《高中数学第三章Ⅰ3.4函数的应用Ⅱ学案新人教B版必修99.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章Ⅰ3.4函数的应用Ⅱ学案新人教B版必修99.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 34 函数的应用 () 1理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义(重点 ) 2区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异(易混点 ) 3会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题(难点 ) 基础初探 教材整理几类不同增长的函数模型 阅读教材 P112P113，完成下列问题 1三种函数模型的性质 函数 性质 ya x (a1) y logax (a1) yxn (n0) 在(0， )上 的增减性 增函数增函数增函数 图象的变化 随x的增大逐渐与y 轴平行 随x的增大逐渐与x 轴平行 随n值的不同而不同 2.三种函数增长速度的比较 (1)在区间 (0
2、， )上，函数ya x(a1)，ylogax(a 1)和yxn(n0)都是增函数，但增长 速度不同，且不在同一个“档次”上 (2)随着x的增大，ya x(a1)的增长速度越来越快， 会超过并远远大于yxn(n0)的增长 速度，而ylogax(a1)的增长速度越来越慢 (3)存在一个x0，当xx0时，有a x xnlogax. 判断 (正确的打“” ，错误的打“”) (1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)不存在一个实数m，使得当xm时， 1.1xx100.( ) 【解析】(1).因为一次函数的图象是直线，所以
3、当x增加一个单位时，y增加或减少 的量为定值 (3).根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当xm时， 1.1xx100. 【答案】(1)(2)(3) 小组合作型 函数模型的增长差异 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) Ay2 016 x Byx2 016 Cylog2 016xDy2 016x (2)四个自变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下表： x 151015202530 y1226101226401626901 y22321 02432 7681.051063.361071.0710 9 y32102030405060 y424.3225.3225
4、.9076.3226.6446.907 则关于x呈指数型函数变化的变量是_ 【精彩点拨】(1)由题意，指数函数增长速度最快 (2) 观察变量y1，y2，y3，y4 的变化情况 找出增长速度最快 的变量 该变量关于x呈指 数型函数变化 【自主解答】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快， 故选 A. (2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4 均是从2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 画出它们的图象(图略 )，可知变量y2关于x呈指数型函数变化故
5、填y2. 【答案】(1)A (2)y2 1指数函数模型yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来 越快，形象地称为“指数爆炸” 2对数函数模型ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越 来越慢 3幂函数模型yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间 再练一题 1下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( ) Ay 1 100e x By100ln x Cyx100Dy1002 x 【解析】指数函数ya x，在 a1 时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越 快，应选 A. 【答案】A 根据函数图象确定函数模型 函数f(x)2x和g(x)
6、x3的图象如图3-4-1 所示，设两函数的图象交于点A(x1， y1)，B(x2，y2)，且x1x2. 图 3-4-1 (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小 【精彩点拨】根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断 【自主解答】(1)C1对应的函数为g(x)x3，C2对应的函数为f(x)2x. (2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1x12,9x210， x16x2,2 016x2. 从图象上可以看出，当x1xx2时，
7、f(x)g(x)， f(6)g(6)； 当xx2时，f(x)g(x)， f(2 016)g(2 016) 又g(2 016)g(6)， f(2 016)g(2 016)g(6)f(6) 根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自 变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是 幂函数 . 再练一题 图 3-4-2 2函数f(x) lg x，g(x)0.3x1 的图象如图3-4-2 所示 (1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数； (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行
8、比较). 【解】(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x. (2)当xf(x)；当x1g(x)；当xx2时，g(x)f(x)；当xx1或x x2时，f(x)g(x) 探究共研型 函数模型的选择 探究 1 在我们学习过的函数中，哪些函数是其定义域上的单调函数？ 【提示】一次函数、指数函数、对数函数 探究 2 在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选 择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？ 【提示】前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 某跨国饮料公司在对全世界所有人均G
9、DP( 即人均纯收入)在 0.58千美元的地 区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多， 然后向两边递减 (1)下列几个模拟函数中：yax 2 bx；ykxb；ylogaxb；ya xb(x 表示 人均 GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L)用哪个模拟函数来 描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由； (2)若人均 GDP 为 1千美元时， 年人均A饮料的销售量为2 L， 人均 GDP 为 4 千美元时， 年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人 均A饮料的销售量最多
10、是多少？ 【精彩点拨】(1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择； (2)根据 (1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值 【自主解答】(1)用来模拟比较合适因为该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售 量最多，然后向两边递减而，表示的函数在区间上是单调函数，所以， 都不合适，故用来模拟比较合适 (2)因为人均GDP 为 1 千美元时，年人均A饮料的销量为2 升；人均GDP 为 4 千美元 时，年人均A饮料的销量为5 升，把x1，y2；x4，y5 代入到yax 2 bx， 得 2ab， 516a4b， 解得a 1 4，b 9 4，所以函数解析式为 y 1 4x 2 9 4x.(x 0
11、.5,8) y 1 4 x2 9 4x 1 4 x 9 2 2 81 16 ，当x 9 2时，年人均 A饮料的销售量最多是 81 16 L. 不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律 1线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律 2指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律 3对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律 4幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律 因此， 需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决 实际问题 再练一题 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100
12、t,120t,130t.为了 预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y(t) 与月序数x之间的关系对此模拟函数可选用二次函数yf(x)ax 2bxc(a， b，c均为待 定系数，x N *)或函数 yg(x)pqxr(p，q，r均为待定系数，xN *)，现在已知该厂这种 新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 【解】根据题意可列方程组： f1abc100， f24a2bc120， f39a3bc130， 解得 a 5， b35， c70. 所以yf(x) 5x235x70. 同理yg(x) 800.5 x140.
13、再将x4 分别代入与式得： f(4) 54235470130(t)，g(4) 800.5 4140135(t)与 f(4)相比，g(4)在数 值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数y g(x)pqxr作为模拟函数较好 1.如图 3-4-3 给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，用下列哪个函数模型拟合 红豆生长时间与枝数的关系最好( ) 图 3-4-3 A指数函数：y2 t B对数函数：ylog2t C幂函数：yt3 D二次函数：y2t2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】根据图象中的点，经验证用指数函数模型拟合效果最好 【答案】A
14、2某人 2013年 1 月 1 日到银行存入一年期存款a元，若年利率为x，并按复利计算， 到 2018年 1月 1 日可取款 (不计利息税 )( ) Aa(1x)5元Ba(1x)6元 Ca(1x5)元Da(1x6)元 【解析】2014 年 1 月 1 日可取款a(1x)元，2015年 1 月 1 日可取款a(1x)2元，同理 可得 2018年 1 月 1 日可取款a(1x)5元 【答案】A 3某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后 来增长越来越慢， 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用 ( ) A一次函数B二次函数 C指数型函数D对
15、数型函数 【解析】结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，只有D 选项对数型函数符 合题设条件，故选D. 【答案】D 4表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到 乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的 如下信息： 图 3-4-4 骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到 1 h； 骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动； 骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者； 骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样 其中，正确信息的序号是_. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 【解析】看时间轴易
16、知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所 以是匀速运动， 而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此 正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故正确；错误 【答案】 5函数f(x) 1.1 x，g(x)ln x1，h(x)x 1 2的图象如图 3-4-5 所示，试分别指出各曲线对 应的函数，并比较三个函数的增长差异(以 1，a，b，c，d，e为分界点 ) 图 3-4-5 【解】由指数爆炸、 对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)1.1x， 曲线C2对应的函数是h(x)x 1 2，曲线 C3对应的函数是g(x)ln x1. 由题图知，当xh(x)g(x)； 当 1g(x)h(x)； 当ef(x)h(x)； 当ah(x)f(x)； 当bg(x)f(x)； 当cf(x)g(x)； 当xd时，f(x)h(x)g(x)