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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 1了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图象间的对 称关系 (重点 ) 2利用图象比较指数函数、对数函数增长的差异 3利用指数、对数函数的图象性质解决一些简单问题(难点 ) 基础初探 教材整理 1 指数函数与对数函数的关系 阅读教材 P104P105内容，完成下列问题 1反函数 (1)互为反函数的概念 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把 这个函数的自变量作为新的函数的因变量称这两个函数互为反函数 (2)反函数的记法：函数yf(x)的反函数通常用yf
2、 1(x)表示 2指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数ya x 与对数函数ylogax互为反函数 (2)指数函数ya x 与对数函数ylogax的图象关于yx对称 1判断 (正确的打“” ，错误的打“”) (2)函数ylog3x的反函数的值域为R.( ) (3)函数ye x 的图象与ylg x的图象关于yx对称 ( ) 【答案】(1)(2)(3) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】所以g(x)的图象一 定过点 (1,0) 【答案】(1,0) 小组合作型 指数函数与对数函数图象之间的关系 (1)已知a0，且a1，则函数ya x 与ylogax的图象只能是( ) A B C D
3、 (2)当a1 时，在同一坐标系中，函数ya x 与ylogax的图象是图中的( ) AB. CD. (3)将y2 x 的图象 _，再作关于直线yx对称的图象，可得到函数ylog2(x1) 的图象 ( ) A先向上平移一个单位长度 B先向右平移一个单位长度 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 C先向左平移一个单位长度 D先向下平移一个单位长度 【解析】(1)ya x 与ylogax的单调性一致，故排除A、B；当 0a1 时，排除 D； 当a1 时， C 正确 (2)因为a1 时，yax 1 a x ,00， (2)由y5x1，得x y1 5 ， f 1(x)x 1 5 (xR) 求函数的
4、反函数的主要步骤 1从yf(x)中解出x(y) 2将x，y互换 3标明反函数的定义域(即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写” 再练一题 2求下列函数的反函数 (2)y2x1. 【解】 (2)由y2x1，得x 1 2 (y1)， 对换x，y得y 1 2 x 1 2， 又xR 时，yR， y2x 1的反函数是y 1 2x 1 2(xR). 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 反函数性质的应用 已知x1是方程xlg x3 的一个根，x2是方程x10x3 的一个根，则x1x2 的值是 ( ) A 6 B3 C2 D1 【精彩点拨】两方程分别化为：lg x3x,10x3x.令f(x)lg x
5、，g(x)10 x，h(x)3 x.把三个函数图象画在同一坐标系中，则x1、x2分别是直线h(x)与f(x)、g(x)图象交点的横 坐标，注意f(x)与g(x)互为反函数 【解析】将已知的两个方程变形得 lg x3x,10x3x. 令f(x)lg x，g(x)10x， h(x)3x. 如图所示 记g(x)与h(x)的交点为A(x1，y1)， f(x)与h(x)的交点为B(x2，y2)，利用函数的性质易知A、B两点关于直线yx对称， 便有x1y2，x2y1的结论 将A点坐标代入直线方程，得y13x1， 再将y1x2代入上式，得x23x1， 即x1x23.故选 B. 【答案】B 解答本题可先根据两
6、个方程的形式特点，观察出从正面难以入手，可变换方程形式，用 数形结合的方法解决. 再练一题 3若把方程中的“lg x”改为“ log2x” ， “10 x”改为“ 2x” ，再求 x1x2的值 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解】将方程整理得2xx3，log2xx3.如图可知，a是指数函数y2x的图 象与直线yx 3交点A的横坐标，b是对数函数ylog2x的图象与直线yx 3交点 B的横坐标由于函数y2x与y log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线yx对称， 由题意可得出A、B两点也关于直线yx对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a) 而 A、B都在直线yx 3
7、上，ba3(A点坐标代入 )或ab3(B点坐标代入 )，故 ab3，即x1x23. 探究共研型 对数函数单调性的综合应用 探究 1 对数函数ylogax(a0，a1)的定义域是什么？其单调性如何？ 【提示】定义域为 (0， )当a1 时，函数ylogax在(0， )上单调递增，当 01， 2a0， 1a2. 【答案】B 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1函数f(x) log2(3x 1)的反函数yf 1(x)的定义域为 ( ) A(1， ) B0， ) C(0， ) D1， ) 【解析】yf 1(x)的定义域即为原函数的值域，3 x 11， log2(3x1)0. 【答案】C 2若函
8、数yf(x)是函数ya x(a 0，且a 1)的反函数，且f(2)1，则f(x)等于 ( ) A log2xB. 1 2x CD2 x2 【解析】函数ya x(a0，且 a1)的反函数是f(x)logax，又f(2) 1，即 loga21，所 以a2，故f(x)log2x. 【答案】A 3已知函数f(x)2 x1，则 f 1(4)_. 【解析】由 2 x14，得 x1，f 1(4)1. 【答案】1 4设函数f(x)log2x3，x1， )，则f 1(x)的定义域是 _ 【解析】x1， log2x0， log2x33， f 1(x)的定义域为 3， ) 【答案】3， ) 5已知函数f(x)a x b(a0 且a 1)的图象过 (1,7)，其反函数f 1(x)的图象过点 (4,0)， 求f(x)的表达式 【解】yf 1(x)过(4,0)点， yf(x)过点 (0,4)， 1b4，b3， 又f(x)a x b过点 (1,7)， ab7，a 4.f(x)4x3.