 5 5 R和 45 5 R C. 4 5R 和 7 5R D 以上都不对 解析：设矩形一边的长为x，则另一边的长为2R2x2，则l2x 4R2x2(00； 当 5 5 R0)， L 3 5x 224 000， 令L 0，得x240 000. x200. 经检验，当x200时利润最大 答案： A 5将边长为1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形， 记S 梯形的周长 2 梯形的面积 ，则S的最小值
3、是 ( ) A. 323 3 B. 163 3 C. 83 3 D. 43 3 解析：如图所示，设ADx m(0x1)， 则DEADx m， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 梯形的周长为x2(1x)1 3x(m)， 又SADE 3 4 x2(m2)， 梯形的面积为 3 4 3 4 x2(m 2)， s 43 3 x26x9 1x2 (0x1)， s 83 3 3x1x3 1x2 2 ， 令s 0 得x 1 3 或 3(舍去 )，当x(0， 1 3 )时，s 0，s递减，当x( 1 3，1)时， s 0，s 递增故当x 1 3时， s的最小值是 323 3 . 答案： A 6将长为 7
4、2 cm 的铁丝截成12 段，搭成一个正四棱柱的模型，以此为骨架做成一个容积最 大的容器，则容器的高为_ 解析：设容器的底面边长为x，高为h，则 8x4h72，h182x(00； 当 60，t(8,9)时，y0； 当x(9,11)时，y0)元 (1)将该厂日盈利额表示成日产量x件的函数； (2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(31.7) 解析： (1)由b与x的对应规律得次品率为b 2 100x(xN,1 x89) 故日产量x件中， 次品数为bx件，正品数为 (xbx)件，则日盈利额：Ta(xbx) a 2bx a(x 3x 100x)(xN，且 1 x89) (2)Ta1 31
5、00x3x 100x 2 a1 300 100x 2 令T 0，则 100x103，x100103， 当 1x100103时，T0，函数T单调递增； 当 1001030；当 3000，f(x)是递增的； x 2 3 ，2时，f (x)0)，且C(4,2) 因为 222p4，所以p 1 2. 故曲线段CO的方程为y 2 x(0x4，y0) 设P(y 2， y)(0y2)是曲线段OC上的任意一点， 则|PQ| 2y，|PN| 4y2， 所以工业园区面积S|PQ| |PN| (2y)(4y2)y32y24y8.则S 3y24y4. 令S 0，得y1 2 3 ，y2 2. 又因为00，S是y的增函数；当y( 2 3，2)时， S0； 当 r 2 xr时，f(x)0， 所以f r 2 是f(x)的最大值 因此，当x r 2时， S也取得最大值，最大值为f r 2 33 2 r2， 即梯形面积S的最大值为 33 2 r2.