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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.1 有理指数幂及其运算 1.整数指数 正整数指数幂的定义: 在初中我们学习了a n= 个n aaa?(nN *). 其中， a n 叫做 a的 n 次幂， a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数,并规定 a1=a. 在上述定义中，n 必须是整数，所以这样的幂叫做正整数指数幂. 正整数指数幂的运算满足如下法则： (1)a man=am+n ; (2)(a m)n=amn, n m a a =am-n(mn,a0); (3)(ab) m=ambm. 如此规定零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂.并且正整数指数 幂的运算法则对整数指
2、数幂仍然成立. 并且我们规定 : a 0=1(a0),a-n= n a 1 (a0,nN *). 2.分数指数 （1）根式 方根的概念： 我们知道，如果x2=a，那么x 叫做 a 的平方根（ quadratic root）;如果 x3=a，那么 x 叫做 a 的立方根（ cubic root）. 一般地，如果一个实数x 满足 xn=a(n1 且 nN *)，那么 x 叫做 a 的 n 次方根（ nthroot）. 当 n 是奇数时， 正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数.此时， a 的 n 次方 根只有一个，记为x= n a； 当 n 是偶数时，正数的n 次实数方根有两个
3、，这两个数互为相反数.此时，正数a 的正的n 次实数方根用符号 n a表示， 负的 n 次实数方根用符号 n a表示 .正的 n次实数方根与负的 n 次实数方根可以合并成 n a(a0). 由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 0=0. 根式的概念 式子 n a叫做根式（radical） ， 这里 n 叫做根指数（radical exponent） ， a叫做被开方数 （radicand） . 根式的性质 当 n 是奇数时， n a n=a；当 n 是偶数时，n a n=|a|=a, . 0, , 0, aa aa （2）分数指数幂 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧
4、整理 正数 a的正分数指数幂 我们规定： a n m = nm a(a0,m、nN *,n1). 正数 a的负分数指数幂 a n m = n m a 1 = nm a 1 (a0,m、n N *,n1). 0 的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义. （3）有理数指数幂的运算性质 ara s=ar+s(a0,r、sQ); (ar)s=ars(a0,r、sQ); (ab)r=a rbr (a0,b0,rQ). （4）无理数指数幂 教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义. 一般地，无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的实数. 高手笔记 1.对根式的学习，要注意与所学过的平
5、方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质 进行类比， 有利于我们正确地理解n 次方根的概念以及n 次根式的性质； 要能够灵活地将分 数指数幂与根式相互转化. 2.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母 的形式 ,如 a 3 2 b、 2 b a 都不是最简形式.应该注意， 分数指数的分子和分母与根式的根指数 和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒. 3.经常要用的公式: （1）a-b（ba） （ba） (a0,b0)； （2）a2abb（ab） 2(a0,b0)； （3）ab（ 3 a 3 b） （ 32322 baba）(a0,b0). 4. n
6、p mp a= nm a（a0） ,其中的 a0十分重要，无此条件则公式不成立.例如 6 2 )8( 3 8. 5.分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样.有理数指数幂的运算性质同样 适用于无理数指数幂. 名师解惑 1.为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？在以前学习的正整 数指数幂中运算法则a man=am-n 中为什么会限定mn ？ 剖析： （1）根据方根定义，若x 是 a(a0)的 n 次方根（ n 为偶数），则 xn=a，这时（ -x）n=a， 即-x 也是 a(a0)的 n 次方根 . 假设 x 是 a(an 的限定 ,m-n 可能等于0 或者 m
7、-nn 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 的限制， 才定义了0次幂和负整数指数幂.这样 m、n 的大小就任意了，这样有可能产生负整 数，也就把正整数指数幂扩充到了整数指数幂. 2.引入分数指数幂之后，任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？在分数指数幂a n m 中为什 么限定 a0？ 剖析： （1）引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即 n a=a n 1 ，这 时被开方数a 即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然a n 1 是 a n m 当 m=1 时的特例 . （2）分数指数幂的意义来源于根式，而要使 n a m 对任意的nN *且 n1
8、 都有意义，必须限 定 a0，否则 ,当 a=0 时，若 m=0 或 n m 为分母是偶数的负分数，a n m 没有意义；当a0” 或“ a0,b0”. 讲练互动 【例题 1】计算： （1） （ 27 125 ） 3 2 ； （2）0.008 3 2 ； （3） （ 2401 81 ） 4 3 ； （4） （2a+1） 0； （5） 6 5 -（ 5 3 ）-1 -1. 分析 :在幂的运算中， 首先观察幂的底数，如果幂的底数能化成幂的形式时如（1）（2） （3） ， 就先把幂的底数写成幂的形式，再进行幂的乘、除、乘方、开方运算，这样比较简便. 在幂的运算中，对于形如m0的式子，要注意对底数m
9、是否为零进行讨论，因为只有在m 0 时， m0才有意义；而对于形如（ a b ） -n 的式子，我们一般是先变形为（ b a ） n，然后再进 行运算 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解： （1） （ 27 125 ) 3 2 =（ 3 3 3 5 ） 3 2 = 2 2 3 5 = 2 2 5 3 = 25 9 . （2）0.008 3 2 =（0.2 3）3 2 =0.2 -2=（ 5 1 ） -2=52=25. （3） （ 2401 81 ） 4 3 = （ 4 4 7 3 ） 4 3 = 3 3 7 3 = 3 3 3 7 = 27 343 . （4） （2a+1） 0=
10、 . 2 1 , , 2 1 , 1 a a 无意义 （5） 6 5 -（ 5 3 ）-1 -1= （ 6 5 3 5 ） -1= （ 6 5 ） -1= 5 6 . 绿色通道 在进行有关幂的运算时，要注意化归思想的运用；另外化繁为简一直是我们解题的一条基本 原则 .熟悉幂的运算条件和幂的运算性质是正确解题的关键. 变式训练 1.计算： （1） （-3 8 3 ） 3 2 （ 0.002） 2 1 -10（5-2） -1（ 32） 0=_. （2） （ 4 1 ） 2 1 2 1 432 2 3 1 )(1.0 )4( ba ab =_. 解析： （1）原式（ -1） 3 2 （ 8 27 ）
11、 3 2 （ 500 1 ） 2 1 25 10 1 （ 2 3 ） 33 2 （ 1025） 2 1 -10（5+2） 1 9 167 120510510 9 4 ; （2）原式 2 4 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 1 10 44 ba=bb 25 1 25 1 2 1 . 答案： (1) 9 167 (2)b 25 1 【例题 2】化简 3 222 3 4)210() 3 2 3( 27 62 2的结果是 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. 3 5 B.-3 C.3 D.9 解析： 先将式子中的根式逐个化简，后进行运算. 原式 3 11 3 2 126) 3
12、 11 ( 27 832 3 +6=9. 答案： D 绿色通道 对多个根式组成的式子进行化简，我们解题的一般原则是先算根号内的，后进行根式运算. 在进行根式运算时，要注意根指数为奇数的情况，如 3 a，若 a0，则 3 a0，若 a0， 则 3 a0；但对根指数为偶数的根式，只有当a0 时，对 a才有意义 . 变式训练 2.化简： (1) 4 3 2 981=_; （2） 3 1 3 1 4 2 1 4 1 3223 )(baba abba (a0,b0)=_. 解析： （1）原式 4 2 1 3 2 2 )9(9 4 3 1 2 99 4 3 7 9 6 7 12 7 4 1 3 7 39)
13、9(； （2）原式 3 1 3 1 2 2 1 3 2 3 1 23 )( baab baba = 3 1 2 3 1 1 3 1 1 6 1 2 3 b a=ab -1. 答案： （1）3 6 7 （2）ab-1 【例题 3】已知 a= 27 8 ， b= 71 17 ，求 33 3 1 3 1 3 4 3 2 3 3 2 3 27 93 ba a baa baba 的值 . 分析 :化简、求值一类问题，往往是先将被求代数式化简，然后再代入已知字母的值，求得 代数式的值 . 解： a0，原式 = )27( )3(3 3 1 2 3 1 3 1 3 1 2 3 baa bbaa 3 1 3 1
14、 3 1 3 a ba . 又 a-27b0， 原式 = )27( )3()( 3 2 3 3 1 3 3 1 baa ba =a 3 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 = 3 2 ) 27 8 (= 2 ) 3 2 (=（ 2 3 ） 2= 4 9 . 黑色陷阱 本题容易直接将a、b 的值代入，后化简，因为运算烦琐，不容易做出正确的结果,所以在解 决问题时，一定要先审题，比较一下各种思路的优劣，然后再动手做题,这样才能养成良好 的思维习惯 . 变式训练 3.已知 a=-1，b= 71 63 ，求)21 ( 4 8 3 3 2 33 2 3 1 3 4 a b babaa baa
15、3 a=_. 解析： 原式 = 3 1 3 1 3 1 1 3 2 3 1 3 1 3 1 2 3 1 3 1 2)2(2)( )8( a ba a bbaa baa = 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 1 )2()( )8( ba baa =a. a=-1, 原式 =a=-1. 答案： -1 4.已知 x+y=12,xy=9 且 x0,y0,x-y0. x-y= 2 )(yx=xyyx4)( 2 =9412 2 =36,x 2 1 y 2 1 =9xy=3. 原式 )( )( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 yxyx yxyx = 36 32122 2 1 2 1 yx yyxx = 3 3 . 答案： 3 3