《高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数优化训练北师大版必修.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数优化训练北师大版必修.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.3 二倍角的三角函数 5 分钟训练 (预习类训练，可用于课前) 1.已知是第二象限角， sin = 5 3 ，那么 cos 2 的值为（） A. 5 5 B. 5 5 C. 10 10 D. 10 10 解析： 为第二象限角， 2 为第一或第三象限角. sin = 5 3 ，则 cos = 5 4 . 10 10 2 cos1 2 cos. 答案： D 2.求下列各式的值： （1） 2 1 -cos2 8 =_ ； （2） 5.22tan1 5.22tan 2 =_. 解析： （1）原式 = 2 1 (2cos 2 8 -1) = 4 2 4 c
2、os 2 1 . （2）原式 = 2 1 45tan 2 1 . 答案 :(1) 4 2 (2) 2 1 3.计算： cos12cos 3 cos 12 5 . 解： 原式 =. 8 1 6 sin 4 1 12 sin 12 cos 2 1 4.已知 cos 2 = 13 12 , ( ,2 ),求 sin ,cos ,tan . 解: ( ,2 ), 2 0， 2 3 + 4 7 4 . sin( + 4 )= 5 4 ) 4 (cos1 2 . cos2 =sin(2 + 2 )=2sin( + 4 ). cos( + 4 )= 25 24 , sin2 =-cos( 2 +2 )=1-
3、2cos 2( + 4 )= 25 7 . 原式 = 2 2 ( 25 7 25 24 )= 50 231 . 答案 : 50 231 3.当 x 2 , 2 时，求f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x 的周期、最大值及此时 x 的值 . 解： f(x)=1+cos2x+1+sin2x=2sin(2x+ 4 )+2,周期 T= . 当 x 2 , 2 时， 2x+ 4 4 5 , 4 3 , 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 sin(2x+ 4 ) -1,1 . f(x)22,22. f(x)max=22. 由 2x+ 2 2 4 k,得 x= 8 k. 又 x 2
4、 , 2 ， x= 8 , 即当 x= 8 时， f(x)的最大值为22. 4.求值 :cos 275+cos215+cos75cos15 . 解:原式 = 2 30cos1 2 150cos1 +sin15 cos15 = 2 1 (1-cos30)+ 2 1 (1+cos30)+ 2 1 sin30= 2 1 + 2 1 + 4 1 = 4 5 . 5.设 sin( 4 -x)= 13 5 ,0x 4 ,求 ) 4 cos( 2cos x x 的值 . 解法一 :0x 4 , 0 4 -x 4 . cos( 4 -x)=) 4 (sin1 2 x. = 13 12 ) 13 5 (1 2
5、. 又 cos( 4 +x)=sin( 4 -x)= 13 5 , 原式 = ) 4 sin( ) 4 cos() 4 sin(2 ) 4 sin( ) 4 (2sin x xx x x =2cos( 4 -x)= 13 24 . 解法二 :cos2x=cos2x-sin2x =（cosx+sinx)(cosx-sinx) =2sin(x+ 4 )2cos(x+ 4 ) =2sin(x+ 4 )cos(x+ 4 ), 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 原式 = ) 4 cos( ) 4 cos() 4 sin(2? x xx =2sin(x+ 4 ) =2cos( 4 -x).后面同解
6、法一. 30 分钟训练 (巩固类训练，可用于课后) 1.已知 450540,则2cos 2 1 2 1 2 1 2 1 等于（） A.-sin 2 B.cos 2 C.sin 2 D.-cos 2 解析 :利用公式 22 sin 2 2cos1 ,cos 2 2cos1 , 原式 = 2 cos 2 1 2 1 ,450 540, cos 0. 原式 = 2 sincos 2 1 2 12 . 450 540,225 2 270. sin 2 0. 原式 = 2 sin 2 =-sin 2 . 答案 :A 2.已知为第三象限角， sin4 +cos4 = 9 5 ，那么 sin2等于（） A.
7、 3 22 B. 3 22 C. 3 2 D. 3 2 解析： sin 4 +cos4 = （sin2 +cos2）2-2sin2 cos2 = 9 5 ， 2sin2 cos2 = 9 4 ，sin 22 = 9 8 .为第三象限角， sin 0，cos 0，sin2 0, sin2 = 3 22 . 答案： B 3.设 5 6， cos 2 =a,则 sin 4 的值等于（） 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A. 2 1a B. 2 1a C. 2 1a D. 2 1a 解析： 5 6， 2 5 2 3， 4 5 4 2 3 . 2 1 2 2 cos1 4 sin a .故 D
8、 正确 . 答案： D 4.tan5+cot5- 80cos 2 =_. 解析 :原式 = 10sin 2 5sin 5cos 5cos 5sin =0 10sin 2 10sin 2 1 1 10sin 2 5cos5sin 5cos5sin 22 . 答案 :0 5.已知 tan2 =22， 2 2，求 ) 4 sin(2 1sin 2 cos2 2 的值 . 解： tan2 =22，22 tan1 tan2 2 , 2tan =22（ 1-tan 2） ， 则2tan2 -tan -2=0， （ tan -2） （2tan +1）=0. tan =2或 tan = 2 2 （舍） . （
9、 2 2， 4 2 ） 原式 =223 tan1 tan1 sincos sincos ) 4 sin(2 sin1 2 cos2 2 . 6.在 ABC 中， tanA+tanB+33tanAtanB 且 sinAcosA= 4 3 ，试判断三角形的形状. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解： 由 sinAcosA= 4 3 ,得 2 1 sin2A= 4 3 ,即 sin2A= 2 3 ， 2A=60 或 120. A=30 或 60. 又由 tanA+tanB=3(1-tanAtanB),得 tan(A+B)=3 tantan1 )tantan1(3 BA BA . A+B=1
10、20 . 当 A=30时， B=90,tanB 无意义， A=60 ,B=60, 即三角形为等边三角形. 7.(2005高考天津卷 ,文 17)已知 sin( - 4 )= 10 27 ，cos2 = 25 7 ，求 sin及tan( + 3 ). 解： 由 sin( 4 )= 10 27 ,得 2 2 (sin -cos )= 10 27 ， 即 sin -cos = 5 7 . 又由 cos2 = 25 7 得 cos 2 -sin2 = 25 7 ， 即(cos +sin )(cos -sin )= 25 7 . cos +sin = 5 1 . 由得sin = 5 3 ,cos = 5
11、 4 . tan = 4 3 . tan( + 3 )=tan + 11 32548 334 334 4 33 1 4 3 3 tan31 3tan . 8.已知 f(x)=2sin(x+ 2 )cos(x+ 2 )+32cos2(x+ 2 )-3. (1)化简 f(x)的解析式； (2)若 0，求使函数 f(x)为奇函数的值； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)在 (2)的条件下，求满足f(x)=1,x - ,的x 的取值集合 . 解： （1）f(x)=sin(2x+ )+31+cos(2x+ )-3 =sin(2x+ )+3cos(2x+ ) =2sin(2x+ + 3 ).
12、 （2）若 f(x)为奇函数，则当x=0 时， f(x)=0, 即 + 3 =k (kZ). = 3 k. 又 0，= 3 2 . （3）此时 f(x)=2sin(2x+ )=-2sin2x， 由 f(x)=1 得 sin2x= 2 1 . 当 x - ,时，2x -2 ,2， 2x= 6 11 , 6 7 , 6 5 , 6 . x 的取值集合为 12 11 , 12 7 , 12 5 , 12 . 9.有一块半径为R、中心角为45的扇形铁皮材料，为了截取面积最大的矩形铁皮，工人师 傅常将矩形的一边放在扇形的半径上，然后作其最大的内接矩形你能帮工人师傅设计一方 案，选出矩形的四点吗? 解：
13、如图 ,设 POA= ，则PN=Rsin . OM=QM=PN=Rsin ,ON=Rcos . MN=ON-OM=Rcos -Rsin . 则 S矩形 PQMN=MN PN =R(cos -sin )Rsin =R 2(sin cos -sin2 ) = 2 2 1 R(sin2 -1+cos2 ) = 2 2 2 Rsin(2 + 4 ) 2 2 . 当 2 + 24 ,即 = 8 时， S矩形 PQMN最大且最大值为 2 2 12 R. 因此可以这样选点，以扇形一半径OA 为一边在扇形上作AOP= 8 ,P为边 OP 与扇形的交 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点，自 P 作 PNOA 于 N,PQ OA 交 OB 于 Q，若作 QM OA 于 M，则矩形MNPQ 为所 求的面积最大的矩形.