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1、理科数学试题第 1 页（共9 页） 绝密 启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共23 题，共 150 分，共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用05 毫米黑色字迹的签字 笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效； 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使
2、用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1设集合A x|x 25x60 ， B x|x1b，则 Aln(a- b）0 B3 a0 D a b 7设 ，为两个平面，则 的充要条件是 A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行 C ，平行于同一条直线D ， 垂直于同一平面 8若抛物线y 22px(p0）的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则 p A2 B3 C4 D8 9下列函数中，以 2 为周期且在区间( 4 ， 2 ）单调递增的是 Af (x） cos 2x Bf (x）
3、 sin 2xCf (x） cos xDf (x）sin x 10已知 (0， 2 ）， 2sin 2 cos 2 1，则 sin A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 11设 F 为双曲线C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆 与圆 222 xya交于 P，Q 两点若 PQOF ，则 C 的离心率为 A2B3C2 D5 12设函数( )fx的定义域为 R，满足(1)2 ( )f xf x，且当(0,1x时， ( )(1)f xx x若对任意(,xm，都有 8 ( ) 9 f x，则 m 的取值范围是 A 9 (, 4 B 7
4、(, 3 C 5 (, 2 D 8 (, 3 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正 点率为 097，有 20 个车次的正点率为098，有 10 个车次的正点率为099，则经 停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_ 14已知( )f x是奇函数， 且当 0x时，( )e ax f x若(ln 2)8f，则a_ 15 ABC的内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c若 6,2 , 3 bac B，则 ABC的面 积为 _ 理科数学试题第 3 页（共9 页） 16中国有悠久的金石文化，
5、印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体 或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“ 半正多面体 ” （图 1）半正多面 体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正 方体的棱长为1则该半正多面体共有_个面，其棱长为_（本题第 一空 2 分，第二空3 分） 三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17（ 12 分）
6、如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上， BEEC1 （1）证明： BE平面 EB1C1； （2）若 AEA1E，求二面角 B EC C1的正弦值 18（ 12 分） 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10 平后， 每球交换发球权，先多 得 2 分的一方获胜，该局比赛结束 甲、 乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的 概率为 05，乙发球时甲得分的概率为04，各球的结果相互独立在某局双方10:10 平 后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束 （1）求 P（X 2）； （2）求事件 “ X4 且甲获胜 ” 的概率
7、 19（ 12 分） 已知数列 an和 bn满足 a11，b10， 1 434 nnn aab， 1 434 nnn bba （1）证明： an bn 是等比数列， an bn 是等差数列； （2）求 an 和bn 的通项公式 理科数学试题第 4 页（共9 页） 20（ 12 分） 已知函数 1 1 ln x fxx x （1）讨论 f (x）的单调性，并证明f (x）有且仅有两个零点； （2）设 x0是 f (x）的一个零点，证明曲线 yln x 在点 A(x0，ln x0）处的切线也是曲线 e x y的切线 21（ 12 分） 已知点 A(- 2,0）， B(2,0），动点M(x,y）满足
8、直线AM 与 BM 的斜率之积为 - 1 2 记 M 的轨迹为曲线C （1）求 C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E， 连结 QE 并延长交C 于点 G （i）证明：PQG是直角三角形； （ii）求PQG面积的最大值 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22 选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 000 (,)(0)M在曲线:4sinC上，直线l 过点 (4,0)A且与OM垂直，垂足为P （1）当 0= 3
9、时，求 0及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程 23 选修 45：不等式选讲（10 分） 已知( )|2| ().f xxa xxxa （1）当1a时，求不等式( )0f x的解集； （2）若(,1)x时，( )0f x，求a的取值范围 理科数学试题第 5 页（共9 页） 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 参考答案 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题， 当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的
10、解答末改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题 1A 2C 3C 4D 5A 6C 7B 8D 9A 10 B 11A 12B 二、填空题 130.98 14 3 15631626；21 三、解答题： 17解：（ 1）由已知得， 11 B C平面 11 ABB A，BE平面 11 ABB A，故 11 B CBE 又 1 BEEC，所以BE平面 11 EBC （2）由（
11、1）知 1 90BEB由题设知 11 RtRtABEA B E，所以45AEB， 故AEAB， 1 2AAAB 以D为坐标原点，DA uuu r 的方向为 x轴正方向，|DA uuu r 为单位长，建 立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则C（ 0，1，0），B（1，1，0）， 1 C（0，1，2），E（1，0，1）， (1, 1,1)CE uuu r ， 1 (0,0,2)CC uu uu r 设平面 EBC的法向量为 n（ x， y，x），则 0, 0, CB CE u uu r n n 即 0, 0, x xyz 所以可取 n(0,1, 1) 设平面 1 ECC的法向量为 m（ x，y
12、， z），则 10, 0, CC CE u uu r m m 即 20, 0. z xyz 所以可取 m（ 1，1，0） 理科数学试题第 6 页（共9 页） 于是 1 cos, |2 n m n m nm 所以，二面角 1 BECC的正弦值为 3 2 18解：（ 1）X 2就是 10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这 2个球均由甲得 分，或者均由乙得分因此P（X2） 0 5 0 4（ 1 05） （1 04） 05 （2）X4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的 得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分 因此所求概率为 05 （1 0
13、4）（ 1 05） 04 05 040 1 19解：（ 1）由题设得11 4()2() nnnn abab ，即 11 1 () 2 nnnn abab 又因为 a1b1l，所以 nn ab是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列 由题设得 11 4()4()8 nnnn abab， 即 11 2 nnnn abab 又因为 a1 b1l，所以 nn ab是首项为 1，公差为 2的等差数列 （2）由（ 1）知， 1 1 2 nnn ab，21 nn abn 所以 111 ()() 222 nnnnn n aababn， 111 ()() 222 nnnnn n bababn 20解：（ 1）f
14、（x）的定义域为（0，1），（ 1， ）单调递增 因为 f（ e） e 1 10 e 1 ， 22 2 22 e1e3 (e )20 e1e1 f ， 所以 f（ x）在（ 1， ）有唯一零点x1，即 f（x1） 0 又 1 1 01 x ， 1 11 11 11 ()ln()0 1 x fxf x xx ， 故 f（x）在（ 0，1）有唯一零点 1 1 x 综上， f（ x）有且仅有两个零点 （2）因为 0 ln 0 1 e x x ，故点 B（ lnx0， 0 1 x ）在曲线ye x 上 理科数学试题第 7 页（共9 页） 由题设知 0 ()0f x，即 0 0 0 1 ln 1 x x
15、 x ， 故直线 AB 的斜率 0 0 000 0 000 0 0 111 ln 11 1 ln 1 x x xxx k x xxx x x 曲线 yex在点 0 0 1 (ln,)Bx x 处切线的斜率是 0 1 x ，曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx处切 线的斜率也是 0 1 x ， 所以曲线lnyx在点 00 (,ln)A xx处的切线也是曲线yex的切线 21解：（ 1）由题设得 1 222 yy xx ，化简得 22 1(|2) 42 xy x，所以C 为中心 在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点 （2）（ i）设直线PQ 的斜率为k，则其方程为(0)ykx k
16、由 22 1 42 ykx xy 得 2 2 12 x k 记 2 2 12 u k ，则( ,),(,),( ,0)P u ukQuukE u 于是直线QG的斜率为 2 k ，方程为() 2 k yxu 由 22 (), 2 1 42 k yxu xy 得 22222 (2)280kxuk xk u 设(,) GG G xy，则u和 G x是方程的解，故 2 2 (32) 2 G uk x k ，由此得 3 2 2 G uk y k 理科数学试题第 8 页（共9 页） 从而直线PG的斜率为 3 2 2 2 1 2 (32) 2 uk uk k ukk u k 所以PQPG，即PQG是直角三角
17、形 （ii）由（ i）得 2 | 21PQuk ， 2 2 21 | 2 uk k PG k ， 所以 PQG 的面积 2 22 2 1 8() 18 (1) | 1 2(1 2)(2) 12() k kk k SPQ PG kk k k 设 tk 1 k ，则由 k0 得 t2 ，当且仅当k1 时取等号 因为 2 8 12 t S t 在2， ）单调递减，所以当t2，即 k1 时， S取得最大值，最大 值为 16 9 因此， PQG 面积的最大值为 16 9 22解：（ 1）因为 00 ,M在C上，当 0 3 时， 0 4sin2 3 3 由已知得| |cos2 3 OPOA 设(, )Q为
18、 l上除 P的任意一点在RtOPQ中cos|2 3 OP ， 经检验，点(2,) 3 P 在曲线cos2 3 上 所以， l的极坐标方程为cos2 3 （2）设(,)P，在RtOAP中，| | cos4cos,OPOA即4cos 因为 P在线段 OM上，且APOM，故的取值范围是, 4 2 理科数学试题第 9 页（共9 页） 所以， P点轨迹的极坐标方程为4cos, 4 2 23解：（1）当 a1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx 当1x时， 2 ( )2(1)0f xx；当1x时，( )0f x 所以，不等式( )0f x的解集为(,1) （2）因为( )=0f a，所以1a 当1a，(,1)x时，( )=() +(2)()=2()(1)0f xax xx xaax x 所以，a的取值范围是1,)