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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 31.1 平均变化率 学习目标1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率(重点 ).2.了 解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义(难点 ).3.了解 平均变化率的正负(易混点 ) 知识点一函数的平均变化率 在吹气球时， 气球的半径r(单位： dm)与气球空气容量(体积 )V(单位： L)之间的函数关系是r(V) 3 3V 4 . 思考 1 当空气容量V从 0 增加到 1 L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 思考 2 当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？ 梳理一般地，函数yf(x)在
2、区间 x1，x2上的平均变化率为_，其中 _是函数值的改变量 知识点二平均变化率的意义 思考如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 梳理平均变化率的几何意义：设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点， 函数yf(x)的平均变化率 y x_为割线 AB的斜率 类型一求函数的平均变化率 例 1 (1)已知函数f(x)2x2 3x5. 求：当x14，x2 5 时，函数增量y和平均变化率 y x； 求：当x14，x2 4.1时，函数增量y和平均变化率 y x. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)求函数yf(x)x2在x1,2,3附近的平均变化率，取x都为
3、1 3，哪一点附近的平均变化率 最大？ 反思与感悟求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)； (2)再计算自变量的改变量xx2x1； (3)得平均变化率 y x fx2fx1 x2x1 . 跟踪训练1 (1)已知函数f(x)x22x 5的图象上的一点A(1， 6)及邻近一点B(1x， 6y)，则 y x_. (2)如图所示是函数yf(x)的图象， 则函数f(x)在区间 1,1上的平均变化率为_；函数 f(x)在区间 0,2上的平均变化率为_ 类型二平均变化率的应用 例 2 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位： s) 存
4、在函数关系h(t) 4.9t 26.5t10. (1)求运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率； (2)求高度h在 1t2 这段时间内的平均变化率 反思与感悟(1)结合物理知识可知，在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为正值，表示此时 运动员在起跳后处于上升过程；在1t2 这段时间内，高度h的平均变化率为负值，表示 此时运动员已开始向水面下降事实上平均变化率的值可正、可负也可以是0. (2)平均变化率的应用主要有：求某一时间段内的平均速度，物体受热膨胀率，高度(重量 )的 平均变化率等等解决这些问题的关键在于找准自变量和因变量 跟踪训练2 2012年冬至 2013年春， 我国北部某省冬
5、麦区遭受严重干旱，根据某市农业部门 统计，该市小麦受旱面积如图所示，据图回答： 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (1)2012年 11月至 2012年 12 月间，小麦受旱面积变化大吗？ (2)哪个时间段内，小麦受旱面积增幅最大？ (3)从 2012年 11月至 2013年 2 月间，与从2013年 1 月至 2013年 2 月间，试比较哪个时间段 内，小麦受旱面积增幅较大？ 1若函数f(x)x2的图象上存在点P(1,1)及邻近的点Q(1x,1y)，则 y x的值为 _ 2圆的半径r从 0.1变化到 0.3 时，圆的面积S的平均变化率为_ 3如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变
6、化率是_ 4如图，函数yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间内，平均变化率最大的一个区 间是 _ 5甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6 个月时间就获利30 万元，如何比较和评 价甲、乙两企业的生产效益？(设两企业投产前的投资成本都是10 万元 ) 1准确理解平均变化率的意义是求解平均变化率的关键，其实质是函数值增量y与自变量 取值增量x的比值涉及具体问题，计算y很容易出现运算错误，因此，计算时要注意括 号的应用，先列式再化简，这是减少错误的有效方法 2函数的平均变化率在生产生活中有广泛的应用，如平均速度、 平均劳动生产率、面积体积 变化率等解决这类问题的关键是能从实
7、际问题中引出数学模型并列出函数关系式，需注意 是相对什么量变化的 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 提醒：完成作业第 3 章3.1 3.1.1 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案精析 问题导学 知识点一 思考 1 平均膨胀率为 r1r0 1 0 0.62 1 0.62 (dm/L) 思考 2 平均膨胀率为 rV2rV1 V2V1 . 梳理 fx2fx1 x2x1 yf(x2)f(x1) 知识点二 思考如图，表示A、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的 斜率来量化 如用比值 yCyB xCxB近似量化 B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在xB
8、，xC上的平 均变化率 梳理 fx2fx1 x2x1 f x1xfx1 x 题型探究 例 1 解(1)因为f(x)2x2 3x5， 所以yf(x1x)f(x1) 2(x1x)23(x1x)5(2x213x15) 2(x)22x1x3x 2(x)2(4x13)x. y x 2x 2 4x13x x 2x4x1 3. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当x1 4，x25 时，x1， y2(x)2(4x13)x21921， y x21. 当x1 4，x24.1 时，x 0.1， y2(x)2(4x13)x 0.021.9 1.92. y x2 x4x13 19.2. (2)在x1 附近的平均
9、变化率为 k1 f1xf1 x 1x 21 x 2x； 在x2 附近的平均变化率为 k2 f2xf2 x 2x 222 x 4x； 在x3 附近的平均变化率为 k3 f3xf3 x 3x 232 x 6x. 当x 1 3 时，k12 1 3 7 3， k24 1 3 13 3 ，k3 6 1 3 19 3 . 由于k1kAB，即sBsC sBsA 3 ， 所以在 2013年 1月至 2013 年 2 月间，小麦受旱面积增幅较大 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当堂训练 12x2.0.4 3. 1 4.x3，x4 5解甲企业生产效益的平均变化率为 10010 1220 15 4 . 乙企业生产效益的平均变化率为 3010 60 10 3 . 15 4 10 3 ， 甲企业的生产效益较好